Титульный лист Форма

рабочей программы ФМО ПГУ 7.18.3/30

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

кафедра математики

РАБОЧАЯ учебная ПРОГРАММА

дисциплины функциональный анализ

для студентов специальности 050601 «Математика»

Павлодар

 

Лист утверждения рабочей учебной

программы, разработанной на основании Форма

государственного общеобязательного ФМО ПГУ 7.18.3/31

стандарта образования специальности и

типовой программы

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по УР

__________

«____»____________2010 г.

Составил: проф. ПГУ, к. ф.-м. н. ________________

Кафедра математики

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

По дисциплине Функциональный анализ для студентов специальности 050601 «Математика» дневного обучения, на базе общеобразовательной средней школы.

Рабочая программа составлена в соответствии общеобязательному Государственному стандарту РК ОБГСРК 3.08.316-2006 и типовой программы дисциплины функциональный анализ по специальности 050601 - Математика. КазНУ им аль- Фараби. 2007г.

Рекомендована на заседании кафедры от «­­­­____» __________ 2010 г.

Протокол №_____

Заведующий кафедрой _________________.

Одобрена методическим советом факультета физики, математики и информационных технологий «____»________2010 г. Протокол №____

Председатель УМС _________.

СОГЛАСОВАНО

Декан факультета _____________. «____»_________2010 г.

ОДОБРЕНО ОПиМО

Начальник ОПиМО __________ «____»___________2010 г.

Одобрена учебно-методическим советом университета

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

«_____»______________200_г. Протокол №____

1 Цель дисциплины – завершение процесса освоения дисциплин анализа, входящих в учебные планы специальности «математика».

Задачи дисциплины – достижение глубокого освоения студентами основных положений дисциплины и формирование навыков применения теоретических выводов для решения конкретных проблем практики.

В результате изучения дисциплины студенты должны быть ознакомлены понятиями:

-  математических пространств;

-  функционала;

-  оператора;

должны энать:

-  примеры часто встречающихся метрических пространств;

-  основные виды математических пространств;

-  примеры функционалов, их свойства и применение для решения конкретных проблем;

-  примеры операторов, их свойства и применение для решения конкретных проблем;

-  методы построения метрических пространств;

-  основные свойства метрических пространств и их доказательсва;

-  прцесс пополнеия неполных метрических пространств;

-  установить сепарабельность математических пространств;

-  построение пространства, сопряженного данному метрическому пространству;

-  определение собственного значения и собственного эемента оператора;

-  определение спектра оператора.

должны уметь:

-  доказывать теоремы;

-  определять область определения и область значений оператора;

-  доказывать существование единственного решения алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений;

-  применять методы функционального анализа для исследования и решения конкретных проблем.

2 Пререквизиты

Изучению данного предмета должна предшествовать курсы – математический анализ, алгебра, геометриия и теория функциий действительного переменного.

3 Постреквизиты

После прохождения дисциплиы студенты должны знать и уметь применять методы функционального анализа для исследования и решения конкретных проблем.

4 Содержание дисциплины

4.1. Тематический план дисциплины

№

п/п

Наименование тем

Количество часов

Лекц.

Прак.

Лаб

СРC

1

2

3

4

5

6

1.

Метрические пространства

2

4

0.5

2.

Основные теоремы о полных метрических пространствах

1

2

3.

Нормированные линейные пространства

2

4

0.5

4.

Компактность в метрических и нормированных линейных пространствах

2

4

5.

Геометрия пространства Гильберта

2

4

0.5

6.

Линейные функционалы и операторы

2

4

1

7.

Основные принципы функционального анализа

1

2

1

8.

Элементы спектральной теории операторов

2

2

0.5

9.

Элементы теории обобщенных функций

0.5

2

10.

Исторический обзор

0.5

2

ИТОГО:

15

30

3
4.2 Содержание тем дисциплины

Тема 1 Метрические пространства

Определение метрического пространства и топологических понятий в нем (шар, окрестность точки, внутренние, внешние, предельные и изолированные точки множества). Открытые, замкнутые множества в метрическом пространстве. Замыкание множества. Теоремы об открытых и замкнутых множествах метрического пространства. Множества, плотные в другом множестве; всюду плотные и нигде не плотные в метрическом пространстве, Полные и сепарабельные метрические пространства.

Тема 2 Основные теоремы о полных метрических пространствах. Пополнение метрических пространств. Принцип вложенных шаров. Теорема Бэра. Принцип сжимающих отображений и примеры его применения в теории алгебраических, функциональных и интегральных уравнений.

Тема 3 Линейные нормированные пространства

Линейное пространство. Норма элемента. Сходимость последовательности элементов. Линейное нормированное пространство. Подпространства, его размерность. Банахово пространство. Неравенства Гельдера и Минковского. Основные примеры банаховых пространств. Лебеговы пространства суммируемых функций как пополнение пространства непрерывных функций по норме . Евклидовы пространства. Гильбертово пространство, его примеры. Длина вектора, угол между векторами. Существование почти ортогональных элементов в банаховом пространстве.

Тема 4 Компактность в метрических и линейных нормированных пространствах

Ограниченные и вполне ограниченные множества. Критерий компактности метрического пространства. Критерий предкомпактности (относительной компактности) множества в метрическом пространстве. Условия компактности в конкретных нормированных пространствах. Теорема Арцела. Компактность в конечномерном пространстве.

Тема 5 Геометрия гильбертова пространства

Лемма о параллелограмме. Ортогональность векторов. Метод ортогонализации линейно независимых векторов. Ортогональные нормальные системы в гильбертовом пространстве. Существование ортонормированных систем в сепарабельном гильбертовом пространстве. Разложение гильбертова пространства на ортогональную прямую сумму подпространств. Наилучшее приближение элемента пространства элементами подпространства. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля-Стеклова. Полнота и замкнутость ортонормальных систем элементов, и эквивалентность этих понятий в гильбертовом пространстве. Разложение в ряд Фурье произвольного вектора гильбертова пространства по ортонормированной системе. Теорема Рисса-Фишера. Обобщение равенства Парсеваля-Стеклова. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств.

Тема 6 Линейные функционалы и операторы

Операторы и функционалы. Линейные операторы, их непрерывность ограниченность в линейном нормированном пространстве. Общий вид линейных функционалов в основных пространствах. Сопряженное пространство. Сильная топология в сопряженном пространстве. Примеры сопряженных пространств. Второе сопряженное пространство. Слабая сходимость в сопряженном пространстве. Алгебра операторов. Банахово пространство линейных операторов. Сопряженный оператор. Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Симметричные и вполне непрерывные (компактные) операторы. Предел последовательности операторов. Интегральный оператор с непрерывным ядром и ядром из пространства Ьр.

Тема 7 Основные принципы функционального анализа.

Теорема Банаха – Штейнхауса Критерий поточечной сходимости. Теоремы Банаха об обратном операторе и о замкнутом графике. Пример замкнутого оператора, не являющегося непрерывным. Теорема Хана-Банаха о продолжении линейных функционалов и ее следствия.

Тема 8 Элементы спектральной теории операторов.

Собственные элементы и собственные значения линейного оператора. Спектр оператора. Резольвента. Спектр симметричного компактного оператора. Предел последовательности компактных операторов. Теорема Гильберта-Шмидта, следствия. Полная непрерывность оператора Фредгольма с квадратично суммируемым ядром. Следствия для Ь2. Неоднородные интегральные уравнения с симметричными ядрами.

Тема 9 Элементы теории обобщенных функций

Пространства основных и обобщенных функций. Регулярные и сингулярные обобщенные функции. Производная обобщенных функций. Простейшие приложения обобщенных функций.

Тема 10 Исторический обзор

Вклад крупных ученых в развитие функционального анализа. Краткий очерк о современном состоянии функционального анализа, его основных задачах, тенденциях развития.

4.3. Перечень и содержание практических занятий

Тема 1 Метрические пространства

Метрическое пространство и основные топологические понятия в них (шар, окрестность, внутренние, внешние, предельные и изолированные точки). Примеры. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах. Замкнутые множества. Теоремы об открытых и замкнутых множествах метрического пространства. Всюду плотные и нигде не плотные множества метрического пространства. Сепарабельные и полные метрические пространства.

Тема 2 Основные теоремы о полных метрических пространствах

Пополнение метрического пространства. Принципы вложенных шаров. Теорема Бэра. Принципы сжимающих отображений и ее приложения в алгебре, в теории функциональных и интегральных уравнений.

Тема 3 Нормированные линейные пространства

Линейные пространства. Нормы элемента. Сходность последовательности элементов. Нормированные линейные пространства. Подпространства и его мера. Банахово пространство. Неравенства Гельдера и Минковского. Основные примеры пространства Банаха. Пространство суммируемых функций Лебеча Lp - пополнение пространства непрерывных функции по норме Lp. Пространства Евклида. Пространства Гильберта и его примеры. Длина вектора, угол между векторами. Существование ортогональных элементов в Банаховом пространстве.

Тема 4 Компактность в метрических и нормированных линейных пространствах

Ограниченные и вполне ограниченные множества. Критерии компактности в метрических пространствах. Критерии относительной компактности в метрических пространствах. Условие компактности в метрических пространствах. Теорема Арцеля. Компактные множества в конечномерных пространствах.

Тема 5 Геометрия пространства Гильберта

Лемма о параллелограмме. Ортогональные векторы. Метод ортогонализации системы линейно независимых векторов. Ортогональные системы в Гильбертовом пространстве и существование таких систем в сепарабельном пространстве. Разложение пространства Гильберта по ортогональным пространствам. Приближение элемента пространства элементами подпространства. Неравенство Бесселя. Равенство Парсевалья-Стеклова. Полнота и занятость ортонормированных систем и эквивалентность этих понятии в Гильбертовых пространствах. Разложение элемента Гильбертова пространства в ряд Фурье по ортонормированной системе. Теорема Рисса-Фишера. Обобщения равенства Парсеваль-Стеклова. Изоморфизм сеперабельных Гильбертовых пространств.

Тема 6 Линейные функционалы и операторы

Операторы и функционалы. Линейные операторы, их непрерывность и ограниченность в нормированном линейном пространстве. Общий вид линейных функционалов в основных пространствах. Сопряженное пространство. Сильная топология в сопряженном пространстве. Примеры сопряженных пространств. Второе сопряженное пространство. Слабая сходность в сопряженном пространстве.

Алгебра операторов. Банахово пространство линейных операторов. Сопряженный оператор. Сопряженный оператор в Гильбертовом пространстве. Симметрические и вполне непрерывные (компактные) операторы. Предел последовательности операторов. Интегральный оператор с непрерывным ядром и, ядро которого принадлежит пространству Lp.

Тема 7 Основные принципы функционального анализа

Теорема Банаха - Штейнгауса. Критерии точечной сходимости. Теорема Банаха об обратном операторе и замкнутом графике. Пример замкнутого. Разрывного оператора. Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала и ее следствия.

Тема 8. Элементы спектральной теории операторов

Собственные элементы и собственные значения линейного оператора. Спектр оператора. Резольвента. Спектр симметрического компактного оператора. Предел последовательности компактных операторов. Теорема Гильберта-Шмидта и ее следствия. Полная непрерывность оператора Фредьма, ядро которого суммируема с квадратом и его следствия для Lp. Интегральные уравнения с неоднородными симметрическими ядрами.

4.4 Содержание самостоятельной работы студента

4.4.1 Перечень видов СРC

№

Вид СРC

Форма отчётности

Вид контроля

Объем в часах

1

Подготовка к лекционным занятиям

Наличие конспекта

Участие на занятии

15

2

Подготовка к практическим занятиям, выполнение домашних заданий

Рабочая тетрадь

Контрольные вопросы, отчет

30

3

Изучение материала, не вошедшего в содержание аудиторных занятий

Конспект

Участие на практических занятиях, контрольных мероприятиях

35

4

Выполнение индивидуальных заданий

Наличие тетради с решениями задач и примеров

Защита ИЗ

15

5

Подготовка к контрольным мероприятиям

РК 1, РК 2, коллоквиум (тестирование и другие)

15

Всего:

120

4.4.2 Перечень тем, вынесенных на самостоятельное изучение студентами

Тема 1- Метрические пространства

Примеры. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах. Замкнутые множества. Всюду плотные и нигде неплотные множества метрического пространства.

Рекомендуемая литература:[1], [3], [10].

Тема 2- Основные теоремы о полных метрических пространствах

Принципы вложенных шаров. Теорема Бэра. Принципы сжимающих отображений и ее приложения в алгебре, в теории функциональных и интегральных уравнений.

Рекомендуемая литература:[12], [13], [15],[9].

Тема 3 - Нормированные линейные пространства

Линейные пространства. Нормы элемента. Сходность последовательности элементов. Пространства Евклида. Пространства Гильберта и его примеры. Длина вектора, угол между векторами.

Рекомендуемая литература:[2], [5], [6].

Тема 4- Компактность в метрических и нормированных линейных пространствах

Ограниченные и вполне ограниченные множества. Критерии компактности в метрических пространствах. Условие компактности в метрических пространствах. Теорема Арцеля.

Рекомендуемая литература:[11], [16].

Тема 5- Геометрия пространства Гильберта

Лемма о параллелограмме. Ортогональные векторы. Приближение элемента пространства элементами подпространства. Разложение элемента Гильбертова пространства в ряд Фурье по ортонормированной системе. Теорема Рисса-Фишера.

Рекомендуемая литература:[6], [2], [8].

Тема 6- Линейные функционалы и операторы

Сопряженное пространство. Сильная топология в сопряженном пространстве. Примеры сопряженных пространств. Второе сопряженное пространство.

Рекомендуемая литература:[1], [4][7].

Тема 7- Основные принципы функционального анализа

Теорема Банаха - Штейнгауса. Критерии точечной сходимости. Теорема Банаха об обратном операторе и замкнутом графике. Пример замкнутого.

Рекомендуемая литература:[4], [1], [3].

Тема 8- Элементы спектральной теории операторов

.

Собственные элементы и собственные значения линейного оператора. Спектр оператора. Резольвента. Спектр симметрического компактного оператора. Теорема Гильберта-Шмидта и ее следствия.

Рекомендуемая литература:[14], [12], [3].

5 Список литературы

Основная

1. Колмлгоров теории функции и функционального анализа. М. 1975, 1989

2. , Соболев фуекционального анализа. М. 1982.

3. , Соболев курс фуекционального анализа. М. 1982..

4. , Секефальви-екции по функциональному анализу. М. 1979.

5. Данфорд операторы. М. 1962

6. Шилов анализ, специальный курс. М. 1960

7. , , Соболева и упражнения по функциональному анализу. – М.: Наука 1984.

8. , Гвишиани и задачи функционального анализа. – М., 1979.

Дополнительная

9. ункциональный анализ, т.1, т.2, - М.: Мир, 1975.

10. ункциональный анализ, - М., 1987.

11. Шварц Дж. Т. Линейные операторы (общая теория).- М.: ИЛ, 1962.

12. Садовничий операторов. – М.: МГУ, 1986.

13. , Акилов анализ, - М., Наука, 1977.

14. Темірғалиев Н. Математикалық анализ. Т. 2: - Алматы,: Ана тілі, 1991.

15. Талдыкин прикладного функционального анализа, - М., 1982

16. , , Граев функционального анализа взадачах, - М., 1978.

Выпискиз из рабочего

учебного плана специальности Форма ФМО ПГУ 7.18./32

Выписка из рабочего учебного плана специальности

050601 - «Математика»

Наименование дисциплины: функциональный анализ

Подпись: