МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Петрозаводский государственный университет

Математический факультет

Кафедра прикладной математики и кибернетики

УТВЕРЖДАЮ

декан математического факультета

«___» __________ 2012 г.

Рабочая программа дисциплины

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Направление подготовки

010400 Прикладная математика и информатика

Профиль подготовки

Общий

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Форма обучения

очная

Петрозаводск

2012 г.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИСЦИПЛИНЕ

Название дисциплины –Теория вероятностей и математическая статистика

Факультет, на котором преподается данная дисциплина - математический

Направление подготовки – Прикладная математика и информатика

Квалификация (степень) выпускника - Бакалавр

Цикл дисциплин – Профессиональный

Часть цикла – Базовая

Курс – 2,3

Семестры – 4,5

Всего зачетных единиц – 8

Всего часов – 288

Аудиторные занятия 144 часа (лекции 72 часа, практические занятия 72 часа)

Самостоятельная работа – 144 часа

Экзамен – 4, 5 семестр

Зачет – 4, 5 семестр

Составитель рабочей программы: профессор, д. ф.-м. н.

1. Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины "Теория вероятностей" являются: знакомство с основными понятиями современной теории вероятностей, выработка у студентов навыков решения базовых вероятностных задач, освоение классических методов вероятностного анализа прикладных задач.

2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО

«Теория вероятностей» входит в цикл профессиональных дисциплин в базовой части. Материал курса опирается на следующие разделы математического анализа: 1) теория интеграла Лебега и Лебега Стилтьеса, 2) сходимость по мере и почти всюду; 3) элементы теории функций комплексной переменной; 4) теория экстремумов функций вещественной переменной; разделы алгебры: теория матриц и определителей.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Освоение дисциплины «Теория вероятностей» является основанием для успешного изучения как дальнейших базовых курсов – теории случайных процессов и математической статистики, так и специальных курсов, в частности, связанных с применением теории вероятностей в анализе современных телекоммуникационных систем. Кроме того, приобретенные знания очень важны в дальнейшей научно-исследовательской работе и при обучении в магистратуре, в частности, для освоения курса «Случайные процессы в системах обслуживания», а также для курсов по финансовой математике.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины:

ПК-1: способность демонстрации общенаучных базовых знаний математики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать: основные понятия теории вероятностей, свойства основных математических объектов в этой области, формулировки и методы доказательства важнейших теорем, возможные сферы приложения основных вероятностных понятий.

Уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области теории вероятностей и случайных процессов, доказывать основные утверждения.

Владеть: математическим аппаратом теории вероятностей, основными статистическими методами оценивания вероятностных характеристик.

4. Структура и содержание дисциплины

Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц или 288 часов (144 аудитор-ных часов и 144 часа самостоятельной работы).

№

Раздел дисциплины

Семестр

Неделя семестра

Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов, и трудоемкость (в часах)

Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации

(по семестрам)

Лек

Прак

Сам

Все-го

1

Дискретное вероятностное пространство. Определение и свойства вероятности. Дискретная случайная величина (СВ). Случайная величина (СВ), борелевская функция.

4

1

3

3

3

9

2

Примеры дискретных распределений. Распределение Пуассона и его матожидание. Распределение Бернулли, матожидание и дисперсия числа успехов (вывод). Независимые и несовместные события, полная группа несовместных событий. Условная вероятность, формула полной вероятности, формула Байеса (вывод).

4

2

3

2

3

8

3

Математическое ожидание СВ, свойства. Дисперсия (свойства), ковариация, корреляция, среднеквадратическое отклонение. Коэффициент корреляции (не более 1 по модулю, вывод). Среднеквадратическая ошибка оценивания. Индикатор и его свойства.

Контрольная по темам 1-3

4

3

3

4

4

11

4

Независимость в совокупности и попарная (контрпример Бернштейна). Теоремы Бернштейна и Вейерштрасса (об аппроксимации непрерывных функций).

4

4

2

2

2

6

5

Момент к-го порядка СВ. Теорема Пуассона для схемы Бернулли (вывод). Неравенства Чебышева, Маркова (вывод). Закон больших чисел в форме Чебышова и Бернулли.

4

5

2

2

2

6

6

Локальная теорема Лапласа для схемы Бернулли. Интегральная теорема Муавра-Лапласа для схемы Бернулли. Производящая функция, ее применение, мультипликативность, примеры.

Самостоятельная по темам 4-6

4

6

2

4

3

9

7

Общее вероятностное пространство, сигма-алгебра множеств. Примеры. Построение вероятностного пространства на прямой, исходя из (полу) алгебры интервалов. Теорема Каратеодори. Прямое произведение вероятностных пространств.

4

7

3

2

3

8

8

Абсолютно непрерывные распределения, плотность, примеры таких распределений:

Распределение равномерное (непрерывное) и его матожидание. Распределение нормальное, свойства. Распределение показательное, его матожидание, свойство потери памяти.

4

8

4

4

3

11

9

Многомерная функция распределения и ее свойства. Сингулярное распределение, пример Кантора.

4

9

2

2

2

6

10

Вычисление интеграла Лебега и Лебега-Стилтьеса. Математическое ожидание СВ как интеграл Лебега-Стилтьеса. Математическое ожидание функции от СВ, примеры.

Контрольная по темам 7-10

Формула плотности функции от СВ (вывод).

4

10

4

4

5

13

11

Свойства с вероятностью 1, сходимость с вероятностью 1. Критерий независимости с. в.

4

11

2

2

2

6

12

Теоремы Лебега, Леви о предельном переходе под знаком математического ожидания (интеграла Лебега).

4

12

2

1

2

5

13

Характеристическая функция, примеры, свойства. Центральная предельная теорема.

Зачет

4

13

4

4

2

10

36

36

Экзамен

Всего в 4 семестре

36

36

72

144

14

Дискретные однородные цепи Маркова: основные определения (классификация состояний).

5

1

4

4

3

11

15

Основные предельные теоремы для дискретной цепи Маркова.

5

2

2

2

3

7

16

Определение случайного процесса, теорема Колмогорова о существовании случайного процесса. Условие согласованности конечномерных распределений.

5

3

2

2

3

7

17

Однородный Марковский процесс: вывод уравнений Колмогорова.

5

4

4

2

3

9

18

Процесс броуновского движения. Некоторые свойства. Процесс восстановления: функция восстановления, основные предельные теоремы теории восстановления

5

5

4

4

3

11

19

Уравнение восстановления и его решение. Стационарный процесс восстановления, парадокс времени восстановления.

Контрольная по темам 14-19

5

6

4

4

3

11

20

Условная вероятность и условное матожидание относительно разбиений. Условное матожидание и его свойства: общий случай.

5

7

4

4

3

11

21

Элементы математической статистики. Эмпирическая ф. р. и ее свойства. Точечные оценки: свойства, примеры. Состоятельная и несмещенная точечная оценка (определение).

5

8

2

4

5

11

22

Доверительное оценивание, пример (доверительный интервал для неизвестного матожидания в нормальном законе при известной дисперсии).

5

9

4

4

4

12

23

Проверка статистических гипотез, пример. Линейная регрессия.

Контрольная по темам 20-23

5

10

4

4

3

11

24

Мартингалы, примеры.

5

11

2

2

3

7

36

36

Экзамен

Всего в 4 семестре

36

36

72

144

ВСЕГО

72

72

144

288

5. Образовательные технологии:

В процессе преподавания дисциплины используются традиционные формы и методы обучения (лекции, практические занятия, консультации, устные опросы, контрольные работы).

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.

Самостоятельная работа студентов включает:

- выполнение домашних заданий;

- подготовку к контрольным работам, устным опросам, экзаменам;

В каждом семестре проводятся по две контрольные работы, а в 4-м семестре также и одна самостоятельная работа. Содержание контрольных работ составляют типовые задачи, идеи решения которых подробно разбираются на практических занятиях.

Содержание контрольных и самостоятельных работ

Контр. работа №1: Дискретная с. в. Примеры дискретных распределений. Формула полной вероятности, формула Байеса. Вычисление вероятностных характеристик дискретных случайных величин.

Самост. работа №1: Неравенства Чебышева и Маркова. Локальная теорема Лапласа для схемы Бернулли. Интегральная теорема Муавра-Лапласа для схемы Бернулли.

Контр. работа №2: Непрерывная с. в. Примеры. Функция распределения с. в. Математическое ожидание СВ как интеграл Лебега-Стилтьеса.

Контр. работа №3: Дискретные однородные цепи Маркова. Критерий эргодичности.

Контр. работа №4: Эмпирическая ф. р. и ее свойства. Точечные оценки. Доверительное оценивание. Проверка статистических гипотез. Линейная регрессия.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература:

1.  Морозов вероятностей. Часть 1. Изд-во ПетрГУ, 2005.

2.  Морозов вероятностей. Часть 2. Изд-во ПетрГУ, 2009.

3.  Ширяев . . М.: Наука, 1989.

4.  Боровков вероятностей. М.: Наука, 1986.

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий.

Программа составлена в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) направления «Прикладная математика и информатика» (квалификация Бакалавр, год утверждения стандарта 2010) с учетом методических рекомендаций и Примерной основной образовательной программы ВПО по направлению «Прикладная математика и информатика» квалификация Бакалавр.

Автор: проф.

Программа рассмотрена и утверждена на заседании кафедры прикладной математики и кибернетики 27 апреля 2012 года, протокол № 5.

И. о. зав. кафедрой Л. В. Щеголева

Программа одобрена на заседании УМК математического факультета ПетрГУ

30 апреля 2012 года, протокол № 8.