Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости.
Теорема о перестановке пределов.
Равномерная сходимость и непрерывность.
Теорема Дини о равномерной сходимости монотонной последовательности непрерывных функций.
Теорема об интегрировании ряда.
Теорема о дифференцировании суммы ряда.
Радиус сходимости степенного ряда.
Формула Коши - Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.
Операции над степенными рядами.
Теорема Абеля о непрерывности степенного ряда на границе круга сходимости.
Ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции.
Равномерное приближение непрерывных функций многочленами. Теорема Вейерштрасса.
Неполнота пространства интегрируемых по Риману функций с интегральной нормой. Конструкция канторовских множеств. Их свойства.
Топологические свойства метрического пространства.
Понятие предела функции. Эквивалентные определения. Критерий Гейне.
Теорема о суперпозиции.
Элементарные теоремы о продолжении в равенствах и неравенствах.
Эквивалентные определения компактных множеств в метрических пространствах. Компактные множества в конечномерных евклидовых пространствах.
Теорема о непрерывном образе компактного множества.
Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях.
Теорема Кантора. Теорема о продолжении равномерно непрерывных отображений, определенных на плотном множестве.
Пополнение метрического пространства.
Нормы линейных отображений.
Теорема об эквивалентности норм в конечномерном нормированном пространстве.
Экзаменационные темы (3-й семестр).
Дифференциал и частные производные. Координатное представление дифференциала. Отображения.
Непрерывность частных производных и дифференцируемость функции в точке.
Дифференцирование суперпозиции дифференцируемых отображений.
Теорема о конечных приращениях.
Теорема Эйлера об однородных функциях.
Симметричность производных высших порядков.
Высшие дифференциалы; их координатное представление.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Порядок касания функций в точке. Полиномиальные разложения суммы, произведения и композиции.
Теорема об обратной функции.
Теорема о неявной функции.
Теорема о ранге отображения.
Достаточное условие функциональной независимости системы гладких функций.
Гессиан вещественной функции; его координатное представление. Достаточное условие локального экстремума.
Многообразия в Rn; Определение и примеры.
Строение множества регулярных решений гладкой системы уравнений.
Строение множества регулярных решений гладкой системы, состоящей из уравнений и одного неравенства.
Касательные векторы (кинематическое определение). Касательное пространство и контингенция; их свойства.
Действие гладкого отображения на касательные векторы (дифференциал); корректность определения; основные свойства.
Строение касательного пространства гладкого многообразия.
Составление уравнений касательной и контингенции.
Векторы, ортогональные к подмножеству; Ортогональ (нормаль). Теорема о градиентах.
Геометрический вариант леммы Ферма об экстремумах. Метод множителей Лагранжа поиска условного экстремума.
Сегменты (прямоугольники) пространства Rn; мера сегмента; лемма о дроблении.
Ступенчатые функции. Лемма об операциях над ступенчатыми функциями; примеры.
Ступенчатые функции. Примитивный интеграл; корректность определения; примитивная теорема Фубини.
Свойства примитивного интеграла (линейность, ограниченность, принцип исчерпывания).
Интегральная норма произвольной функции; ее свойства.
Интегрируемые функции. Интеграл; Корректность определения. Интегрирование по подмножеству. Простейшие свойства интеграла.
Пренебрежимые функции и множеств. Критерий пренебрежимости функции. Лемма о пренебрежимых изменениях.
Интегрируемые функции. Интеграл; корректность определения. Лемма о сходимости по норме.
Теорема о нормальных рядах.
Теорема Беппо Леви; "контрпримеры".
Лемма о верхней огибающей; "контрпример".
Теорема Лебега о мажорируемой сходимости ; "контрпримеры".
Необходимое условие интегрируемости; измеримые функции. Операции над измеримыми функциями.
Теорема о срезке. Признак интегрируемости Лебега.
Теорема об измеримости предела.
Связь интегралов Римана и Лебега.
Лемма о повторной норме.
Теорема Фубини. Теорема Тонелли. Пример несовпадения повторных интегралов.
Теорема о замене переменных.
.
Экзаменационные темы (4-й семестр).
Счётная аддитивность интеграла и меры.
Геометрическая интерпретация меры (внешняя мера).
"Пример" неизмеримого множества
Теорема об измеримости лебеговских множеств. Измеримость открытых и замкнутых подмножеств пространства Rn.
Интеграл как мера подграфика; формула Кавальери -- Лебега.
Обобщённая теорема Лебега. Основной признак непрерывности интеграла как функции параметра.
Основное правило дифференцирования интеграла как функции параметра.
Гамма-функция Эйлера; область определения; производные; выпуклость.
Признак непрерывности несобственного интеграла.
Правило дифференцирования несобственного интеграла.
Правило интегрирования несобственного интеграла. Вычисление интеграла Дирихле. Правило дифференцирования свёртки.
дельта-образные последовательности. Теорема о сходимости усреднений.
Лемма о сглаживании индикатора. Теорема об аппроксимации бесконечно гладкими функциями.
Наблюдения, приводящие к определению площади поверхности; лемма об израсходованной краске.
k-мерный объём k-измеримого лоскута в Rn; корректность определения.
Параметрическая формула интегрирования (формулировка. Интеграл в полярных координатах.
Интегральные представления бета-функции Эйлера. Объёмы сфер и шаров.
Дифференциальные формы степени k; операции сложения, умножения на функцию, внешнее умножение 1-форм; закон коммутативности.
Признак совпадения k-форм; теорема о координатном представлении диф. формы. Внешнее умножение диф. форм.
Внешнее дифференцирование диф. форм; его свойства.
Действие гладкого отображения на диф. формы; его свойства;запись в координатах.
Интеграл 1-формы по ориентированной дуге; корректность определения; основные свойства. Интеграл по цепи ориентированных дуг.
Формула Грина. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов. Векторные поля и диф. формы. Градиент, дивергенция, ротор. Основные формулы векторного анализа.
Интеграл диф. формы по левой переменной; формула гомотопии.
Замкнутые и точные формы; лемма Пуанкаре.
Ориентация гладкого многообразия. Способы задания ориентации. Индуцированная ориентация края. Отображения, сохраняющие ориентацию.
Интеграл Диф. формы по распрямляемому ориентированному многообразию; корректность определения;пять основных свойств операции интегрирования диф. форм.
Интеграл диф. формы по ориентированному многообразию;корректность определения.
Лемма о разложении единицы.
Формула Стокса (доказательство для простейших многообразий).
Теорема о плёнке. Теорема Брауэра о неподвижной точке.
Формула Гаусса - Остроградского.
Классическая формула Стокса.
Определение ортогональных систем. Коэффициенты Фурье относительно ортогональной системы в гильбертовом пространстве.
Тождество и неравенство Бесселя.
Полнота тригонометрической системы в L2[-π, π].
Теорема о полноте пространства L2.
Равенство Парсеваля.
Лемма Римана - Лебега. Ядро Дирихле, его свойства. Принцип локализации.
Условие Дини. Достаточное условие сходимости ряда в точке. Изопериметрическое свойство круга.
Определение преобразования Фурье и интеграла Фурье. Свойства преобразования Фурье. Достаточные условия представимости функции ее интегралом Фурье.
Гладкость функции и скорость убывания ее преобразования Фурье.
Пространство быстроубывающих функций (свойства).
Формула обращения. Равенство Парсеваля.
Программа практических занятий
1-й семестр
1. Математическая индукция п. 2.1, 2.2.
2. Теория множеств п. 1.
3. Понятия супремума и инфимума п. 3.
4. Определение и арифметические свойства предела последовательности п. 5.1.
5. Монотонные и рекуррентно заданные последовательности п. 5.2.
6. Контрольная работа.
7. Критерий Коши п. 5.4.
8. Ряды из положительных слагаемых п. 6.1.
9. Число e и функция exp(x). п. 5.5.
10. Частичные пределы. п. 5.3.
11. Определение и свойства предела функции. Классические пределы. п. 7.2.
12. Асимптотические выражения и вычисление пределов п. 7.3.
13. Контрольная работа.
14. Непрерывные функции. Определение, арифметические свойства.
Разрывы 1-го и 2-го рода п. 7.4.
15. Свойства непрерывных функций. Теоремы Вейерштрасса и Больцано --
Коши п. 7.4.
16. Топология вещественной прямой п. 7.1. (не обязательный)
17. Понятие мощности множества п. 4. (не обязательный)
18. Определения и арифметические свойства производной. Производные
элементарных функций. п. 9.1.
19. Исследование дифференцируемости функций "по определению".
Дифференциал п. 9.1.
20. Свойства дифференцируемых функций. Теорема Лагранжа п. 9.2.
21. Неравенства и локальные экстремумы п. 9.3.
22. Равномерная непрерывность п. 10. (не обязательный)
23. Контрольная работа.
24. Производные обратной и неявно заданных функций. Производные
высших порядков п. 9.4.
25. Выпуклость функций. Неравенство Йенсена п. 11.
26. Построение кривых и графиков функций п. 12.
27. Формула Тейлора п. 13.
28. Абсолютная и условная сходимость рядов. Признаки Абеля и Дирихле п. 6.2.
29. Перестановки рядов. Теорема Римана п. 6.3. (не обязательный)
30. Степенные ряды. Радиус сходимости. п. 15
31. Контрольная работа.
2-й семестр
1.-6. Первообразные. Интегрирование по частям и замены переменных. п. 18.
7. Контрольная работа
8. Интеграл Римана. Свойства. п. 20.2.
9. Вычисление определенных интегралов. п.20.3
10-11. Теоремы о среднем. Оценки интегралов. Оценки конечных сумм. п. 20.4.
12. Вычисление длин кривых, площадей и объёмов. п. 20.5., п. 20.6
13. Несобственный интеграл. Признак сравнения. п. 21.
14. Признаки Абеля и Дирихле. п. 21.
15. Контрольная работа.
16. Бесконечные произведения. Сходимость. Формула Валлиса. п. 17.
17. Признаки сходимости бесконечных произведений. п. 17.
18. Равномерная сходимость последовательностей. п. 14.
19. Признаки равномерной сходимости рядов. п. 14.
20-21. Дифференцируемость и интегрируемость рядов. п. 14.
22. Степенные ряды. Радиус сходимости. п. 15.
23. Ряд Тейлора и аналитические функции п. 15.
24. Контрольная работа.
25.-27. Метрические пространства. Топологические понятия. п. 22.
28. Нормированные пространства. п. 25.
29. Пределы функций многих переменных. Отдел VI п.
30. Контрольная работа.
3-й семестр
1. Предел функции многих переменных.
2-4. Дифференциал и его свойства.
5-6.Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
7. Контрольная работа
8-9.Дифференцирование неявной функции.
10-11.Замена переменных в дифф. выражениях.
11. Контрольная работа
12-13. Экстремум функции во внутренней точке
14.-15. Многобразие. Касательные и нормали.
16-18.Условный экстремум
18. Контрольная работа
19-20.Теорема Фубини. Двойной интеграл.
21-22.Тройной интеграл.
23-29.Замена переменых в интеграле.
30-31.Многократные интегралы. Принцип Кавальери.
32. Контрольная работа
4-й семестр
1-3.Интегралы зависящие от параметра.
4-5.Специальные функции.
6. Контрольная работа
7.Интерал по кривой.
8-9.Интеграл по поверхности.
10.Свёртка и аппроксимация.
11. Контрольная работа
12.Внешние формы. Свойства.
13. Дифференцирование внешних форм.
14.Элементы векторного анализа.
15-16.Интегрирование 1-форм.
17. Контрольная работа
18.Формула Грина.
19.Ориентация многообразия.
20-21.Интегрирование k-форм.
22-23.Формула Стокса.
24. Контрольная работа
25-26.Разложение в ряд Фурье.
27.Сходимость ряда Фурье.
28.Интеграл Фурье.
29-30.Преобразование Фурье.
31. Контрольная работа
Параграфы указаны в задачниках [6], [7-8].
Текущий контроль. В течение изучения дисциплины проводятся семинары, где студенты учатся применять полученные на лекциях теоретические знания при решении задач. Выполнение домашних заданий, решение контрольных работ и сдача коллоквиумов являются обязательными для всех студентов. Результаты текущего контроля служат основанием для выставления оценок в ведомость контрольной недели на факультете.
Промежуточный контроль. Для контроля усвоения дисциплины учебным планом предусмотрено 4 экзамена в конце каждого семестра. К экзамену допускаются студенты, получившие зачет на семинарских занятиях. Экзамен проводится в письменном (потоковые контрольные) и устном виде (см. выше).
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля) «Конспект лекций» url: http://math. nsc. ru/~matanalyse/
»
а) Основная литература:
1. . Математический анализ. Т. 1, 2. – М.: МЦНМО, 2007.
2. . Курс математического анализа. Т. 1, 2.– Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001.
3. . Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1—3. – М.: Лань, 2009.
4. Водопьянов пособия.
5. М. Спивак. Математический анализ на многообразиях. – М. 2005.
6. . Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: 2009.
7. , , . Сборник задач по математическому анализу. Т. 1—3. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003.
8. , , . Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Семестр 1. Новосибирск: изд. НГУ, 2008.
9. , , . Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Семестр 2. Новосибирск: изд. НГУ, 2010.
10. . Компактный курс математического анализа. Ч.1. и Ч.2., 2-е изд. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2003.
б) Дополнительная литература:
1. У. Рудин. Основы математического анализа. Изд.-во Лань, С.-Пб,2004.
2. , . Мера и интеграл. – М.: Факториал Пресс. 2002.
3. Ж. Дьедоне. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964.
4. . Математические методы классической механики. – М.: Едиториал УРСС. 2003.
5. Б. Гелбаум, Дж. Олмстед~Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967.
6. Лекции по математическому анализу, М.:Изд-во МЦНМО.
в) Программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
1. Программа курса, билеты – url: http://math. nsc. ru/~matanalyse/
8.Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Доска, мел, тряпка.
Автор:_________________________________
к. ф.-м. н. доцент ММФ НГУ
Рецензент (ы) _________________________
Программа одобрена на заседании Методической комиссии ФИТ
от ___________ года, протокол № ________.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
