Занятие 1
Математика
Задания для учащихся 7 – 8 класса
В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу.
Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.
С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел.
Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т. д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности.
Представьте, что вам раздаются цветные полоски (белый, синий, красный) и предлагается из них составить флаг РФ. .Значение цветов флага России: белый цвет означает мир, чистоту, непорочность, совершенство; синий – цвет веры и верности, постоянства; красный цвет символизирует энергию, силу, кровь, пролитую за Отечество.
Оказывается, есть государства, где флаги имеют такие же цвета.
Видим, что от перестановок цветных полосок, можно получить другой флаг. Как подсчитать, сколько таких флагов мы можем составить из трех цветных полосок?
Решение :
КБС КСБ
БСК БКС
СБК СКБ
Всего получили 3*2=6 комбинаций. Вывод: здесь мы получили ответ умножением. Математики сказали бы, что мы использовали известное в комбинаторике правило умножения.
Если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть m вариантов выбора второго элемента, то всего существует nm различных пар с выбранным первым и вторым элементами.
Такой способ подсчета возможен. Конечно, совсем не каждую комбинаторную задачу можно решить способом умножения.
Задача 2. (для самостоятельного решения) На уроке физкультуры Андрей, Максим, Костя, Саша, Петя и Сережа готовятся к прыжкам в высоту. Сколькими способами можно установить для них очередность прыжков?
Задача 3 (Все ли задачи в комбинаторике решаются умножением?)
При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий?
Решение:
Дадим каждому из приятелей номер – от 1 до 8. тогда каждое рукопожатие можно закодировать двузначным числом. Например, двузначное число 47 – это рукопожатие между приятелями с номерами 4 и 7. ясно, что среди кодов рукопожатий у нас не появится, например, 33 – это означало бы, что один из друзей пожал бы руку сам себе. Кроме того, такие коды, как, например, числа 68 и 86, означают одно и тоже рукопожатие, а значит, учитывать надо только одно из них. Договоримся, что из чисел, кодирующих одно и тоже рукопожатие, мы всегда будем учитывать меньшее. Поэтому из чисел 68 и 86 надо брать 68. коды рукопожатий выписывать надо в порядке возрастания. Для подсчета их удобно расположить треугольником:
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,
23, 24, 25, 26, 27, 28
34, 35, 36, 37, 38
45, 46, 47, 48
56, 57, 58
67, 68
78
Число кодов равно: 7 +6+5+4+3+2+1=28
Таким образом, всего было 28 рукопожатий.
Для решения этой задачи использовали логику перебора.
Задача 4. ( для самостоятельного решения)
На школьной олимпиаде по математике оказалось 6 победителей. Однако на районную олимпиаду можно отправить только двоих. Сколько существует вариантов выбора двух кандидатов?
Задача 5. ( для самостоятельного решения)
Сколько четных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 5?
Задача 6. ( для самостоятельного решения) В четверг в седьмом классе пять уроков по разным предметам: русскому языку, истории, алгебре, географии и физкультуре. Сколько вариантов расписания на четверг можно составить для этого класса?
Ответы с описанием задач для самостоятельного решения присылайте на адрес: afivera@yandex.ru
Задания для учащихся 9-11 класса
Задание №1
Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?
Решение:
Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть
выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.
Задание №2
В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.
Решение:
Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC. Отсюда получили, что треугольник АСМ - равносторонний. Но тогда видно, что и треугольники АОD и ВОС - равносторонние. Следовательно, треугольник АОВ равен треугольнику СОD, откуда имеем, что AB = CD.
Самостоятельное решение упражнений:
Задание №1.
Все трехзначные числа записаны в ряд: 100 101 102 ..... 998 999. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?
Задание №2
На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L. Пусть E – точка пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников DADE и DBCF равна площади четырёхугольника EKFL.
