Вопросы к экзамену
по дисциплине «Математика»
для студентов направления бакалавриата 41.03.04 «Политология»
Аксиоматический метод в математике. Понятие модели. Классификация моделей. Математическая модель. Общее понятие матрицы. Определение квадратной, треугольной, диагональной, единичной матриц. Свойства матриц. Операции над матрицами. Определитель и его свойства. Схемы вычисления определителей матриц второго и третьего порядка. Обратная матрица. Методы её вычисления. Связь обратимости матрицы со значением её определителя. Свойства обратной матрицы. Определение решения системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Эквивалентные системы уравнений. Совместная, несовместная, определённая и неопределённая система. Методы решения систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Предел функции. Бесконечно большие и бесконечно малые величины их свойства. Первый и второй замечательные пределы. Методы раскрытия неопределённостей Односторонние пределы, их связь с двусторонним пределом. Теоремы о неравенствах в пределе. Определение непрерывности функции в точке и на промежутке. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва функции и их классификация. Определение производной функции в точке и дифференцируемости функции на промежутке, основные правила дифференцирования. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности функции. Теорема о достаточном условии монотонности функции. Определение выпуклости функции на промежутке и точки перегиба графика функции. Теорема о достаточном условии выпуклости функции. Экстремум и критические точки функции. Теоремы об экстремуме дифференцируемой функции. Асимптоты графика функции. Теоремы о вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптотах. Определение первообразной функции. Теорема о числе первообразных и о связи между ними. Определение неопределённого интеграла и его свойства. Основные методы интегрирования. Интегрирование разложением. Метод интегрирования по частям. Интегрирование заменой переменных. Интегрирование рациональных дробей. Определение и основные свойства определённого интеграла. Теорема о вычислении площади фигуры, заключённой между графиками двух функций Несобственные интегралы функций на неограниченном промежутке. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Предмет теории вероятностей. События и операции над ними. Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения (с повторениями и без повторений). Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности. Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Понятие случайной величины. Распределения вероятностей случайных величин. Дискретные случайные величины. Функция распределения и плотность вероятностей. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность вероятностей. Математическое ожидание и дисперсия дискретных и непрерывных случайных величин. Основные законы распределения случайных величин. Особая роль нормального распределения. Коэффициент корреляции. Закон больших чисел. Статистическое описание результатов наблюдений. Графические представления выборки. Точечные оценки параметров распределения. Метод максимального правдоподобия. Метод наименьших квадратов. Интервальное оценивание параметров распределения. Проверка статистических гипотез. Проверка гипотез о законах распределения. Проверка гипотез о равенстве дисперсий. Постановка задачи линейного программирования: общая и основная задачи линейного программирования, методы решения, критерий оптимальности, двойственные задачи и их интерпретация. Транспортная задача: основные понятия, закрытая и открытая модели, критерий оптимальности, методы поиска оптимального решения.Практические задачи к экзаменационным билетам
1. Найти предел 
2. Найти предел 
3. Вычислить определенный интеграл 
4. Найти предел 
5. Найти предел 
6. Найти предел 
7. В аптеке работают 4 мужчины и 12 женщин. По табельным номерам наудачу отобрано 8 человек. Какова вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 мужчины?
8. Брошены две игральные кости. Какова вероятность выпадения на двух костях в сумме 6 очков?
9. Из пяти карточек с буквами А, Б,В, Г,Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность, что получится слово ДВА?
10. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобрано 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.
11. Найти производную функции y=(x5+8x)sin2x
12. Найти производную функции y=e2x(x3+ 
)
13. Найти производную функции y= 
14. Найти производную функции y=lncos3x
15. Найти неопределенный интеграл 
16. Найти неопределенный интеграл 
17. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобрано 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников.
18. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем, 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.
19. В ящике 10 деталей, из которых окрашено 4. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
20. В читальном зале имеются 6 учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
21. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает 3 вопроса, предложенные ему экзаменатором.
22. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному 3 кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекают: а) без возвращения, б) с возвращением.
23. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной дискретной величины X, заданной законом распределения
xi | 0,5 | 1,0 | 1,7 | 2,0 | 2,4 | 2,8 |
pi | 0,1 | 0,15 | 0,2 | 0,22 | 0,18 | 0,15 |
24. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной дискретной величины X, заданной законом распределения
xi | 1,5 | 3,2 | 5,1 | 7,4 | 8,9 | 10,5 |
pi | 0,05 | 0,09 | 0,15 | 0,21 | 0,29 | 0,21 |
25. Найти неопределенный интеграл 
26. Найти неопределенный интеграл 
27. Чему равна матрица, обратная матрице 
?
28. Решить систему уравнений методом Гаусса.
29. Чему равна матрица, обратная матрице 
?
30. Решить систему уравнений методом Крамера
