ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ
Кафедра математического анализа и теории функций
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ
по курсу « МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ »
Для специальности «Математика» 2 курс, весенний семестр 2013/2014
Число недель: 18
Дни | Лекции | Часы | Практические занятия | Часы |
10.2–14.2 | Кратные интегралы. Интеграл Римана на n-мерном промежутке. Промежуток в и его мера. Интегральная сумма и интеграл. Необходимое условие интегрируемости. Множество меры нуль. Критерий Лебега интегрируемости функций. (Понятие термина “почти всюду”.) | 2 | Вычисление повторных интегралов. Вычисление двойных интегралов. | 2 |
17.2–21.2 | Критерий Дарбу. Нижний и верхний интегралы. Интеграл по множеству. Допустимые множества. Мера (объем) допустимого множества. Общие свойства интергала. Интеграл как линейный функционал. Аддитивность. | 2 | Двойные и тройные интегралы. Теорема Фубини. | 2 |
24.2–28.2 | Сведение кратного интеграла к повторному. Теорема Фубини. Следствия теоремы Фубини. Длина дуги. Свойство аддитивности. Спрямляемость. Достаточное условие спрямляемости кривых. Вычисление длины дуги. Криволинейные интегралы первого рода (типа). Сведение к обыкновенному определенному интегралу. | 2 | Вычисление двойных и тройных интегралов. Замены переменных в кратных интегралах. | 2 |
3.3–7.3 | Свойства интегралов первого рода. Нахождение массы кривой, статических моментов и центра тяжести. Криволинейные интегралы второго рода (типа). Существование и вычисление криволинейного интеграла второго рода. | 2 | Контрольная работа № 1: «Кратные интегралы». | 2 |
10.3–14.3 | Свойства интегралов второго рода. Физическая интерпретация. Случай замкнутого контура. Ориентация. Вычисление площади с помощью криволинейных интегралов. Связь между криволинейными интегралами обоих родов (типов). Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Необходимые и достаточные условия. | 2 | Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода. | 2 |
17.3–21.3 | Признак точного дифференциала и нахождение первообразной в случае прямоугольной области. Интегралы по замкнутому контуру. Понятия односвязной и многосвязной областей. Равенство нулю интеграла по замкнутому контуру. Решение предыдущих трех вопросов в трехмерном случае: независимость от пути, равенство нулю и пр. | 2 | Вычисление криволинейных интегралов 2-го рода. | 2 |
24.3–28.3 | Теорема (формула) Грина. Ее приложение к исследованию криволинейных интегралов. Замена переменных в кратном интеграле. Постановка вопроса. Формула замены переменных. Несобственные кратные интегралы. Основные определения. | 2 | Вычисление потенциальной функции в прямоугольной области. Вычисление криволинейных интегралов в трехмерных областях. | 2 |
31.3–4.4 | Абсолютная сходимость несобственного кратного интеграла (без доказательства, но с примером разницы определения одномерного и многомерного несобственного интегралов). Замена переменных в несобственном интеграле. Коллоквиум № 1 «Кратные и криволинейные интегралы». | 2 | Формула Грина и ее применение. | 2 |
7.4–11.4 | Определение функции с ограниченным изменением. Классы функций с ограниченным изменением. Свойства функций с ограниченным изменением. | 2 | Несобственные кратные интегралы и их вычисление. Замена переменных в несобственных кратных интегралах. | 2 |
14.4–18.4 | Критерий для функций с ограниченным изменением. Непрерывные функции с ограниченным изменением. Спрямляемые кривые. | 2 | Функции с ограниченным изменением. | 2 |
21.4–25.4 | Определение интеграла Стилтьеса. Общие условия существования интеграла Стилтьеса. Классы случаев существования интеграла Стилтьеса. | 2 | Интеграла Стилтьеса. | 2 |
28.4–2.5 | Свойства интеграла Стилтьеса. Интегрирование по частям. Вычисление интеграла Стилтьеса. Теорема о среднем. Оценки интеграла Стилтьеса. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса. Сведение криволинейного интеграла второго рода к интегралу Стилтьеса. | 2 | Контрольная работа № 2 «Криволинейные интегралы. Интеграл Стилтьеса». | 2 |
5.5–9.5 | Коллоквиум № 2 «Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса». | 2 | Поверхностные интегралы 1-го рода. | 2 |
12.5–16.5 | Сторона поверхности. Двусторонние поверхности. Направляющие косинусы нормали и выбор знака. Площадь криволинейной поверхности и ее вычисление. Поверхностные интегралы первого рода (типа). Сведение к двойному интегралу. Свойства интеграла. | 2 | Поверхностные интегралы 2-го рода. | 2 |
19.5–26.5 | Механические приложения поверхностных интегралов первого рода: масса, статические моменты, координаты центра тяжести. Поверхностные интегралы второго рода (типа). Существование и вычисление. Свойства. Физическое истолкование. Связь между интегралами обоих родов. Выражение объема тела поверхностным интегралом. Теорема (формула) Стокса. Приложение формулы Стокса к исследованию криволинейных интегралов в пространстве. Теорема (формула) Остроградского. Приложение формулы Остроградского к исследованию поверхностных интегралов. | 2 | Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского. Вычисление поверхностных интегралов. Приложения поверхностных интегралов. | 2 |
26.5–30.5 | Элементы векторного анализа. Скаляры и векторы. Скалярные и векторные поля. Поверхности уровня. Векторные линии. Векторные поверхности. Векторные трубки. Градиент. Инвариантное определение градиента. Оператор Гамильтона “набла” Поток вектора через поверхность. Гидромеханическая задача. Формула Остроградского. Дивергенция. Ее инвариантное определение. Циркуляция вектора. Формула Стокса. Вихрь (ротор). Его инвариантное определение. | 2 | Элементы векторного анализа. | 2 |
2.6–6.6 | Потенциальное поле. Характеристика потенциальных полей. Соленоидальное поле. Характеристика соленоидальных полей. Разложение произвольного поля на сумму потенциального и соленоидального. Обратная задача векторного анализа. | 2 | Контрольная работа № 3 «Поверхностные интегралы. Элементы векторного анализа». | 2 |
9.6–13.6 | Обзорная лекция. | 2 | Разбор контрольной работы | 2 |
.Лектор ст. преподаватель
Зав. кафедрой профессор
