Пути преодоления рецептурности в делении окружности на равные части

ПУТИ ПРЕОДОЛЕНИЯ РЕЦЕПТУРНОСТИ В ДЕЛЕНИИ ОКРУЖНОСТИ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ

(в условиях дополнительного и предвузовского образования)

, *

Центр международного образования МГУ имени

*Московский государственный гуманитарный университет имени

Россия, e-mail: *****@***net

Продолжим обсуждение межпредметных связей черчения и математики, начатые нами в [1, c. 82–84], [2, с. 189–193], [3]. В настоящее время эти связи практически не обозначаются, как в средней школе, так и на уровне предвузовского образования. Исключение составляет работа [4], являющаяся совместным трудом преподавателей математики и черчения. В нашей работе [2] подробно обсуждались различные способы преодоления рецептурности в делении окружности на равные части, в расчете и построении вписанных правильных n-угольников, характерной для методики преподавания черчения.

1. В учебнике по черчению [5, c. 32] в пункте «Деление окружности на любое число равных частей» приводится табл. 1.

Таблица 1. Коэффициенты для деления окружности

Число делений n	Коэффициент kn	Число Делений n	Коэффициент kn
3	0,86603	9	0,34202
4	0,70711	10	0,30902
5	0,58779	11	0,28173
6	0,50000	12	0,25882
7	0,43388	13	0,23932
8	0,38268	14	0,22252

С помощью этой таблицы можно рассчитать длину l хорды, которую последовательно откладывают на данной окружности при делении ее на n частей:

ln = dkn, (1)

где d – диаметр заданной окружности, kn – коэффициент, определяемый по этой таблице.

Поставим перед учащимися математическую задачу: обосновать эту таблицу, которая в учебнике по черчению возникла ниоткуда.

Р е ш е н и е. Рассмотрим несколько способов решения этой задачи.

Первый способ – с помощью формулы из учебника. Вспомним из планиметрии следующую формулу для вычисления стороны an правильного n-угольника (см., например, [6, c. 71], [7, c. 135]):

an = 2Rsin = dkn′, где kn′ = sin (2)

Сравним формулы (1) и (2). Ясно, что ln = an и надо доказать, что

kn = kn′. (3)

Второй способ - с использованием теоремы косинусов. Опишем этот способ в более общем виде, рассматривая не конкретное число сторон – n сторон. Центральный угол, опирающийся на одну сторону вписанного правильного п-угольника, равен 360° : n = 2π : n = . В обозначениях формулы (1) для треугольника, образованного этой стороной и двумя радиусами, проведенными к ее концам, имеет место (по теореме косинусов) следующее соотношение:

= R2 + R2 – 2R2cos = 2R2 (1 – cos ),

откуда получаем

an = R.

Чтобы сравнить полученное значение с табличным, запишем его так:

аn = 2R= dkn′′, где kn′′ = . (4)

Из этой формулы и формул (1) – (3) видно, что мы должны сравнить не что иное, как kn, kn′ и kn′′ - в рамках табл. 1, т. е. при n = 3, 4, …, 14.

Как это можно сделать? По-старинке, можно воспользоваться таблицами, но не только Брадиса [8], а более точными: ведь таблицы Брадиса всего-навсего четырехзначные, а значения в табл. 1 – пятизначные. Поэтому используем пятизначные таблицы [9], которые менее известны, но предназначены, как и таблицы Брадиса, для учащихся средней школы.

Рассмотрим процесс заполнения табл. 2.

Если учащийся решал поставленную нами перед ним задачу первым способом, то он вручную вычислил столбец 3, затем по табл. [9, табл. II] легко вычислил соответствующие значения коэффициента kn′ и таким образом заполнил столбец 4. Как видно из табл. 2, kn ′= kn . Таким образом, можно считать, что этот учащийся успешно справился с поставленной перед ним задачей.

Учащийся, который выбрал второй способ решения задачи, должен последовательно заполнить столбцы 4 – 8 табл. 2 (на самом деле табл. 2 является объединением двух таблиц, составленных первым и вторым учениками – мы это сделали для удобства в наших рассуждениях). Сначала второй учащийся, как и первый, вручную вычислил столбец 5 и по табл. [8, табл. II] соответствующие значения косинуса (столбец 6). Дальнейшие его действия – уже дополнительные (по сравнению с действиями первого учащегося). Итак, следующий шаг второго учащегося – вычисление выражения столбца 7 – его он может выполнить вручную. А следующий шаг – извлечение квадратного корня, да еще и с пятью значащими цифрами – может повергнуть его в шок, поскольку таблицы [8] и [9] не могут дать ему необходимую точность. В последнем столбце (8-м) табл. 2 – на первых строчках - вписаны искомые значения kn′′, полученные учащимся с помощью табл. IV [8]. Сравнив эти значения kn′′ с соответствующими значениями kn, видим, что они близки, но не совпадают.

Таблица 2. Коэффициенты для деления окружности (3 варианта)

Число деле-ний n	Коэффи-циент kn		Коэффи- циент kn′= sin		Сos		Коэффициент kn′′ =
1	2	3	4	5	6	7	8
3	0,86603	60°	0, 86603	120°	-0,50000	0,75000	0,864 0,866025…≈ 0,86603
4	0,70711	45°	0,70711	90°	0	0,50000	0,7071 0,707106…≈ 0,70711
5	0,58779	36°	0, 58779	72°	0,30902	0,34549	0,5878 0,587782…≈ 0,58778
6	0,50000	30°	0, 50000	60°	0,50000	0,25000	0,50000
7	0,43388	25°42′51′′	0,43388	51°25′43′′	0,62349	0,188255	0,4339 0,433884…≈ 0,43388
8	0,38268	22°30′	0, 38268	45°	0,70711	0,146445	0,3826 0,382681…≈ 0,38268
9	0,34202	20°	0,34202	40°	0,76604	0,11698	0,3421 0,342023…≈ 0,34202
10	0,30902	18°	0,30902	36°	0,80902	0,09549	0,309 0,3090145…≈ 0,30901
11	0,28173	16°21′50′′	0,28173	32°43′38′′	0,841255	0,0793725	0,2817 0,281731…≈ 0,28173
12	0,25882	15°	0,25882	30°	0,86603	0,066985	0,2587 0,258814…≈ 0,25881
13	0,23932	13°50′46′′	0,23932	27°41′37′′	0,88545	0,057275	0,2394 0,239321…≈ 0,23932
14	0,22252	12°51′26′′	0,22252	25°42′51′′	0,90097	0,049515	0,2225 0,222519…≈ 0,22252

Чтобы уточнить значения kn′′, можно воспользоваться известным способом извлечения квадратного корня своими руками — «вручную». К сожалению, в последнее время этот способ в программу средней школы не входит. Но при желании учащийся может найти его в Справочниках по математике [10, c. 84–85], [11, c. 76–77], а также в пособии «Математика — абитуриенту» [12, т. I, c. 72–74], где он помещен в пункте под названием «То, чего нет в школьной программе, а знать надо». Полученные таким образом результаты, округленные до 5-го знака, приведены в том же 8-м столбце ниже. Сравнивая их с соответствующими значениями kn, видим, что все-таки три из них не совпадают: при n = 5, 10, 12. Возникает вопрос – почему? Конечно, будет хорошо, если учащийся сам догадается, что это могло быть оттого, что многие вычисления, проводимые им, — приближенные.

Третий способ – с помощью микрокалькулятора. Не будем на нем останавливаться.

Четвертый способ – с помощью компьютера — по-современному, используя знания из информатики, которые здесь как нельзя кстати — составим соответствующую программу на БЭЙСИКе (по методике нашего пособия по информатике [13]).

Чтобы вычислить значения коэффициентов kn′ и kn′′ с помощью компьютера, переведем градусную меру (180°, 360°) в радианную (p, 2p) и запишем формулы для углов и :

= 3,1415926 : n ; = 2 × 3,1415926… : n » 6,2831852 : n,

Итак, чтобы обосновать вышеприведенную табл. 2, надо рассчитать 12 значений синуса из формулы (2) и 12 значений косинуса из формулы (4) — для n = 3, 4, …, 14. Составим соответствующие программы на БЭЙСИКе, воспользовавшись стандартными функциями SIN(X), COS(X) и SQR(X):

ПРОГРАММА 1-1

10 REM К ДЕЛЕНИЮ ОКРУЖНОСТИ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ-1

20 PRINT «ВВЕДИТЕ N»

30 INPUT N

40 ANGLE=3.1415926/N

50 KN=SIN(ANGLE)

60 PRINT «N=»; N; «KN=»; KN

70 END

ПРОГРАММА 2-1

10 REM К ДЕЛЕНИЮ ОКРУЖНОСТИ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ-2

20 PRINT «ВВЕДИТЕ N»

30 INPUT N

40 ANGLE0=6.2831852/N

50 KN0=SQR((1-COS(ANGLE0))/2)

60 PRINT «N=»; N; «KN0=»; KN0

65 NEXT

40 END

В этих программах используются следующие обозначения: KN — kn′, KN0 — kn′′, ANGLE и ANGLE0 — меры соответствующих углов. Запустив каждую из программ, вводим N=3 и на экране дисплея получаем первые значения коэффициентов kn′ и kn′′. При этом оказывается, что kn′ = kn′′= 0,8660254, что после округления до пяти значащих цифр дает kn = 0,86603 из табл. 1. Аналогично, последовательно подставляя в эти программы остальные значения N (4, 5, …, 14), получаем остальные значения kn′ и kn′′, которые после округления оказываются равными соответствующим значениям kn из табл. 1. Таким образом уточняется табл. 2, чем показывается недостаточная точность ручных вычислений с помощью таблиц.

Процесс вычислений по программам 1-1 и 2-1 достаточно трудоемкий, поэтому целесообразно составить более общие, циклические, программы, с помощью которых легко сразу получить и табл. 1, и более того:

ПРОГРАММА 1-2

10 REM К ДЕЛЕНИЮ ОКРУЖНОСТИ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ-1-ЦИКЛ

20 PRINT «ВВЕДИТЕ N1, N2»

30 INPUT N1, N2

35 FOR N=N1 TO N2

40 ANGLE=3.1415926/N

50 KN=SIN(ANGLE)

60 PRINT «N=»; N; «KN=»; KN

65 NEXT

70 END

ПРОГРАММА 2-2

10 REM К ДЕЛЕНИЮ ОКРУЖНОСТИ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ-2-ЦИКЛ

20 PRINT «ВВЕДИТЕ N1, N2»

30 INPUT N1, N2

35 FOR N=N1 TO N2

40 ANGLE0=6.2831852/N

50 KN0=SQR((1-COS(ANGLE0))/2)

60 PRINT «N=»; N; «KN0=»; KN0

65 NEXT

70 END

Преподавателю полезно объединить программы 1-2 и 2-2 в одну, введя еще оду переменную — разность между вычисляемыми значениями коэффициентов: d = kn′ – kn′′ (в обозначениях программ — это D=KN–KN0):

ПРОГРАММА 3

10 REM К ДЕЛЕНИЮ ОКРУЖНОСТИ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ–СРАВНЕНИЕ-(1 И 2)-ЦИКЛ

20 PRINT «ВВЕДИТЕ N1, N2»

30 INPUT N1, N2

35 FOR N=N1 TO N2

40 ANGLE=3.1415926/N

45 ANGLE0=2*ANGLE

50 KN=SIN(ANGLE)

55 KN0=SQR((1-COS(ANGLE0))/2)

60 PRINT «N=»; N; «KN=»; KN; «KN0=»; KN0; «D=»; KN-KN0

65 NEXT

70 END

Запустив эту программу и введя соответствующие значения N1 (=3) и N2 (=14), получаем табл. 3:

Таблица 3. Сравнение коэффициентов

N=3 KN= .8660254 KN0= .8660254 D= 0

N=4 KN= .7071068 KN0= .7071068 D= 0

N=5 KN= .5877852 KN0= .5877852 D= 0

N=6 KN= .5 KN0= .5 D= 0

N=7 KN= .4338838 KN0= .4338838 D= 0

N=8 KN= .3826834 KN0= .3826834 D= 0

N=9 KN= .3420201 KN0= .3420201 D= 0

N=10 KN= .309017 KN0= .309017 D= 0

N=11 KN= .2817326 KN0= .2817326 D= 0

N=12 KN= .258819 KN0= .258819 D= 0

N=13 KN= .2393157 KN0= .2393157 D= 0

N=14 KN= .2225209 KN0= .2225209 D= 0

Как и прежде, округлив полученные значения коэффициентов до пяти значащих цифр, придем точно к табл. 1. Таким образом мы разгадали секрет этой таблицы. Более того, мы получили, что «на практике» выполняются равенства

kn = sin = .

Причина выполнения этого равенства будет понятно тому ученику, который, внимательно посмотрев на последние равенства, узнает формулу из тригонометрии — для синуса половинного аргумента:

sin = ±,

(см. [10, c. 283] или [12, c. 108]), взятую с плюсом, поскольку в нашем случае a = < 360° и, следовательно, < 180°, что определяет sin> 0.

Настоящее исследование можно рассматривать как приглашение к коллективной работе преподавателя с группой учащихся.

ЛИТЕРАТУРА

1.  Модель выпускника подготовительного факультета в пространстве предвузовского математического образования. – М.: КомКнига, 2005. – 480 с. (Педагогика, психология, технология обучения.)

2.  , Использование информатики для практической интерпретации математических результатов в условиях среднего и предвузовского образования // Вестник ЦМО МГУ, № 6, ч. 3, 2006, с. 187–196.

3.  , Интеграция черчения и математики средствами информатики. – В кн.: Тезисы докладов Российской школы-конференции «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании», Москва, РУДН, 14–18 декабря 2009 г. – М.: РУДН, 2009, с. 460–463.

4.  , Интегрированный урок (геометрия + черчение) по теме: «Построение правильных многоугольников» // Первое сентября. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок», 2004/2005. (В разделах «Преподавание математики», «Преподавание технологии».) – http://festival.1september. ru/articles/213089

5.  Техническое черчение: Учебник для СПТУ. – 3-е пререраб. и доп. изд. – М.: Высш. шк., 1988. – 223 с.

6.  , Геометрия: Учеб. пос. для иностранных студентов естественно-научных специальностей, обучающихся на подготовительном факультете МГУ им. . – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. –108 с.

7.  Геометрия: Пробный учебник для 6 – 10 классов средней школы. Материалы для ознакомления. – М.: Просвещение, 1981. – 271 с. – (Б-ка учителя математики).

8.  Четырехзначные математические таблицы для средней школы. – М.: Просвещение, 1988. – 96 с.

9.  Математические таблицы. – 3-е изд. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. – 208 с.

10.  Справочник по математике для средней школы / Под ред. . – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. – 400 с.

11.  Справочник по математике для средних учебных заведений / Под ред. . – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983. – 480 с.

12.  Математика – абитуриенту. В двух томах. – М.: МЦНМО, 1997. – (Т. I – 424 c.; Т. II – 432 с.).

13.  , Введение в информатику: Учебное пособие для студентов-иностранцев высших учебных заведений / Под общ. ред. . – М.: УРСС, 1997. – 208 с. – (Гриф: Рекомендовано МО и ПО РФ в качестве учебного пособия для студентов-иностранцев высших учебных заведений).

Kuznetsova T. I., Kholin G. N.

WAYS OF OVERCOMING PRESCRIPTION TO DIVISION OF THE CIRCLE INTO EQUAL PARTS (in the conditions of additional and pre-higher education)

In article mathematical ways of a proof for the drawing textbook — table with the coefficients for division of a circle into equal parts are described.

Key words: mathematics, drawing, drawing textbook, proof, table with the coefficients.