XXI Открытая городская олимпиада школьников по математике

XXI Открытая городская олимпиада школьников по математике

Решения, 5 класс.

Даты апреля записываются так: от 1.4.16 до 30.4.16. Сколько дней в этом апреле записываются различными цифрами?

Ответ: 13.

Решение: нам подходят следующие числа апреля: 2,3,5,7,8,9,20,23,25,27,28,29,30.

Может ли быть верным равенство , если в него вместо букв подставить цифры от 1 до 9? (Разным буквам соответствуют разные цифры, крестиком обозначена операция умножения).

Ответ: нет.

Решение 1: используется каждая из девяти цифр. Цифра 5 – единственная, делящаяся на 5. Значит, или только левое, или только правое произведение делится на 5, и равными друг другу эти произведения быть не могут. (Возможно аналогичное рассуждение с цифрой 7).

Решение 2: максимально возможное значение левой части равенства равно 9▪8▪7=504, а минимально возможное значение правой – равно 1▪2▪3▪4▪5▪6=720. Одинаковыми значения частей никогда не будут.

На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырёх боковых гранях оказалась равной 12, во второй – 15. Какое число написано на грани, противоположной той, где написано число 3?

Ответ: 6.

Решение: разобьём грани на пары противоположных и посчитаем сумму в каждой паре. Так как 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, сумма на паре верхней и нижней граней при первом и втором бросках равна соответственно 21 – 12 = 9 и 21 – 15 = 6. Тогда сумма на третьей паре равна 21 – 9 – 6 = 6. Грань с числом 6 может входить только в пару с суммой 9, значит, напротив 6 стоит 3. (Две суммы 6 получаются как 2 + 4 и 1 + 5).

Сколько цифр содержит число?

Ответ: 18.

Решение: (цифра 1, цифра 6 и 16 нулей, всего 18 цифр).

Вася утверждает, что у него есть бумажная фигурка, которую можно перегнуть одним способом – и получится прямоугольник, а можно перегнуть другим способом – и получится правильный треугольник (т. е. треугольник, у которого все стороны и углы равны). Не хвастает ли Вася?

Ответ: нет, не хвастает (см. рис.).

г. Петропавловск – Камчатский, 17. 04. 2016 г.

XXI Открытая городская олимпиада школьников по математике

Решения, 6 класс.

При умножении на 4 четырехзначного числа получается число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Какое это число?

Ответ: 2178▪4=8712.

На столе стоит 11 коробок, в которых всего более 110, но менее 130 конфет. Если в первую коробку добавить 1 конфету, во вторую – 2 конфеты, …, в 11-ую коробку – 11 конфет, то во всех коробках станет поровну конфет. Сколько всего конфет было первоначально?

       Ответ: 121.

Решение. Если добавить 1 + 2 + … + 11 = 66 конфет, то станет более 176, но менее 196 конфет. Причём, это число кратно 11. Единственное подходящее число – 187. Значит, первоначально конфет было 187 – 66 = 121.

У Мальвины были золотые колечки с массами 1 г, 3 г, 4 г, 6 г, 8 г, 9 г, 11 г, 12 г и 16 г. Алиса и Базилио украли по 4 кольца. При этом Алисе досталось втрое больше золота, чем Базилио. Какая масса может быть у оставшегося кольца? (Приведите все возможные варианты ответа и обоснуйте, что других вариантов быть не может).

Ответ: 6 г.

Решение: суммарная масса всех украденных колец делится на 4 нацело. А общая масса всех колец при делении на 4 даёт остаток 2. Поэтому остаться могло только кольцо массой 6 г. (Базилио при этом мог украсть кольца с массами 1, 3, 4 и 8 г – всего 16 г, а Алиса – кольца с массами 9, 11, 12 и 16 г – всего 48 г.)

Верно ли, что равносторонний треугольник, стороны которого равны 2016 метрам, можно разрезать на 2016 равносторонних (не обязательно одинаковых по размерам) треугольников?

Ответ: да, верно.

Решение.  Сторону треугольника разобьем на отрезки по 2 метра, а затем отрежем от треугольника полоску, состоящую из 1008+1007 равносторонних треугольников со стороной 2 метра (см. рис.). Останется один равносторонний треугольник со стороной 2014 метров. Всего получится как раз 1008+1007+1=2016 треугольников.

На острове живут рыцари (всегда говорят правду) и лжецы (всегда лгут), каждый из них живёт в четырёхэтажном доме. В социологическом опросе приняли участие все жители острова. На вопрос «Вы живёте на первом этаже?» ответили «Да» 40% жителей. На аналогичный вопрос про второй этаж утвердительно ответили 30%, про третий – 50%, а про четвёртый – 0%. Какой процент жителей острова действительно живёт на первом этаже?

Ответ: 30%.

Решение: каждый рыцарь ответил «Да» ровно один раз, а каждый лжец – три раза. Поэтому суммарное количество ответов больше числа жителей на удвоенное число лжецов. То же верно для суммы процентов (для доказательства правомочности перехода к процентам удобно общее число жителей взять за 100n).

Поэтому лжецов на острове (40 + 30 + 50 + 0 – 100) : 2 = 10 %. Поскольку никто из лжецов не сказал, что живёт на четвёртом этаже, именно там все лжецы и живут. Значит, все они сказали «Да» в ответ на вопрос «Вы живёте на первом этаже?». Отбросив их ложные ответы, получим, что на первом этаже живёт 40 – 10 = 30 % жителей.

г. Петропавловск – Камчатский, 17. 04. 2016 г.

XXI Открытая городская олимпиада школьников по математике

Решения, 7 класс.

Расставьте по кругу четыре единицы, три двойки и три тройки так, чтобы сумма любых трех подряд стоящих чисел не делилась на три.

Ответ: один из возможных примеров расположения чисел показан на рисунке.

Алексей, Марат и Стас вместе съели 42 яблока, причем Алексей в три раза меньше, чем Марат, а Стасу досталось больше всех. Алексей обиделся сразу, а на претензии Марата Стас заявил: “А ты съел больше, чем в среднем любой из нас!” Кто сколько яблок съел?

Ответ: Марат съел 15 яблок, Алексей – 5, а Стас – 22.

Решение: Марат съел больше 42 : 3 = 14 яблок, причем это количество должно быть кратно 3 (так как Алексей съел в три раза меньше, чем Марат). Но если Марат съел более 15 яблок (а значит, не менее 18), то Алексей съел не менее 6, а Стас не более чем 42 – 18 – 6 = 18, то есть не более Марата, а это противоречит условию. Значит, Марат съел 15 яблок. Отсюда и следует ответ задачи.

Сколько решений в натуральных числах (x и y – натуральные) имеет уравнение ?

Ответ: 4 решения: (2, 157), (3, 53), (4, 27), (13, 3).

Решение: . Второй и третий множители – последовательные натуральные числа, которыми (с учётом, что ) могут быть 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 12 и 13, откуда и следует ответ.

Отметьте на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих следующему условию:

Ответ: искомое множество точек – прямая у = 1 без точки (–3­;1).

Вася утверждает, что у него есть бумажная фигурка, которую можно перегнуть одним способом – и получится квадрат; можно перегнуть другим способом – и получится равнобедренный треугольник; можно перегнуть третьим способом – и получится параллелограмм. А не хвастает ли Вася?

Ответ: нет, не хвастает (см. рис.).

В государстве каждый житель – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Все жители знакомы друг с другом. Президент однажды сделал два заявления: “Я знаком с четным числом рыцарей” и  “Я знаком с нечетным числом лжецов”. Докажите, что любой другой житель может сделать такие же заявления. (Президент входит в число жителей.)

Решение: Заметим, что все рыцари знакомы с одним и тем же числом рыцарей и одним и тем же  числом лжецов; аналогично – для лжецов. Значит, достаточно доказать, что если рыцарь сделал такие два утверждения, то и лжец сделает такие же (и наоборот). Но количество лжецов, с которыми знакомы рыцарь и лжец, различаются на 1, поэтому утверждение “Я знаком с нечетным числом лжецов” могут сделать либо оба, либо ни один. Аналогично с другим утверждением.

г. Петропавловск – Камчатский, 17. 04. 2016 г.

XXI Открытая городская олимпиада школьников по математике

Решения, 8 класс.

Сколько существует десятизначных чисел, делящихся на 9, в записи которых используются лишь восьмёрки и девятки? 

Ответ: 10.

Решение: из признака делимости на 9 следует, что в этом числе девять восьмёрок и, значит, только одна девятка. Она может стоять на любом из 10 возможных мест.

Если треть числа разделить на его семнадцатую часть, в остатке будет 100. Найдите исходное число.

Ответ: 2550.

Решение: Пусть искомое число равно х. Увеличение делимого и делителя в 51 раз приведёт к увеличению в 51 раз и остатка от деления. Значит, при делении 17х на 3х в остатке получается 5100. Неполное частное равно 5, остаток равен 2х = 5100, следовательно, искомое число х равно 2550.

За круглым столом расселись 10 мальчиков и 15 девочек. Оказалось, что имеется ровно 5 пар мальчиков, сидящих рядом. Сколько могло получиться пар девочек, сидящих рядом? (Если мальчик образует пару и с соседом слева, и с соседом справа, – считаются обе пары. То же верно для девочек).

Ответ: 10 пар.

Решение: в группе из подряд мальчиков каждый, кроме самого правого, образует пару с соседом слева. Значит, в каждой группе число пар на 1 меньше числа мальчиков. Поэтому общее число пар мальчиков меньше числа мальчиков на число групп. Следовательно, есть 5 групп мальчиков, и они перемежаются 5 группами девочек. Но тогда число пар девочек равно 15 – 5 = 10.

Между какими соседними целыми числами заключено значение выражения ?

Ответ: между 1 и 2.

Указание:  В дробях перенести иррациональности в числители, провести оценку.

Найти множество точек на координатной плоскости, удовлетворяющих следующему условию: .

Ответ: искомое множество точек состоит из прямой у = 2 и точки (0; 0).

Решение: преобразовываем данное в задаче условие к виду , получаем две возможности, отсюда и следует приведённый выше ответ.

Назовем диагональ пятиугольника хорошей, если какие-то другие диагонали делят ее на  3 равные части. Какое наибольшее число хороших диагоналей может быть у выпуклого пятиугольника?                                

Ответ: две.

Решение: Если у пятиугольника не менее 3 хороших диагоналей, то какие-то две из них  пересекаются. Пусть эти диагонали АС и ВЕ. Тогда в четырехугольнике АВМN (см. рис. 1) диагонали делятся точкой пересечения O  пополам. Значит АВМN – параллелограмм. Но тогда , т. е. – противоречие. На рис. 2 приведен пример пятиугольника с двумя хорошими диагоналями. Он может быть получен из произвольного треугольника АСЕ делением боковых сторон на три равных части (точки ) и построением вершин и .

г. Петропавловск – Камчатский, 17. 04. 2016 г.