Департамент образования города Москвы
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования города Москвы
«Московский городской педагогический университет»
Институт математики и информатики
Математический факультет
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА (ТРИГОНОМЕТРИЯ)
050100 ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
Квалификация (степень) выпускника - БАКАЛАВР
Профиль подготовки «МАТЕМАТИКА»
Форма обучения ОЧНАЯ
Курс 1 Семестр 1
Москва
2011
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по
направлению подготовки 050100 «Педагогическое образование» и профилю
подготовки «Математика»"
Автор: ассистент кафедры математического анализа и методики преподавания математики ИМИ ГОУ ВПО МГПУ
Рецензенты:
_______________________________
_______________________________
Программа одобрена на заседании кафедры математического анализа и методики преподавания математики от 19 мая 2011 года, протокол № 10.
Заведующий кафедрой
математического анализа и методики преподавания математики,
доктор физико-математических наук,
профессор
ЧАСТЬ I. ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Цель дисциплины: формирование представлений о значении курса элементарной математики в системе математических дисциплин и в системе математических знаний, формирование представлений о логике развития и наполнения школьного курса алгебры с учетом реализации основных дидактических принципов.
Задачи дисциплины:
- обобщить и систематизировать знания по ключевым темам школьного курса алгебры;
- закрепить умения и навыки решения основных типов задач школьного курса алгебры;
- формирование умения осуществлять поиск решения нестандартных задач и задач повышенного уровня сложности.
.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО
Дисциплина «Элементарная математика (тригонометрия)» относится к базовой части цикла профессиональных дисциплин.
Для успешного освоения настоящей дисциплины студенты должны владеть школьными курсами алгебры и начал математического анализа в соответствии с действующими стандартами образования.
Освоение дисциплины «Элементарная математика (тригонометрия)» является необходимой основой для последующего изучения дисциплин вариативной части цикла профессиональных дисциплин, прохождения педагогической практики.
3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций.
Общекультурные компетенции (ОК):
1) владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
2) способен логически верно строить устную и письменную речь
(ОК-6);
3) готов к взаимодействию с коллегами, к работе в коллективе (ОК-7);
4) способен использовать навыки публичной речи, ведения дискуссии и полемики (ОК-16).
Профессиональные компетенции (ПК):
общепрофессиональные компетенции (ОПК):
5) владеет основами речевой профессиональной культуры (ОПК-3);
компетенции в области педагогической деятельности:
6) применяет современные методики и технологии, в том числе и информационные, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса на конкретной образовательной ступени конкретного образовательного учреждения (ПК-2);
7) способен использовать возможности образовательной среды для формирования универсальных видов учебной деятельности и обеспечения качества учебно-воспитательного процесса (ПК-5);
компетенции в области научно-исследовательской деятельности:
8) готов использовать систематизированные теоретические и практические знания для определения и решения исследовательских задач в области образования (ПК-11);
Специальные компетенции (СК):
9) владеет основными положениями классических разделов математической науки, базовыми идеями и методами математики, системой основных математических структур (СК-1);
10) понимает значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; границы применимости математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе (СК-2);
11) владеет культурой математического мышления, логической и алгоритмической культурой, умеет точно представить математические знания в устной и письменной форме (СК-3);
12) владеет математикой как универсальным языком науки, средством моделирования явлений и процессов, способен пользоваться построением математических моделей для решения практических проблем, понимать критерии качества математических исследований, принципы экспериментальной и эмпирической проверки научных теорий (СК-4);
13) способен уверенно оценивать строгость и корректность различных типов доказательств, выделять ключевые по смыслу аспекты доказательств; владеет проблемно-задачной формой представления математических знаний (СК-9);
14) владеет содержанием и методами элементарной математики, умеет анализировать элементарную математику с точки зрения высшей математики (СК-10);
В результате изучения дисциплины студент должен (деятельностная составляющая компетенции):
знать:
- определения числовой окружности, синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа,
- основные формулы тригонометрии;
- свойства и графики функций 
, 
, 
, 
;
- связь между тригонометрическими функциями числового и углового аргумента;
- сущность основных методов решения тригонометрических задач и доказательства теорем;
уметь:
- находить значение тригонометрических выражений с помощью калькулятора или таблиц;
- строить графики функций , , , элементарными методами;
- выполнять элементарные преобразования графиков функций , , , ;
- выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений и выражений, содержащих обратные тригонометрические функции;
- доказывать тригонометрические неравенства;
- решать тригонометрические уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств;
- решать уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции;
- решать уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля;
- решать уравнения и неравенства с параметрами;
- использовать свойства функций при решении уравнений и неравенств;
- применять графический способ решения уравнений и неравенств;
- решать комбинированные и нестандартные уравнения и неравенства;
владеть:
- математической терминологией и символикой, начальными понятиями логики и принципами математического доказательства;
- основными методами решения задач курса элементарной математики на вычисление и доказательство;
- основными методами решения тригонометрических уравнений и неравенств;
- основными методами решения нестандартных задач и задач повышенного уровня сложности курса элементарной математики.
4. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
Виды учебной работы | В часах (зач. ед.) |
Общая трудоемкость дисциплины | 72 (2 зач. ед.) |
Самостоятельная работа | 34 |
Практические занятия | 38 |
Контроль самостоятельной работы (КСР) | 11 |
Зачеты | 5 |
5. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ И ЕЕ РАЗДЕЛОВ
Модуль 1. Основные понятия тригонометрии
Понятие числовой окружности. Числовая окружность на координатной плоскости. Нахождение декартовых координат точек числовой окружности. Нахождение координат точек на числовой окружности по заданным декартовым координатам. Тригонометрические функции числового и углового аргументов. Функции , , их свойства и графики. Элементарные преобразования графиков.
Модуль 2. Тождественные преобразования тригонометрических выражений
Применение формул приведения, сложения аргументов, преобразования суммы тригонометрических функций в произведение. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Применение формул двойного и половинного аргумента. Вычисление значений тригонометрических выражений. Доказательство тождеств. Доказательство утверждений. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Тождественные преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.
Модуль 3. Доказательство тригонометрических неравенств.
Доказательство неравенств с помощью определения. Синтетический метод доказательства неравенств. Доказательство неравенств методом от противного. Доказательство неравенств методом математической индукции.
Модуль 4. Решение тригонометрических уравнений и их систем
Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. Методы решения тригонометрических уравнений (разложение на множители, замена переменной). Объединение семейств решений. Методы решения тригонометрических уравнений (однородные тригонометрические уравнения, введение вспомогательного аргумента, универсальная тригонометрическая подстановка). Применение различных методов решения тригонометрических уравнений. Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции. Системы тригонометрических уравнений.
Модуль 5. Решение тригонометрических неравенств и их систем
Простейшие тригонометрические неравенства. Системы и совокупности тригонометрических неравенств. Решение систем и совокупностей тригонометрических неравенств с помощью числовой окружности и с помощью числовой прямой.
Модуль 6. Тригонометрические уравнения, системы уравнений и неравенства с параметром.
Тригонометрические уравнения с параметром. Системы тригонометрических уравнений с параметром. Тригонометрические неравенства с параметром.
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И
ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
а) Основная литература
1. , Мордкович -практикум по математике: Алгебра. Тригонометрия: Для поступающих в вузы / , . – М.: Оникс 21 век, 2005. – 463 с.
2.
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / , . – 6-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [ и др.]; под ред. . – 6-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009.
4. , , Пасиченко , тригонометрия и элементарные функции / . в. В. Александров, . – М.: Высшая школа, 2001.
5. Михайлова – ключ к решению задач по алгебре. 10-11 классы. Кн. для учащихся общеобразовательных учреждений. В 2 ч. Ч. 2. / . – М.: Просвещение, 2009.
6. Гейбука математика: индивидуальные задания для студентов 3-го курса математических факультетов педвузов / . . - Новосибирск: изд. НГПУ, 2009. - 49 с.
7. Шахмейстер, и неравенства с параметрами [Текст]: пособие для школьников, абитуриентов и учителей / ; Под ред. . – СПб.: Черо-на- Неве, 2004. – 304с.
б) Дополнительная литература
8. , Мордкович по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. – 3-е изд., перераб. и доп. - M.: "ABF", 1995. - 352 с., ил.
9. , , Пасиченко и начала анализа. Уравнения и неравенства. Учебно-методическое пособие для учащихся 10-11 классов. – М.: Экзамен (Серия «Экзамен»), 1998.
10. Моденов заданий по специальному курсу элементарной математики. - М.: «Высшая школа», 1960.
11. Иванов по элементарной математике: Алгеброаналитические методы: Учеб пособие. - М.: МЦНМО, 2001. - 320 с.
12. Новоселов задач по специальному курсу элементарной алгебры. - М.: «Высшая школа», 1962. .
13. Шахно задач по элементарной математике повышенной трудности. - Минск, «Высшая школа», 1965.
7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Для проведения практических занятий требуется аудитория на курс, оборудованная меловой или интерактивной доской, мультимедийным проектором и экраном.
ЧАСТЬ II. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И ПЛАН ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
1. КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
№ | Тема | Общая трудоемкость | Самостоятельная работа | Всего аудиторных часов | Практические занятия | Контроль самостоятельной работы |
1. | Модуль 1. Основные понятия тригонометрии | 4 | 2 | 2 | 1 | |
2. | Модуль 2. Тождественные преобразования тригонометрических выражений | 8 | 10 | 10 | 3 | |
3. | Модуль 3. Доказательство тригонометрических неравенств. | 4 | 6 | 6 | 1 | |
4. | Модуль 4. Решение тригонометрических уравнений и их систем | 8 | 10 | 10 | 3 | |
5. | Модуль 5. Решение тригонометрических неравенств и их систем | 4 | 4 | 4 | 1 | |
6. | Модуль 6. Тригонометрические уравнения, системы уравнений и неравенства с параметром. | 6 | 6 | 6 | 2 | |
7. | Итого за семестр (часов) | 72 (2 зач. ед.) | 34 | 38 | 38 | 11 |
1.1. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
Модуль 1. Основные понятия тригонометрии
1. Числовая окружность на числовой плоскости. Тригонометрические функции числового и углового аргументов. Функции , , их свойства и графики.
Литература [1,2,3,4,7]
Модуль 2. Тождественные преобразования тригонометрических выражений
2. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Применение формул приведения, сложения аргументов, преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.
3. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Применение формул двойного и половинного аргумента.
4. Вычисление значений тригонометрических выражений. Доказательство тождеств.
5. Доказательство тождеств. Доказательство утверждений.
6. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Тождественные преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.
Литература [1,2,3,4,7]
Модуль 3. Доказательство тригонометрических неравенств.
7-8. Доказательство тригонометрических неравенств.
9. Обобщение и систематизация материала. Контрольная работа № 1 «Тождественные преобразования» (1 час).
Литература [1,2,3,4,7]
Модуль 4. Решение тригонометрических уравнений и их систем
10. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.
Методы решения тригонометрических уравнений (разложение на множители, замена переменной). Объединение семейств решений.
11. Методы решения тригонометрических уравнений (однородные тригонометрические уравнения, введение вспомогательного аргумента, универсальная тригонометрическая подстановка).
12. Применение различных методов решения тригонометрических уравнений.
13. Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.
14. Системы тригонометрических уравнений.
Литература [1,2,3,4,7]
Модуль 5. Решение тригонометрических неравенств и их систем
15. Тригонометрические неравенства.
16. Системы и совокупности тригонометрических неравенств.
Литература [1,2,3,4,7]
Модуль 6. Тригонометрические уравнения, системы уравнений и неравенства с параметром.
17. Тригонометрические уравнения с параметром.
18. Тригонометрические неравенства и системы уравнений с параметром.
19. Обобщение и систематизация материала.
Контрольная работа № 2. «Решение уравнений, систем уравнений и неравенств» (1 час).
Литература [1,2,3,4,7]
2. СИСТЕМА МЕЖСЕССИОННОЙ И ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИЙ
2.1. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
1. Контрольная работа № 1 «Тождественные преобразования».
2. Контрольная работа № 2. «Решение уравнений, систем уравнений и неравенств».
2.2. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Теоретическая часть
1. Понятие числовой окружности. Числовая окружность на координатной плоскости. Нахождение декартовых координат точек числовой окружности. Нахождение координат точек на числовой окружности по заданным декартовым координатам.
2. Определение и свойства синуса и косинуса числа t, таблица основных значений. Решение заданий на сравнение значений синусов и косинусов чисел.
3. Определение и свойства тангенса и котангенса числа t, таблица основных значений. Решение заданий на сравнение значений тангенсов и котангенсов чисел.
4. Тригонометрические функции числового аргумента и основные соотношения между ними. Нахождение соответствующих значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.
5. Тригонометрические функции углового аргумента. Радианная мера угла. Тригонометрические функции углов прямоугольного треугольника.
6. Функции , их свойства и графики.
7. Функции , их свойства и графики.
8. Построение графиков функций вида y=mf(x), y=f(kx), y=f(x+a), y=f(x)+b, y=
, y=f(
), где f(x) – функции , , , ;
9. Функция 
, её свойства и график.
10. Функция 
, её свойства и график.
11. Функция 
, её свойства и график.
12. Функция 
, её свойства и график.
Практическая часть
1. Нахождение декартовых координат точек числовой окружности. Нахождение координат точек на числовой окружности по заданным декартовым координатам.
2. Составление таблицы основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Связь градусной и радианной мер угла.
3. Решение задач на сравнение значений синусов и косинусов чисел, тангенсов и котангенсов чисел.
4. Преобразование выражений, содержащих аркфункции.
5. Построение графиков функций , , . Построение графиков функций вида y=mf(x), y=f(kx), y=f(x+a), y=f(x)+b, y=, y=f(), где f(x) – функции , , , ;
6. Решение тригонометрических уравнений различными методами.
7. Решение систем тригонометрических уравнений.
8. Решение тригонометрических неравенств.
9. Решение систем и совокупностей тригонометрических неравенств.
10. Решение тригонометрических уравнений с параметром.
11. Решение систем тригонометрических уравнений с параметром.
12. Решение тригонометрических неравенств с параметром.
Департамент образования города Москвы
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования города Москвы
«МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и информатики
Математический факультет
Наименование дисциплины / курса | Уровень образования | Статус дисциплины в рабочем учебном плане | Количество зачетных единиц | Форма отчетности | Курс, семестр |
Элементарная математика (тригонометрия) | бакалавриат | Б3 базовая часть | 2 | зачет | 1 курс, 1 семестр |
Смежные дисциплины по учебному плану: | ||||
Алгебра, Математический анализ, Элементарная математика (алгебра) | ||||
ВВОДНЫЙ МОДУЛЬ (проверка «остаточных» знаний по смежным дисциплинам) | ||||
Тема или задание текущей аттестационной работы | Виды текущей аттестации | Аудиторная или внеаудиторная | Минималь-ное количество баллов | Максимальное количество баллов |
Итого: |
БАЗОВЫЙ МОДУЛЬ (проверка знаний и умений по дисциплине) | ||||
Тема или задание текущей аттестационной работы | Виды текущей аттестации | Аудитор-ная или внеауди-торная | Минималь-ное коли-чество баллов | Максима-льное количест-во баллов |
Посещение практических занятий, ведение записей | Посещаемость, выборочная проверка конспектов (на каждом занятии 0,5 балла) | Аудитор-ная | 6 | 9 |
Выполнение обучающих самостоятельных работ по теме занятия | Письменная работа (всего 16 работ, от 0,5 до 1,5 баллов) | Аудитор-ная | 8 | 35 |
Выполнение контрольной работы № 1 | Письменная работа | Аудитор-ная | 6 | 12 |
Выполнение контрольной работы № 2 | Письменная работа | Аудитор-ная | 6 | 12 |
Итого: | 26 | 68 | ||
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МОДУЛЬ | ||||
Тема или задание текущей аттестационной работы | Виды текущей аттестации | Аудитор-ная или внеауди-торная | Минималь-ное коли-чество баллов | Макси-мальное количест-во баллов |
Активная работа на практических занятиях | Ответы у доски (на каждом занятии 0,5 балла) | Аудитор-ная | - | 7 |
Выполнение домашних работ | Письменная работа (по 0,5 балла) | Внеауди-торная | 4 | 10 |
Зачёт | 10 | 15 | ||
Итого: | 14 | 32 | ||
| ||||
Итого максимум: | 40 | 100 |
Примечания.
Работа, выполненная менее чем на 30%, считается неудовлетворительной и оценивается в 0 баллов.
Студент обязан выполнить две контрольные работы и домашние задания.
Необходимый минимум для допуска к промежуточной аттестации 40 баллов.
Дополнительные требования для студентов, отсутствующих на занятиях по уважительной причине: устное или письменное собеседование по тематике пропущенных занятий, выполнение заданий практических занятий, выполнение контрольных письменных работ.
Форма промежуточной аттестации: зачет.
ФИО преподавателя: .
Утверждено на заседании кафедры математического анализа и методики преподавания математики 28 июня 2011 года.
Протокол № 11.
Заведующий кафедрой .
