ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1-ГО КУРСА ГРУППЫ 16,20,21.
1-Й СЕМЕСТР 20016-2017 УЧЕБНЫЙ ГОД.
Теоретическая часть.
1. Матрицы: операции сложения и умножение на скаляр.
2. Умножение матриц, обратная матрица.
3. Определители, их основные свойства.
4. Методы вычислений определителей.
5. Ранг матрицы, методы его определения.
6. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли.
7. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
8. Решение систем линейных уравнений при помощи обратной матрицы.
9. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
10. Векторы, линейные операции над векторами.
11. Декартовая прямоугольная системы координат: координаты вектора, линейные операции в декартовых координатах, длина вектора, направляющие косинусы.
12. Скалярное произведение векторов, его свойства.
13. Векторное произведение векторов и его свойства.
14. Смешанное произведение векторов и его свойства.
15. Прямая линия на плоскости.
16. Нормальное уравнение прямой, расстояние от точки до прямой.
17. Взаимное расположение прямых на плоскости.
18. Кривые второго порядка на плоскости. Каноническое уравнение эллипса.
19. Канонические уравнения гиперболы и параболы.
20. Плоскость, основные виды её уравнений.
21. Взаимное расположение плоскостей, расстояние от точки до плоскости.
22. Прямая линия в пространстве.
23. Взаимное расположение прямых в пространстве.
24. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
25. Функции одной переменной, способы их задания и свойства.
26. Основные простейшие элементарные функции и их свойства.
27. Предел функции в точке, единственность предела.
28. Основные теоремы о пределах функций.
29. Односторонние пределы функции и пределы на бесконечности.
30. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними.
31. Сравнение бесконечно малых функций. Первый замечательный предел.
32. Второй замечательный предел.
33. Непрерывность функции в точке и на интервале. Действия над непрерывными функциями.
34. Точки разрыва функции, их классификация.
35. Производная функции в точке, её механический и геометрический смысл.
36. Основные свойства производных, связь непрерывности с дифференцируемостью.
37. Таблица основных правил и формул дифференцирования.
38. Дифференцирование сложной и обратной функций.
39. Производная неявной функции.
40. Логарифмическое дифференцирование
41. Функция, заданная параметрически и её производная.
42. Производные высших порядков явно заданной функции.
43. Дифференциал функции, его основные свойства и применение для приближённых вычислений функции.
44. Теорема Ферма, её геометрическое обоснование. Теорема Ролля.
45. Теоремы Лагранжа и Коши.
46. Правило Лопиталя.
47. Интервалы монотонности функции и их определение.
48. Экстремумы функции, необходимое и достаточные условия его существования.
49. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
50. Выпуклость функции, точки перегиба. Достаточные условия выпуклости.
51. Асимптоты кривой и способы их отыскания.
52. Схема полного исследования свойств функции для построения её графика.
Программа «минимум» (I-й уровень) .
(Теоретические вопросы и типовые задачи).
1. Для данной матрицы 
найти 
.
2. Решить методом Гаусса или по формулам Крамера или при помощи обратной матрицы: 
3. Дано два вектора: 
. Найти площадь построенного на них треугольника.
4. Найти угол
треугольника АВС, если 
.
5. Через точку пересечения прямых 
провести прямую, перпендикулярную оси ОY (написать уравнение прямой).
6. Найти уравнения асимптот гиперболы 
.
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки 
, 
параллельно оси 
.
8. Составить общее уравнение прямой, образованной пересечением плоскости 
с плоскостью, проходящей через ось 
и точку 
.
9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно к отрезку 
, если 
.
10. Составить общее уравнение прямой, образованной пересечением плоскости 
с плоскостью, проходящей через ось 
и точку 
.
11. Понятия функции, её области определения и области значений.
12. Графики основных элементарных функций.
13. Определение элементарной функции.
14. Пояснить графиком функции 
равенства:
15. Бесконечно малые (б. м.) и бесконечно большие (б. б.) функции, связь между ними.
16. Сравнение б. м.
17. Найти значения пределов:
а) 
; б) 
;
;
14. Определение непрерывности функции в точке.
15. Найти точку разрыва функции, исследовать характер разрыва и построить график функции в окрестности точки разрыва и на бесконечности: 
16. Формальное определение производной функции, её геометрический и физический смысл.
17. Правила и формулы дифференцирования.
18. Найти производные функций:
19. Тело движется вдоль оси ОХ по закону : 
. Найти скорость 
тела в момент времени 
.
18. Найти угловой коэффициент касательной к функции 
в точке
.
19. Составить уравнение касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
.
20. Определение дифференциала функции.
21. Найти дифференциалы данных функций:
.
22. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя: 
23. Связь приращения функции с её дифференциалом.
24. Найти приближённо изменение функции 
при изменении 
25. Оценить абсолютную и относительную погрешности вычисления значения функции 
если 
.
26. Определения возрастания и убывания функции. Признаки монотонности дифференцируемой функции.
27. Определения локальных максимума и минимума функции. Необходимое условие экстремума. Достаточный признак экстремума.
28. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции: 
. Пояснить графиком.
29. Определение асимптот графика функции.
30. Найти асимптоты графика функции: 
. Пояснить графиком.
II-й уровень.
1. Проверить совместность системы, в случае совместности решить её:
; 
; 
.
2. Дано:
. Проверить, могут ли они являться вершинами пирамиды? Если да, то найти: 
где 
- высота пирамиды.
3. Дано: 
Проверить, могут ли они являться вершинами треугольника? Если да, то найти: уравнения стороны 
, медианы 
, высоты 
и её длину; угол 
; 
.
4. Найти площадь треугольника ABC и уравнение высоты, опущенную на сторону AC, где 
.
5. Даны четыре точки: 
Найти уравнение и длину высоты, опущенной на грань 
.
6. Даны четыре точки: 
Найти угол между прямой 
и плоскостью и уравнение высоты грани , опущенную из 
.
7. Исследовать функцию на непрерывность и построить график:
; 
.
8. Вычислить пределы (возможно применение правила Лопиталя):
; 
; 
;
;
; 
; 
.
9. Найти асимптоты функции и показать поведение функции при удалении x на бесконечность :
; 
.
10. Найти уравнение касательной к функции в данной точке:
а) 
в точке 
;
б) 
в точке 
;
в) 
в точке 
.
11. Вычислить приближённо значение данного выражения, оценить абсолютную и относительную погрешности: 
; 
.
12. Найти интервалы выпуклости функции:
; 
.
13. Исследовать функцию на монотонность и экстремум: 
; 
.
Примечание: Все формулы и теоремы программы «минимум» приводить без доказательств.
Министерство образования и науки Кафедра высшей и прикладной математики
Российской Федерации Наименование дисциплины: Математика
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего
образования
ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 000.
Часть I (№1-14 по 2,5 балла).
1. Найти 
, если 
.
2. Матрица называется невырожденной, если …
3. Дано два вектора: 
. Найти их векторное произведение.
4. Найти угол треугольника АВС, если 
.
5. Если прямая задана уравнением 
, то на оси OY она отсекает отрезок
6. Найти эксцентриситет эллипса: 
7. Плоскость 
отсекает на оси OY отрезок, равный…
8. Прямая задана общим уравнением: 
, тогда её направляющий вектор имеет координаты…
9. Найти значение предела, не используя правило Лопиталя: 
.
10. Если 
, то уравнение вертикальной асимптоты имеет вид:
11. Если 
, то б. м. функции 
называются в точке 
…
12. Функция называется выпуклой вверх на отрезке 
, если
13. Найти дифференциал данной функции: 
.
14. Число точек перегиба функции 
равно?
Часть II (№1,2 – по 4 баллов, №3,4 по 3,5 балла).
1. Матрицы: операции сложения и умножение на скаляр.
2. Производная функции в точке, её механический и геометрический смысл.
3. Найти: 
, 
.
4. Дано: 
Проверить, могут ли они являться вершинами треугольника? Если да, то найти: , высоту 
и её уравнение.
