Специальные главы высшей математики (стр. 1 )

Министерство образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

________________________________________________________

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ

ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Методические указания и варианты заданий

для студентов II курса факультета

летательных аппаратов

(специальности 071100, 071300, 070200)

НОВОСИБИРСК

2003

Составили: проф. ,

ст. преп. ,

преп.

Рецензент: д-р техн. наук, проф., зав. каф. инженерной математики НГТУ

Работа подготовлена кафедрой прочности

летательных аппаратов

Новосибирский государственный

технический университет, 2003

ВВЕДЕНИЕ

В соответствии с графиком самостоятельной работы по курсам «Уравнения математической физики» и «Высшая математика» (спецразделы) студенты обязаны выполнить индивидуальное практическое задание. Настоящая работа состоит из задач по различным разделам курса, предназначенных для самостоятельного решения.

Указания по оформлению заданий

1. Текстовая часть заданий выполняется на листах писчей (белой или клетчатой) бумаги форматом 210 × 297 мм. Листы нумеруются вместе с бланком задания и сшиваются в тетрадь с обложкой из плотной белой бумаги.

2. Текст пишется четко и аккуратно. Слева оставляются поля 2,5 см для сшивания, справа – 1 см, размер верхнего и нижнего полей – 1,5 см.

3. Текстовая часть должна представлять последовательное изложение теоретических положений и решений предложенных задач. Все используемые обозначения должны совпадать с лекционными обозначениями или быть объяснены. Не допускается приведение формул и вычислений без текстового комментария. Формулы, на которые имеются ссылки в тексте, должны нумероваться в пределах каждого раздела арабскими цифрами: первая цифра указывает номер раздела, вторая – порядковый номер формулы, например: (1.2.). Номер формулы помещается на правом поле.

1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

1.1. Решить следующие задачи на условный экстремум. Воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа – эффективный способ решения задач на условный экстремум для функций многих переменных. Значительное число примеров решения задач на условный экстремум рассмотрено в работе [1, п. 2].

1.1.1. Найти прямоугольник наибольшей площади, вписанный в окружность единичного радиуса.

1.1.2. Найти наименьшее расстояние от начала координат до прямой .

1.1.3. Найти три числа x, y, z таких, что их произведение максимально, сумма равна 5, а сумма попарных произведений – 8.

1.1.4. Найти два числа, произведение которых максимально, а сумма равна а.

1.1.5. Найти точки экстремума на кривой, получающейся в результате пересечения цилиндра плоскостью .

1.1.6. На сфере с радиусом r = 3 найти точки, в которых функция принимает экстремальные значения.

1.1.7. Найти четыре числа, произведение которых максимально, а сумма равна заданному значению.

1.1.8. Найти кратчайшее расстояние от точки плоскости с координатами (1;0) до эллипса .

1.1.9. В окружность радиуса r вписать прямоугольник наибольшей площади.

1.1.10. Найти точки на прямой , для которых сумма квадратов косинусов координат экстремальна.

1.1.11. Найти кратчайшее расстояние от заданной точки
N(а, b, с) до плоскости .

1.1.12. Установить, какой из прямоугольников с заданной площадью имеет наименьший периметр.

1.1.13. На эллипсоиде найти точку, наиболее удаленную от начала координат.

1.1.14. В заданный круг вписать наибольший по площади треугольник с данным углом a.

1.1.15. Определить размеры прямоугольного открытого сверху ящика так, чтобы при заданном объеме V и толщине стенок h на него пошло наименьшее количество материала.

1.1.16. Определить размеры цилиндрического сосуда с данной поверхностью и наибольшим объемом.

1.1.17. Какой из конусов с данной боковой поверхностью имеет наибольший объем?

1.1.18. Какая точка шаровой поверхности наиболее удалена от точки A(1, 2, 3)?

1.1.19. Найти наибольшее и наименьшее расстояния от точек эллипса до прямой

1.1.20. Среди прямоугольников, вписанных в эллипс , найти такой, который имеет наибольший пе-риметр.

1.1.21. Среди прямоугольных параллелепипедов, вписанных в эллипсоид , найти тот, который имеет наибольший объем.

1.1.22. Найти полуоси a и b эллипса наи-меньшей площади, содержащего внутри себя окружность .

1.1.23. Среди всех кубических уравнений с действительными корнями, найти такое, для которого коэф-фициент C экстремален.

У к а з а н и е: воспользуйтесь теоремой Виета.

1.1.24. Даны местоположения (координаты) трех точек P1, P2, P3 на плоскости. Необходимо найти такую точку на плоскости, сумма расстояний от которой до заданных точек была бы наи-меньшей.

1.1.25. Установить, какой из треугольников с заданной пло-щадью имеет наименьший периметр.

1.2. Записать первую и вторую вариации функционалов. Найти экстремали и исследовать характер экстремумов по полному приращению функционала. Большое число примеров решения подобных задач рассмотрено в книге [1, гл. 2].

1.2.1. , .

1.2.2. ,.

1.2.3. ,.

1.2.4. ,.

1.2.5. ,.

1.2.6. ,.

1.2.7. ,.

1.2.8. ,.

1.2.9. ,.

1.2.10. ,.

1.2.11. ,.

1.2.12. ,.

1.2.13. ,.

1.2.14. ,.

1.2.15. , .

1.2.16. ,.

1.2.17. ,.

1.2.18. ,.

1.2.19. ,.

1.2.20. ,.

1.2.21. .

1.2.22. ,

.

1.2.23. , .

1.2.24. ,.