Важность процесса постановки и решения задач неоднократно подчеркивалась крупнейшими математиками и педагогами: «Задачи – сердце математики, и мы должны подчеркивать это все более и более в классе, на семинарах, в книгах и статьях, которые мы пишем, чтобы наши ученики стали лучшими постановщиками и решателями задач, чем мы сами» (П. Халмош)

Между тем, сознавая, что конечная цель деятельности профессионального математика – это постановка и решение задач, которые потом станут теоремами его имени, мы подчас смиряемся с подменой изучения математики как «практического искусства, подобного плаванию и катанию на лыжах или игре на фортепьяно, научиться которому можно только постоянно практикуясь» (Д. Пойа) сугубо теоретическими курсами или решениями задач более или менее алгоритмического характера, а качество обучения проверяется знанием как можно более широким спектром шаблонов и алгоритмов.

Мы не хотим идеализировать массовую практику обучения решению задач в отечественной школе. Но обращаем внимание на то, что идеи, заложенные в методику обучения, возможности этой методики и практическая реализация методики — не одно и то же. Вот как описывал практику обучения решению задач, сложившуюся в нашей стране к середине 40-х годов: «Учеников — в том или ином порядке — знакомят с соответствующими «типами» задач, причем обучение решению задач сплошь и рядом сводится к рецептуре и «натаскиванию», к пассивному запоминанию учениками небольшого числа стандартных приемов решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином случае.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Количество задач, которые ученики решают действительно самостоятельно, с тем напряжением мысли, которое и должно являться источником полезности процесса решения задачи, ничтожно. В итоге — полная беспомощность и неспособность ориентироваться в самых простых арифметических ситуациях, при решении чисто практических задач...» Во многом, эта ситуация сохранилась и до сих пор.

Традиционная текстовая задача (на движение, работу и т. п.) в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ входит в первую часть.

Пример: Заказ на 140 деталей первый рабочий выполняет на 4 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 4 детали больше?

Решение.

Пусть второй рабочий делает в час деталей, , тогда первый рабочий делает за час детали. Время, за которое сделает заказ первый рабочий , а время, за которое сделал заказ второй рабочий, равно . Составим по условию задачи уравнение: . Разделив обе части уравнения на 4, получим . Умножив обе части последнего уравнения на приходим к уравнению . Раскроем скобки, перенесем все слагаемые в правую часть, приведем подобные слагаемые и решим полученное квадратное уравнение . Корнями уравнения являются числа -14 и 10, из которых только второе больше 0.

Ответ: 10.

Средний процент правильных ответов не поднимается выше 50% . Наибольшие трудности – в составлении уравнения по условию задачи и его решении, неумении записывать время, данное в часах и минутах, в виде обыкновенной дроби; неумении решать дробно-рациональные уравнения, неумении оптимизировать вычислительные сложности при решении уравнения, деля обе части уравнения на общий множитель его коэффициентов. Высок процент тех выпускников, кто даже не приступал к решению данной текстовой задачи. Так обстоят дела с решением стандартных текстовых задач, хотя вполне однозначно определен алгоритм решения таких задач. Что уж говорить о нестандартных задачах, для решения которых не имеется общих правил и положений, определяющих полную программу их решения. Решение таких задач – это творчество, изобретение.

Таким образом, математическое творчество начинается там, где появляются задачи неалгоритмического характера или существующие алгоритмы нас не устраивают. Это соображение заставляет нас по-новому взглянуть на принципы составления задачников для школьников, проявляющих одаренность в области точных и естественных наук и, в частности, программ обучения в математических классах и школах.

Математические задачи выступают сейчас по крайней мере в четырех существенно разных функциях:

    как средство поиска, отбора и селекции одаренных школьников; как материал для проведения математических соревнований; как средство обучения математике; как конечная цель обучения профессионального математика.

Очевидно, что и задачи, пригодные для успешного использования в той или иной функции, должны отличаться друг от друга.

Следовательно, для повышения эффективности обучения нужно

    сформулировать и обосновать систему требований к задачам, которые используются в различных функциях; исследовать соотношение теоретического и задачного материала, привлекаемого для обучения одаренных детей; выделить и обосновать с учетом меняющейся школьной программы школьного обучения новый круг вопросов, выходящих за рамки школьных программ, пригодных для развития творческой активности школьников; обосновать возможность изучения существенной части чисто теоретического материала посредством решения задач, то есть самостоятельного доказательства теорем учащихся под руководством учителя и обсуждением решений.

Разумеется, подобный подход требует по сравнению с решением задач обычной трудности от школьников гораздо более длительной концентрации внимания, для чего требуется значительная внутренняя мотивация, побуждающая к длительным размышлениям над задачей, в связи с чем обучение теории через задачи возможно только для школьников, у которых подобная мотивация присутствует. Вместе с тем, это сближает процесс обучения с подлинной деятельностью профессионального математика, которому не каждый год удается решить хорошую задачу.

Этот подход в корне отличается от использования задач в рамках традиционного учебного процесса, когда метод решения задачи, как правило, известен заранее из названия раздела задачника, темы урока или из указаний учителя. Итогом традиционного обучения становится ситуация, когда обучаемый окончательно отвыкает искать метод решения задачи самостоятельно. Косвенным подтверждением этого тезиса является то, что, встретив задачу на обобщающей контрольной по нескольким темам, ученик часто не в состоянии решить ее, несмотря на то, что такую же, а иногда и более трудную, он без особых затруднений решал, когда был указан стереотип, к которому она относится.

Еще большие трудности возникают при решении задач, требующих нескольких идей или их комбинаций («многоходовок»). Если методы обучения решению нестандартных задач-одноходовок связаны с формированием ассоциативных связей между различными участками коры головного мозга и аналогичны общим методам решения творческих задач, изучаемым психологией творчества, то методы обучения решению многоходовок связаны с обучением разъединению задач на математически осмысленные простые части и тоже приближают процесс обучения к реальному труду ученого-математика, что делает их использование не только оправданным, но и желательным для использования в специализированных классах и школах.

Математические кружки с 5 по 11 класс – ключевой вид работы с теми школьниками, которые готовы к систематическим занятиям математикой в течение года и которым не достаточно материала, получаемого на уроках математики. Основное содержание занятий – решение нестандартных задач. Каждый школьник получает в начале занятия листок с задачами, которые, как правило, объединены одной темой. Школьники учатся решать задачи и излагать найденные решения.

Предлагается несколько занятий математического кружка, где подробно разобраны задачи различной сложности и даны методические указания для учителя.