(г. Москва)
ПОДГОТОВКА СТУДЕНТОВ К ПРОВЕДЕНИЮ ШКОЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД В КУРСЕ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Раздел теории чисел содержит богатый материал для школьных математических олимпиад. Общеизвестно, что школьные олимпиады по математике являются важным средством воспитания и развития у школьников интереса к математике. Подготовка учащихся к олимпиадам разного уровня (школьного, городского, республиканского) является важной частью работы учителя. Поэтому целесообразно, что эта подготовка начинается на этапе обучения студентов в вузе.
При рассмотрении арифметических приложений теории сравнений в курсе теории чисел, следует обратить внимание студентов на применение теории сравнений к решению олимпиадных задач. Теория сравнений позволяет ознакомиться с оригинальными приемами и способами решения задач, помогает избегать долгих рассуждений, длинных вычислений при решении некоторых задач.
Нами подобрана серия олимпиадных задач, решение которых возможно с помощью сравнений. Приведем некоторые из них.
· На столе лежат книги, которые нужно упаковать. Если их связать по 4, 5 или по 6 в пачку, то каждый раз остается одна книга, если связать по 7 книг в пачку, то лишних книг не остается. Сколько книг могло быть на столе, если известно, что их меньше 1000?
Задача равносильна следующей системе:
причем 
, решая которую находим, что 
.
· Найти две последние цифры числа 
.
Получаем, что 
. Далее 
, 
и т. д. То есть 
(1).
Аналогично 
(2).
Из (1) вычитая (2) находим 
. Итак, две последние цифры числа 4 и 8.
· Пусть 
и 
– натуральные числа. Докажите, что число 
делится на число 
тогда и только тогда, когда делится на число 
.
Из равенства 
следует, что
делится на , поэтому: 
.
Таким образом, делится на 
тогда и только тогда, когда делится на . Если 
, то: 
.Каждое слагаемое при делении на дает остаток 1, значит 
.
Тогда 
делится на , а это равносильно тому, что делится на .
В качестве самостоятельной работы студентам предлагается подобрать или придумать задачи олимпиадного типа, решение которых предполагает знание теории сравнений, разработать к ней методические указания. Результатом такой работы является накопление дидактического материала, который может быть использован студентами для проведения факультативов или спецкурсов в период педагогической практики и в дальнейшей педагогической деятельности.
