Вопросы экзамена по математическому анализу
(поток НКИ, I семестр)
1. Основные понятия теории множеств.
2. Мощность множеств. Счетные и несчетные множества.
3. Счетность множества рациональных чисел.
4. Несчетность множества действительных чисел.
5. Метод математической индукции.
6. Аксиомы сложения действительных чисел.
7. Аксиомы умножения действительных чисел. Дистрибутивность.
8. Аксиомы порядка действительных чисел.
9. Аксиома непрерывности.
10. Принцип вложенных отрезков.
11. Определение предела последовательности.
12. Определение стационарной последовательности.
13. Предел стационарной последовательности.
14. Теорема о сохранении знака неравенства при переходе к пределу.
15. Теорема «о двух полицейских».
16. Предел линейной комбинации последовательностей.
17. Предел произведения последовательностей.
18. Предел отношения последовательностей.
19. Определение ограниченной последовательности.
20. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
21. Определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательности.
22. Теорема о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную.
23. Определения различных классов монотонных последовательностей.
24. Теорема Вейерштрасса о сходимости монотонной ограниченной последовательности.
25. Определение подпоследовательности.
26. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании сходящейся подпоследователь-ности.
27. Число e (определение, схема доказательства сходимости последовательности).
28. Определение фундаментальной последовательности.
29. Критерий Коши сходимости последовательности.
30. Определение точки прикосновения множества.
31. Определение предела функции в точке по Гейне.
32. Определение предела функции в точке по Коши.
33. Эквивалентность двух определений предела функции в точке.
34. Односторонние пределы функции в точке.
35. Ограниченность функции в окрестности предела.
36. Сохранение знака функции в окрестности ненулевого предела.
37. Предел линейной комбинации функций.
38. Предел произведения функций.
39. Предел отношения функций.
40. Предел сложной функции.
41. Определения различных классов монотонных функций.
42. Первый замечательный предел.
43. Следствия первого замечательного предела.
44. Второй замечательный предел.
45. Следствия второго замечательного предела.
46. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
47. Сравнение бесконечно малых.
48. Определение эквивалентных бесконечно малых.
49. Теорема об эквивалентных бесконечно малых.
50. Определение непрерывности функции в точке.
51. Свойства непрерывных функций в точке.
52. Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на отрезке.
53. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении.
54. Определение производной функции в точке.
55. Свойства производной функции в точке.
56. Производные основных элементарных функций.
57. Теорема о производной сложной функции.
58. Логарифмическое дифференцирование. Примеры применения.
59. Теорема о производной обратной функции. Примеры ее применения.
60. Производная параметрически заданной функции. Примеры вычисления.
61. Определение дифференцируемой функции в фиксированной точке x0.
62. Определение дифференциала первого порядка функции в фиксированной точке x0.
63. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
64. Теорема об инвариантности формы дифференциала первого порядка.
65. Определение производных и дифференциалов высших порядков.
66. Теорема Ферма. Геометрическая иллюстрация.
67. Теорема Ролля.
68. Теорема Коши.
69. Теорема Лагранжа. Геометрическая иллюстрация.
70. Достаточное условие монотонности функции на интервале.
71. Правило Лопиталя.
72. Формула Тейлора в окрестности точки а. Определение многочлена Тейлора n-го порядка.
73. Определение остаточного члена формулы Тейлора n-го порядка.
74. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
75. Формула Маклорена. Формула Маклорена некоторых элементарных функций.
76. Определение точек и значений максимума, минимума, экстремума функции (строгого и нестрогого).
77. Определение стационарной точки функции.
78. Необходимое условие экстремума функции.
79. Первое достаточное условие экстремума функции.
80. Второе достаточное условие экстремума функции.
81. Определение функции, выпуклой вверх (вниз) на интервале (a, b).
82. Достаточное условие выпуклости вверх (вниз) графика функции.
83. Определение точки перегиба.
84. Необходимое условие точки перегиба.
85. Первое достаточное условие точки перегиба.
86. Второе достаточное условие точки перегиба.
87. Определение вертикальной асимптоты.
88. Определение и правило нахождения наклонной асимптоты.
