Московский государственный университет им.
Механико-математический факультет
Кафедра теории вероятностей, 2013 год
Программа с/курса
“Дополнительные главы математической статистики:
непараметрическая статистика”
( Лектор )
Статистические правила, основанные на выборочных распределениях
1. Статистики Колмогорова-Смирнова. Свобода от рапределения. Определения, вычисления, точные распределения.
2. Эмпирический случайный процесс. Слабая сходимость случайных процессов. Брауновский мост.
3. Брауновский мост и условный винеровский процесс.
4. Вывод асимптотического распределения статистики Смирнова (мтодом отражения).
5. Асимптотическое распределение статистики Колмогорова,
6. Статистики Колмогорова-Смирова для двух выбоок. Точное распределение в случае выборок равных объёмов.
7. О распределениях статистик Колмогорова-Смирнова для параметрических семейств распределений.
8. Статистики типа омега-квадрат. Свобода от распределения, вычисление. Асимптотическое представление в виде интегрального функционала от брауновского моста.
9. Представления винеровского процесса и брауновского моста в виде рядов со статистически независимыми членами с помощью спектральной теории операторов.
10. Асимптотические харакктеристическая и функция распределения статистики омега-квадрат.
Статистические правила, основанные на рангах
11. Ранги элементов выборки, свобода от распределения. Ранги как максимальный инвариант при монотонных преобразованиях. Порядковая шкала измерений.
12. Двувыборочная статистика ранговых сумм (Уилкоксон). Распределение при гипотезе и альтернативах. Таблицы рапределений.
13. Двувыборочная задача о положении: доверительный интервал и точечная оценка для сдвига, с помощью статистики ранговых сумм.
14. Статистика манна-Уитни, связь со статистикой Уилкоксона. Понятие о U-статистиках.
15. Двувыборочные U-статистики. Вычисление дисперсии. Закон больших чисел.
16. Теорема об асимптотической нормальности двувыборочных U-статистик. Как следствие: асимптотическая нормальность статистик Манна-Уитни и Уилкоксона.
17. Асимптотическое распределение статистик Манна-Уитни и Уилкоксона при гипотезе. Сопряжение с точным распределением.
18. Асимптотическая нормальность ранговой оценки сдвига в двувыборочной задаче о положении. Асимптотическая дифференцируемость выборочной функции рапределения попарных разностей.
19. Лемма Хёфдинга. Линейные ранговые статистики. Теорема о асимпотической нормальности линейных ранговых статистик (без доказательства).
20. Локально наиболее мощные ранговые критерии и соответствующие метки в двувыборочной задаче о сдвиге, в случае распределений
(а) Нормального, (б) Логистического, (в) Двустороннего показательного.
21. Локально наиболее мощные ранговые критерии и соответствующие метки в двувыборочной задаче о масштабе, для распределений
(а) Нормального, (б) Показательного.
22. Парные наблюдения. Проверка гипотезы однородности с помощью знако-ранговой статистики Уилкоксона. Распределение при гипотезе и альтернативе.
23. Представление знако - ранговой статистики Уилкоксона в виде U-статистики.
24. Асимптотическая нормальность знако-ранговой статистики Уилкоксона. Асимптотическое распределение при гипотезе.
25. Непараметрический доверительный интервал для параметра сдвига в задаче о парных наблюдениях. Медиана Ходжеса-Лемана. Её асимптотическая нормальность.
26. Асимптотическое распределение медианы Ходжеса-Лемана в случае нормальной выборки. Асимптотические эффективности различных выборочных оценок центра симметричного распределения.
27. Однофакторный анализ: проверка гипотезы однородности (“нулевой гипотезы”) против всех альтернатив с помощью статистики Краскела-Уолиса. Её асимптотическое распределение (анализ с помощью U-статистик). Сопоставление с гауссовской моделью.
28. Однофакторный анализ: проверка гипотезы однородности (“нулевой гипотезы”) против возрастния эффектов с помощью статистики Джонхира. Математическое ожидание, дисперсия, асиптотическая нормальность.
29. Двухфакторные таблицы. Гитотеза однородности (“нулевая гипотеза) и статистика Фридмана. Её асимптотическое распределение (анализ с помощью U-статистик). Сопоставление с гауссовской моделью.
30. Коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла пары признаков. Свобода от распределения в случае независимых признаков. Математические оидания и дисперсии.
31. Представление статистики Кендалла в виде U-статистики. Асимптотическая нормальность, асимптотическое рапределение при гипотезе.
32. Простая линейная регрессия: доверительные интервалы и точечныеоценки коэффициента наклона с помощью выборочных коэффициентов корреляции.
Обобщения и расширения
33. Многомерные обобщения понятия медианы распределения и выборки – обзор.
34. Перестановочный подход к анализу данных, по Фишеру. Перестановочные распределения и статистические критерии для мер связи пары признаков, различные шкалы измерений.
