Вопросы к экзамену по высшей математике

Вопросы к экзамену по высшей математике

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

1.  Понятие множества, операции над множествами. Основные числовые множества, грани числовых множеств.

2.  Числовые функции одной переменной, множества определения и значений, график функции. Способы задания функций. Примеры.

3.  Классификация функций одной переменной: чётные (нечётные), монотонные, ограниченные, периодические. Доказать, что произведение двух четных функций есть четная функция, произведение двух нечетных – четная функция, произведение четной и нечетной функции – нечетная функция.

4.  Основные элементарные функции, их свойства и графики.

5.  Класс элементарных функций. Примеры неэлементарных функций.

6.  Функция как отображение. Сложная функция. Обратная функция, теорема о существовании обратной функции у монотонной функции.

7.  Окрестность точки. Предел функции в конечной точке. Геометрический смысл.

8.  Ограниченные функции. Доказать, что если функция имеет конечный предел в точке, то в некоторой окрестности этой точки она ограничена.

9.  Окрестность бесконечно удаленной точки. Определение предела функции на бесконечности. Геометрический смысл.

10.  Предел последовательности. Определение предела функции по Гейне. Примеры функций, для которых предел в точке не существует.

11.  Односторонние пределы. Теорема о связи предела функции с односторонними пределами.

12.  Бесконечно малые функции и их свойства.

13.  Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.

14.  Бесконечно большие функции и их свойства. Теорема о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

15.  Основные теоремы о пределах (арифметические свойства и единственность предела).

16.  Сложная функция. Предел сложной функции.

17.  Лемма о сжатой переменной и предельный переход в неравенствах.

18.  Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции и их применение при вычислении пределов. Примеры.

19.  Первый замечательный предел. Примеры.

20.  Второй замечательный предел. Примеры.

21.  Основные эквивалентные бесконечно малые функции (вывод).

22.  Приращения аргумента и функции. Непрерывность функции в точке (два определения и их эквивалентность).

23.  Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность элементарных функций.

24.  Условия непрерывности функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация.

25.  Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства (теоремы Вейерштрасса и Коши).

26.  Применение теорем Вейерштрасса и Коши о функциях, непрерывных на отрезке, при исследовании уравнений и неравенств.

27.  Производная функции, геометрический смысл. Уравнение касательной. Может ли касательная к кубической параболе составлять с ось Ox тупой угол?

28.  Приращение функции и производная, их химический и механический смысл.

29.  Дифференцируемость функции. Теорема о дифференцируемости функции. Необходимое условие дифференцируемости.

30.  Дифференциал функции, связь с производной. Геометрический и механический смысл дифференциала.

31.  Приращение функции и дифференциал. Использование дифференциала для приближенных вычислений. Линеаризация и её геометрический смысл.

32.  Основные правила дифференцирования (производная суммы, произведения, частного).

33.  Производная сложной функции и производная обратной функции. Примеры.

34.  Степенная функция. Непрерывность и дифференцируемость степенной функции.

35.  Показательная функция. Непрерывность и дифференцируемость показательной функции.

36.  Логарифмическая функция. Непрерывность и дифференцируемость логарифмической функции.

37.  Тригонометрические функции. Непрерывность и дифференцируемость тригонометрических функций.

38.  Обратные тригонометрические функции. Непрерывность и дифференцируемость обратных тригонометрических функций.

39.  Функции, заданные неявно. Дифференцирование функций, заданных неявно, логарифмическое дифференцирование.

40.  Производные высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

41.  Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков.

42.  Теорема Ферма и ее геометрический смысл. Необходимое условие локального экстремума.

43.  Теорема Ролля и ее геометрический смысл. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции на отрезке [0;8].

44.  Теорема Лагранжа (формула конечных приращений) и ее геометрический смысл. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке [-1;1].

45.  Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений). Написать формулу Коши для функций и на отрезке [1;2] и найти значение , для которого выполняется теорема Коши.

46.  Правила Лопиталя. Примеры.

47.  Формула Тейлора. Представление остаточного члена в форме Лагранжа.

48.  Формула Тейлора. Представление остаточного члена в форме Пеано.

49.  Формула Тейлора в дифференциалах.

50.  Формулы Маклорена для функций , , , , и её применение.

51.  Возрастание и убывание функции. Условия монотонности дифференцируемой функции.

52.  Критерий строгой монотонности дифференцируемой функции.

53.  Локальные экстремумы функции и «три правила» их нахождения.

54.  Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке.

55.  Выпуклость графика дифференцируемой функции. Достаточный признак выпуклости графика функции.

56.  Точки перегиба графика функции. Необходимое и достаточные условия точек перегиба.

57.  Асимптоты графика фунции. Примеры.

58.  Общая схема исследования функции и построение её графика.

59.  Комплексные числа как точки комплексной плоскости. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

60.  Модуль и аргумент комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра.

61.  Извлечение корня -ой степени из комплексного числа.

62.  Первообразная функции. Неопределённый интеграл и его основные свойства.

63.  Таблица основных неопределённых интегралов. Инвариантность формулы интегрирования.

64.  Интегрирование заменой переменной. Примеры.

65.  Интегрирование по частям. Примеры.

66.  Интегрирование простейших рациональных функций. Примеры.

67.  Алгоритм интегрирования рациональных функций. Примеры.

68.  Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических. Метод рационализации.

69.  Метод рационализации при интегрировании простейших иррациональных функций.

70.  Интегралы типа .

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

71.  Определение и размер матрицы. Основные виды матриц.

72.  Сумма и разность матриц, умножение матрицы на число: определение и свойства этих операций.

73.  Произведение и транспонирование матриц: определение и свойства этих операций.

74.  Определители 2-го и 3-го порядка: вычисление по определению и с использованием свойств.

75.  Свойства определителей, вычисление определителей 4-го и высших порядков.

76.  Определение, вычисление, единственность и условия существования обратной матрицы.

77.  Необходимое и достаточное условия существования обратной матрицы.

78.  Элементарные преобразования матриц. Каноническая матрица. Ранг матрицы.

79.  Система линейных алгебраических уравнений и ее вид в матричной форме. Решение систем методом обратной матрицы.

80.  Метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.

81.  Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

82.  Применение метода Гаусса для вычисления обратной матрицы.

83.  Теорема Кронекера-Капелли и ее применение к исследованию систем линейных алгебраических уравнений.

84.  Векторы на плоскости и в пространстве. Нуль-вектор, единичный вектор, коллинеарные и компланарные вектора. Примеры. Условие коллинеарности двух векторов.

85.  Линейные операции над векторами и их свойства. Условие коллинеарности двух векторов.

86.  Проекция вектора на ось (направление). Свойства проекций.

87.  Линейная зависимость и независимость векторов. Критерии линейной зависимости двух, трех векторов.

88.  Теорема о разложении по двум неколлинеарным векторам любого вектора, компланарного с ними.

89.  Векторный базис в пространстве и на плоскости. Координаты вектора. Ортонормированный базис.

90.  Линейные операции над векторами, заданными своими координатами. Условия коллинеарности и равенства двух векторов, выраженные через их координаты.

91.  Декартова система координат на плоскости и в пространстве. Декартовы координаты точки. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении.

92.  Скалярное произведение векторов: определение, механический смысл, свойства, примеры.

93.  Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.

94.  Вычисление угла между векторами, длины и направляющих косинусов вектора.

95.  Вычисление проекции вектора на ось (направление другого вектора) в случае, когда векторы заданы координатами.

96.  Векторное произведение векторов: определение, свойства и геометрический смысл.

97.  Выражение векторного произведения через координаты сомножителей. Физический смысл векторного произведения.

98.  Смешанное произведение векторов: определение, свойства, геометрический смысл.

99.  Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.

100.  Угол между векторами, условие коллинеарности и ортогональности (перпендикулярности) векторов.

101.  Условия компланарности трех векторов.

102.  Приложение векторов к решению задач: вычисление площади треугольника, работы и момента силы, объёма параллелепипеда.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

103.  .

104.  Взаимное расположение двух прямых не плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

105.  Полярные координаты. Связь с декартовыми.

106.  Эллипс: определение, каноническое уравнение, зависимость формы от эксцентриситета.

107.  Гипербола: определение, каноническое уравнение, эксцентриситет, асимптоты.

108.  Парабола: определение, каноническое уравнение, исследование формы.

109.  Виды уравнений прямой в пространстве. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых.

110.  Уравнения плоскости в пространстве.

111.  Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

112.  Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

113.  Понятие поверхности в пространстве. Поверхности вращения, цилиндрические, конические и их примеры.

114.  Поверхности второго порядка и их классификация.

Функции нескольких переменных

115.  Определение функции нескольких переменных. Предел функции.

116.  Непрерывность функции нескольких переменных. Свойства непрерывных функций.

117.  Частные производные и частные дифференциалы функции двух переменных.

118.  Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции двух переменных.

119.  Производные сложных и неявно заданных функций. Примеры.

120.  Понятие дифференцируемости функции двух переменных. Полный дифференциал.

121.  Производная по направлению. Градиент.

122.  Поверхности уровня. Уравнение касательной плоскости к поверхности.

123.  Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

124.  Экстремумы функций двух переменных. Необходимое и достаточное условия.

125.  Нахождение наибольшего и наименьшего значений на компакте. Понятие об условном экстремуме.

Список вопросов утвержден на заседании кафедры высшей математики протокол № от

Зав. кафедрой