Программа дисциплины «Differential geometry для направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Математики

Программа дисциплины «Differential geometry

для направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Автор программы:

Misha Verbitsky, PhD, *****@***ru

Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 201_ г.

Председатель

Утверждена УС факультета математики «__» _____ 2013 г.

Ученый секретарь ________________________

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1  Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

Программа разработана в соответствии с:

·  ГОС ВПО;

·  Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

·  Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.

2  The goals of mastering the subject

The goals of mastering the subject «Differential geometry» are: understanding vector bundles and vector fields; experience using of partition of unity and sheaf-theoretic arguments in differential geometry.

3  Competencies of a student which are formed by mastering the subject

As a result of mastering the subject the student should:

·  Learn the basic notions of differential geometry: vector bundles, manifolds, partition of unity, differential forms, sheaves and de Rham differential.

4  Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.

5  Thematic plan of the subject

1 курс магистратуры

№	Title of the section	Total hours	Class hours	Self-guided study
Lectures	Seminars	Practical classes
1	Manifolds and partition of unity	20	8			12
2	Sheaves, germs, vector fields	23	10			13
3	Vector bundles	29	14			15
		72	32			40

2 курс магистратуры

№	Title of the section	Total hours	Class hours	Self-guided study
Lectures	Seminars	Practical classes
1	Manifolds and partition of unity	40	8			32
2	Sheaves, germs, vector fields	41	10			31
3	Vector bundles	45	14			31
		126	32			94

6  Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год	Параметры **
1	2	3	4
Текущий (неделя)	Контрольная работа	*	8	8	8	The students receive a set of problems to take home, after they solve half of the problems, they explain their solutions. Grades are based on the number of problems solved and the student's ability to substantiate the claims.
Итоговый	Зачет				v

6.1  Критерии оценки знаний, навыков

A student should demonstrate an ability to understand the problem and to solve it correctly

7  Content of the subject

Differential geometry is the study of smooth

manifolds by means of vector bundles and the

Lie group theory. I will give a gentle introduction

to some of the most basic notions of differential

geometry: vector bundles, tangent spaces, sheaves,

connections and differential operators.

Approximate syllabus.

1. Smooth manifolds, partition of unit,

Hausdorff dimension and Hausdorff measure.

Whitney embedding theorems.

2. Sheaves, categories, limits, colimits, and

germs of functions. Smooth manifolds as ringed

spaces.

3. Derivations on the ring of smooth functions;

vector fields as derivations. Vector bundles;

equivalence of different definitions of vector

bundles. Serre-Swan theorem.

4. Differential operators and their symbols.

De Rham algebra and de Rham differential.

Lie derivative and Cartan's formula.

5. Elliptic equations and their properties.

Weak maximum principle. Harmonic functions,

mean value property of harmonic functions.

6. Stokes' theorem, de Rham cohomology,

applications to topology.

7. Definition of a connection.

Construction of connections on vector bundles.

Parallel transport along a connection.

8. Torsion and curvature of a connection.

Existence and uniqueness of the Levi-Civita

connection.

Prerequisites:

some knowledge of linear algebra (tensor product,

polylinear, symmetric, anti-symmetric forms,

self-adjoint and anti-self adjoint operators)

analysis (manifolds, coordinates, Taylor series,

partition of unit) and topology (topological spaces,

continuous maps, limits, compactness).

8  Порядок формирования оценок по дисциплине

Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 10 балльной

шкале.

Результирующая оценка за итоговый контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за зачет, удельный вес k2 = 0,5.

Оитоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.

Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.

В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.

9  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

9.1  Базовый учебни

Cours D'Analyse by Laurent Schwartz

9.2  Основная литература

Handouts (forming a little book) and the slides for the course are available

at the course's page: http://bogomolov-lab. ru/KURSY/GEOM-2013/

9.3  Дополнительная литература

Milnor, Differential Topology