РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»:
И. о. проректора-начальник
управления по научной работе
_______________________
__________ _____________ 2011 г.
Избранные главы математического анализа
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для аспирантов специальности 01.01.01 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ОЧНОЙ И ЗАОЧНОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор работы _____________________________/Латфуллин Т, Г./
«______»___________2011 г.
Рассмотрено на заседании кафедры математического анализа и теории функций,
12.04.2011, протокол № 8
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем 10 стр.
И. о. зав. кафедрой __________________ //
«______»______________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании УМК Института математики, естественных наук и информационных технологий 28.06.2011, протокол № 4
Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК ________________________//
«______»_____________2011 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Нач. отдела аспирантуры
и докторантуры_____________
«______»_____________2011 г.
2011
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт
Кафедра математического анализа и теории функций
Избранные главы математического анализа
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для аспирантов специальности 01.01.01 математический анализ
очной и заочной форм обучения
Тюменский государственный университет
2011
Латфуллин дисциплины Избранные главы математического анализа. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для аспирантов специальности Вещественный, комплексный и функциональный анализ. Тюмень, 2011, 10 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с ФГТ к структуре основной профессиональной образовательной программы послевузовского профессионального образования (аспирантура).
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: Избранные главы математического анализа. [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www. umk3.utmn. ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций. Утверждено и. о. проректора-начальника управления по научной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий кафедрой математического анализа и теории функций .
© Тюменский государственный университет, 2011.
© , 2011.
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа включает следующие разделы:
1. Пояснительная записка, которая содержит:
1.1. Цели и задачи дисциплины
Цели.
1) Сформировать у аспирантов современное представление о природе действительных чисел. Это представление базируется на стандартном традиционном архимедовом взгляде на числа и на нестандартном, неархимедовом взгляде, который получил логическую основу во второй половине 20 века.
2) Сформировать у аспирантов современное представление о современном состоянии основных объектов математического анализа – производной и интеграле.
Задачи.
1) Изучение логических основ нестандартного анализа.
2) Изучить различные нестандартные модели арифметических пространств.
3) Изучить разные подходы к дифференцированию функций и отображений.
4) Изучить различные способы интегрирования, показать границы применимости интеграла.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП.
«Избранные главы математического анализа» относится к бразовательно-профессиональным дисциплинам подготовки аспиранта, оканчивающихся кандидатским экзаменом (ОПД. Р1).
Знания, умения и навыки, полученные аспирантами в результате освоения учебной дисциплины «Избранные главы математического анализа» могут быть использованы во всех видах деятельности в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом и основной профессиональной образовательной программой послевузовского профессионального образования (аспирантура) по специальности 01.01.01, вещественный, комплексный и функциональный анализ.
1.3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций: Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций: ОК-1, ОК-6, ОК-9, ОК-10, ОК-12, ОК-13, ПК-1, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-10.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: определения основных понятий нестандартного анализа, основные теоремы нестандартного анализа, границы применимости интеграла и производной.
Уметь: применять определения основных понятий нестандартного анализа, основные теоремы нестандартного анализа, границы применимости интеграла и производной к построению новых математических моделей и к изучению математических объектов.
Владеть: техникой нестандартного анализа, дифференцирования и интегрирования различных математических объектов.
2. Трудоемкость дисциплины.
Семестр 6. Форма промежуточной аттестации – экзамен, Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 216 часов.
3. Тематический план.
Тематический план изучения дисциплины должен включать две формы (Таблицы 2 и 3). Если таблица 1 не заполнятся, то таблицам 2 и 3 присваивается соответствующие измерения: 1 и 2.
Таблица 2
Тематический план
№ | Тема | Всего часов | виды учебной работы и самостоятельная работа, в час. | 4. из них в интерактивной форме | Фор-мы конт-роля | |||
лекции* | семинарские (практические) занятия* | лабораторные занятия* | самостоятельная работа* | |||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | 6 | 7 | 8 |
1 | Множества и отношения | 16 | 2 | 2 | 12 | Устный ответ | ||
2 | Теорема Лося | 16 | 2 | 2 | 12 | Устный ответ | ||
3 | Универсумы | 16 | 2 | 2 | 12 | Устный ответ | ||
4 | Направленность, бесконечные целые числа, внутренние множества | 22 | 4 | 4 | 14 | Устный ответ | ||
5 | Расширение множества действительных чисел | 16 | 2 | 2 | 12 | Контроль-ная работа | ||
6 | Теоремы о продолжении | 16 | 2 | 2 | 12 | Устный ответ | ||
7 | Нестандартное дифференциальное исчисление | 22 | 4 | 4 | 14 | Устный ответ | ||
8 | Дифференцирование в нормированных пространствах | 16 | 2 | 2 | 12 | Устный ответ | ||
9 | Дробное дифференцирование | 16 | 2 | 2 | 12 | Контроль-ная работа | ||
10 | Интегрирование на многообразиях | 28 | 6 | 6 | 16 | Устный ответ | ||
11 | Интегрирование в бесконечномерных пространствах | 16 | 2 | 2 | 12 | Устный ответ | ||
12 | Разные подходы к определению обобщенных функций | 16 | 2 | 2 | 12 | Контроль-ная работа | ||
13 | Итого: | 216 | 32 | 32 | 152 | |||
14 | из них часов в интерактивной форме |
Таблица3.
Планирование самостоятельной работы аспирантов
№ | Темы | Виды СРС | Объем часов | |
обязательные | дополнительные | |||
1 | Множества и отношения | Чтение книг и конспектов | Решение задач | 10 |
2 | Теорема Лося | Чтение книг и конспектов | Решение задач | 12 |
3 | Универсумы | Чтение книг и конспектов | Решение задач | 12 |
4 | Направленность, бесконечные целые числа, внутренние множества | Чтение книг и конспектов | Решение задач | 12 |
5 | Расширение множества действительных чисел | Чтение книг и конспектов | Решение задач | 12 |
6 | Теоремы о продолжении | Чтение книг и конспектов | Решение задач | 12 |
7 | Нестандартное дифференциальное исчисление | Чтение книг и конспектов | Решение задач | 12 |
8 | Дифференцирование в нормированных пространствах | Чтение книг и конспектов | Решение задач | 12 |
9 | Дробное дифференцирование | Чтение книг и конспектов | Решение задач | 10 |
10 | Интегрирование на многообразиях | Чтение книг и конспектов | Решение задач | 12 |
11 | Интегрирование в бесконечномерных пространствах | Чтение книг и конспектов | Решение задач | 12 |
12 | Разные подходы к определению обобщенных функций | Чтение книг и конспектов | Решение задач | 12 |
13 | Подготовка к экзамену | Чтение книг и конспектов | Решение задач | 12 |
ИТОГО: | 152 |
5. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
Данная дисциплина последняя в программе обучения аспиранта, обеспечиваемых (последующих дисциплин нет)
6. Содержание дисциплины.
1. Нестандартный анализ.
1.1. Множества и отношения.
1.2. Фильтры.
1.3. Универсумы.
1.4. Теорема Лося.
1.5. Направленность, бесконечные целые числа, внутренние множества
1.6. Расширение множества действительных чисел.
1.7 Теоремы о продолжении.
1.8. Нестандартное дифференциальное исчисление.
2. Обобщения производной и интеграла.
2.1. Дифференцирование в нормированных пространствах.
2.2. Дробное дифференцирование.
2.3 Интегрирование на многообразиях.
2.4 Интегрирование в бесконечномерных пространствах.
3. Обобщенные функции.
3.1. Разные подходы к определению обобщенных функций.
3.2. Пространство основных функций.
3.4. Пространство обобщенных функций.
3.5. Дифференцирование.
3.6. Свертка.
3.7. Интегральные преобразования.
7. Планы семинарских занятий.
1. Множества и отношения
2. Теорема Лося
3. Универсумы
4. Направленность, бесконечные целые числа, внутренние множества
5. Расширение множества действительных чисел
6. Теоремы о продолжении
7. Нестандартное дифференциальное исчисление
8. Дифференцирование в нормированных пространствах
9. Дробное дифференцирование
10. Интегрирование на многообразиях
11. Интегрирование в бесконечномерных пространствах
12. Разные подходы к определению обобщенных функций
8. Темы лабораторных работ. (Лабораторный практикум) (если они предусмотрены учебным планом ООП)
Лабораторные работы не предусмотрены
9. Примерная тематика курсовых работ
Курсовые работы не предусмотрены
10. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
Планируются два вида самостоятельной работы:
1) чтение книг и конспектов,
2) решение задач.
11. Образовательные технологии.
Чтение книг и конспектов, решение задач.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
Перечень типовых заданий для контрольных работ
1) Пусть a, b, a1, b1 гипердействительные числа, . a » a1, b » b1.
2) Показать, что. a + b » a1 + b1.
3) Пусть e – бесконечно малое число, вычислить (b+2e)(3b-4e), если st(b)=4.
4) Если 
, найти 
5) Показать, что каждый открытый интервал содержит бесконечно много точек.
6) Пусть f действительная функция, определенная на всей прямой. Показать, что множество решений уравнения f(x)=0 ограничено тогда и только тогда, когда каждое гипердействительное решение уравнения f*(x)=0 конечно.
7) Найти точку c, такую, что f(b)-f(a)=f ’(c)(b-a), где f(x)= x2+2x-1, [a;b]=0;1.
8) Доказать, что если x=с действительное решение уравнения f(x)=0, то x=с также и гипердействительное решение.
9) Предположим, что f’(x)непрерывна на действительной оси, показать, что для всех конечных гипердействительных чисел b и ненулевого бесконечно малого числа Dx выполнено
.
10) Пусть функция f непрерывна, n целое и dx положительное бесконечно малое число. Доказать, что
11) Дать описание пространства «обобщенных» функций, если множество основных функций есть C[0;1].
12) Найти производную Фреше третьего порядка отображения f: C[-1;1]® C[-1;1, где
f(x)(t)=x4(t).
11.1. Основная литература:
1. . Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.
, , Кутателадзе анализ. Новосибирск: Институт математики, 2006.
2. М. Девис. Прикладной нестандартный анализ. М.: Мир, 1980.
3. Успенский такое нестандартный анализ? - М., Наука, 1987. - 128с.
4. , Шилов функции и действия на ними. М.: Физматгиз, 1959. 470 с.
5. ведение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978, 518 с.
6. , и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1982. 256 с.
____________________________________________________________
11.2. Дополнительная литература:
1. , Фомин теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.
2. J. Keisler. Elementary Calculus. An Infinitesimal Approach. Second Edition. University of Wisconsin.. 2010.
3. ведение в теорию моделей и математику алгебры. пер. с англ. -
М., Наука, 1967.
4. атематические методы для физических наук. М.: Мир, 1965. 412 с.
_____________________________________________________________
11.2. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1. http://window. edu. ru/window/library
2. http://math. ru/lib/3
________________________________________________________________________
12. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях, оснащенных мультимедийной техникой.
Дополнения и изменения в рабочей программе на 201 / 201 учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры ____________________ « »_______________201 г.
Заведующий кафедрой ___________________//
