Программа Наименование дисциплины Математика

       Рекомендовано МССН

ПРОГРАММА

Наименование дисциплины  Математика

Рекомендуется для направления подготовки

220400  Управление в технических системах

Квалификация (степень) выпускника «бакалавр»

1. Цели и задачи дисциплины: Курс математики относится к числу основополагающих курсов для естественнонаучных, инженерных, экономических специальностей. Знание основных поня­тий математического анализа и умение использовать их является необходимой составной частью общего университетского математического образования. Математический анализ необходим для изучения других дисциплин математического и естественнонаучного цикла (физика, химия, эко­логия, линейная алгебра и аналитическая геометрия, теория вероятностей и мат. статистика, дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, информатика и др.), профессиональ­ного цикла (теоретическая механика, теория оптимального управления и т. д.) Основная цель курса – овладение обучающимися основными понятиями и методами математического анализа: понятиями функции, производной, неопределённого и определенного интеграла, функции не­скольких переменных, двойных, тройных интегралов, числового и функционального ряда, мето­дами вычисления производных, интегралов, нахождения минимумов и максимумов функций, ис­следования функций, исследования сходимости числовых и функциональных рядов, нахождения суммы ряда и т. д.

2. Место дисциплины в структуре ООП: Дисциплина «Математика» входит в базовую часть Математического и естественнонаучного цикла. «Математика» является одной из первоначаль­ных дисциплин, т. е. для начала её изучения не требуются знания, выходящие за рамки школьной программы, однако по мере её изучения желательны (но формально не обязательны) знания из параллельно изучаемой дисциплины «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», для много­численных разделов которой «Математика», в свою очередь, является  предшествующей. Безус­ловно необходима (как предшествующая) дисциплина «Математика» и для многих других дис­циплин ООП по направлению  Управление в технических системах, а именно

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Физика Химия Экология

Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление Информатика Прикладной функциональный анализ Теория вероятностей и математическая статистика Теоретическая механика Теория оптимального управления Математические основы кибернетики Электротехника и электроника

3. Требования к результатам освоения дисциплины:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

ОК: 10; ПК-1,2,5.

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать: Основные понятия, определения и теоремы математического анализа из программы курса (определения предела последовательности и функции, определения и свойства производной, не­определённого и определенного интеграла, понятие функции нескольких переменных, определе­ния и свойства двойных, тройных интегралов, числового и функционального ряда и т. д.), методы вычисления производных, интегралов, нахождения минимумов и максимумов функций, исследо­вания функций, исследования сходимости числовых и функциональных рядов, нахождения суммы ряда и т. д.; постановки основных задач математического анализа, алгоритмы и методы их решения.

Уметь: Применять математические методы для решения практических задач, решать задачи по математическому анализу, изучаемые в курсе, находить пределы последовательностей и функ­ций, производные, неопределённые и определенные интегралы, находить минимумы и макси­мумы функций, исследовать функции, вычислять двойные и тройные интегралы, определять схо­димость числовых и функциональных рядов, находить суммы числового и функционального ряда и т. д.).

Владеть: Основными методами и алгоритмами решения задач математического анализа (иссле­довать функции одной и нескольких переменных, находить площади плоских фигур и поверхно­стей в пространстве, длин кривых, объемов тел и т. д.).

4. Объем дисциплины и виды учебной работы

Общая трудоемкость дисциплины составляет ___13_ зачетных единиц.

Вид учебной работы	Всего ча­сов	Семестры
1	2	3
Аудиторные занятия (всего)	240	80	80	80
В том числе:
Лекции	120	40	40	40
Практические занятия (ПЗ)	120	40	40	40
Самостоятельная работа (всего)	228	64	64	100
В том числе:
Выполнение домашних заданий	228	64	64	100
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)	экзамен	экзамен	экзамен
Общая трудоемкость  час   зач. ед.	468	144	144	180
13	4	4	5

5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов дисциплины

Тема 1. Множества, принцип математической индукции. Действительные числа.

Тема 2. Бином Ньютона. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.

Тема 3. Предел функции.

Свойства пределов. Основные теоремы о пределах.

Тема 4. Непрерывные функции, их свойства.

Обратная функция, теорема о её непрерывности. Первый и второй замечательные пределы. Точки разрыва функций, их классификация.

Тема 5. Производная.

Определение производной. Свойства дифференцируемых функций. Дифференциал функции. Дифференцирование сложной и обратной функций. Таблица производных.

Тема 6. Производные и дифференциалы высших порядков.

Правила Лопиталя. Формула Тейлора. Разложение Маклорена элементарных функций.

Тема 7. Исследование функций. Построение графиков.

Тема 8. Первообразная и неопределённый интеграл.

Свойства неопределённого интеграла. Таблица интегралов.

Тема 9. Замена переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей.

Тема 10. Интегрирование иррациональных функций и тригонометрических функций.

Тема 11. Интегрирование функций с квадратным трехчленом.

Тема 12. Определенный интеграл.

Определение. Свойства. Критерий интегрируемости функции на отрезке.

Тема 13. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Интегрируемость монотонных функций. Равномерная непрерывность.

Тема 14. Интегрируемость непрерывных функций.

Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной на отрезке функции.

Тема 15. Основные свойства определённого интеграла.

Интегралы с переменным верхним пределом.

Тема 16. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных в  определённом интеграле. Ин­тегрирование по частям.

Тема 17. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

Приложения определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения.

Тема 18. Несобственные интегралы. Примеры вычисления определенных интегралов.

Г-функция.

Тема 19. Функции многих переменных. Частные производные и дифференцируемость. Ка­сательная плоскость и нормаль. Дифференцирование сложной функции.

Тема 20. Производная по направлению и гра­ди­ент функ­ции. Частные производные высших порядков. Теорема о неявной функции.

Тема 21. Дифференцирование неявных функций. Системы неявных и параметрических функций.

Тема 22. Экстремумы функций многих переменных. Понятие локального экстремума. Не­обходимые и достаточные условия локального экстремума. Наибольшее и наименьшее зна­чение функции.

Тема 23. Условный локальный экстремум. Необходимое условие условного локального экс­тремума. Ме­тод множителей Лагранжа.

Тема 24. Формула Тейлора.

Тема 25. Двойной интеграл.  Определение, свойства. Сведение двойного интеграла к по­вторному.

Тема 26. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты.

Тема 27. Приложения двойных интегралов в геометрии и механике.

Тема 28. Понятие о несобственных двойных интегралах. Интегралы, зависящие от пара­метра.

Тема 29. Сферические, цилиндриче­ские координаты. Тройной интеграл.

Тема 30. Сведение тройного интеграла к повторному. Замена переменных в тройном инте­грале.

Тема 31. Криволинейный интеграла I-го типа. Определение, свойства. Приложения.

Тема 32. Криволинейный интеграла II-го типа. Определение, свойства. Приложения. Фор­мула Грина. Потенциал.

Тема 33. Поверхностный интеграла I-го типа. Определение, свойства. Приложения.

Тема 34. Поверхностный интеграла II-го типа. Определение, свойства. Приложения.

Тема 35. Векторное поле. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса.

Тема 36. Ротор. Формула Стокса.

Тема 37. Числовые ряды. Теоремы сравнения. Признаки сходимости Коши и Даламбера. Инте­гральный признак Коши.

Тема 38. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды.

Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

Тема 39. Функциональные ряды.

Сходимость последовательностей и рядов функций. Равномерная сходимость.

Тема 40. Непрерывность суммы ряда.

Признак Вейерштрасса. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов.

Тема 41. Степенные ряды.

Непрерывность суммы ряда. Радиус сходимости. Почленное интегрирование и дифференцирова­ние.

Тема 42. Ряд Тейлора.

Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Табличные ряды Тейлора.

Тема 43. Ряды Фурье.

Тема 44. Комплексные числа.

Определение. Операции. Свойства. Предел последовательности. Бесконечно удаленная  точка. 

Тема 45. Функции комплексного переменного.

Предел и непрерывность. Дифференцируемость. Условия Коши - Римана. Правила дифференци­рования.  Геометрический смысл производной.

Тема 46. Интеграл от функции комплексного переменного.

Определение. Свойства.

Тема 47. Интегральная формула Коши.

Тема 48. Степенные ряды для аналитических функций.

Тема 49. Ряды Лорана.

Тема 50. Особые точки. Теоремы о вычетах.

Тема 51. Вычисление определенных интегралов.

Тема 52. Комплексные ряды Фурье.

Тема 53. Преобразование Лапласа.

Тема 54. Преобразование Лапласа. Приложения.

5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспе-чиваемых (последующих) дисциплин	№ № разделов данной дисциплины, необходимых для изу­чения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1	Линейная алгебра и ана­литическая геометрия	1, 5, 6, 19, 20, 21, 22, 29, 44
2	Дифференциальные уравнения и вариацион­ное исчисление	Все темы
3	Информатика	1, 2, 3, 5, 7, 19, 22
4	Прикладной функциональный анализ	Все темы
5	Теория вероятностей и математическая статистика	1-29, 37-44
6	Теория оптимального управления	Все темы
7	Математические основы кибернетики	1-43
8	Физика	1-43
9	Химия	1-43
10	Экология	1-43
11	Теоретическая механика	1-43
12	Электротехника и электро­ника	Все темы

5.3. Разделы дисциплин и виды занятий

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Лекции	Практические занятия	СРС	Всего час.
1	Множества, принцип математической ин­дукции. Действительные числа.	2	2	3	7
2	Бином Ньютона. Числовые последователь­но­сти. Предел числовой последовательно­сти.	2	2	3	7
3	Предел функции. Свойства пределов. Основные теоремы о пределах.	2	2	3	7
4	Непрерывные функции, их свой­ства.	2	2	3	7
5	Производная.	2	2	4	8
6	Производные и дифференциалы высших порядков.	2	2	4	8
7	Исследование функций. Построение графиков	4	4	6	14
8	Первообразная и неопределённый интеграл.	2	2	4	8
9	Замена переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей.	2	2	4	8
10	Интегрирование иррациональных функций и тригонометрических функций.	2	2	4	8
11	Интегрирование функций с квадратным трехчленом	2	2	4	8
12	Определенный интеграл.	2	2	3	7
13	Верхняя и нижняя интегральные суммы. Интегрируемость монотонных функций. Равномерная непрерывность.	2	2	3	7
14	Интегрируемость непрерывных функций.	2	2	3	7
15	Основные свойства определённого интеграла.	2	2	3	7
16	Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных в  определённом интеграле. Ин­тегрирование по частям.	4	4	3	11
17	Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Приложения определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения.	2	2	4	8
18	Несобственные интегралы. Примеры вычисления несобственных интегралов. Г-функция.	2	2	3	7
19	Функции многих переменных. Частные производные и дифференцируемость. Касательная плоскость и нормаль. Дифференцирование сложной функции.	2	2	4	8
20	Производная по направлению и гра­ди­ент функ­ции. Частные производные высших порядков. Теорема о неявной функции.	2	2	3	7
21	Дифференцирование неявных функций. Системы неявных и параметрических функций.	2	2	3	7
22	Экстремумы функций многих переменных.	4	4	6	14
23	Условный локальный экстремум. Ме­тод множителей Лагранжа.	2	2	4	8
24	Формула Тейлора.	2	2	3	7
25	Двойной интеграл.  Определение, свойства. Сведение двойного интеграла к по­вторному.	4	4	6	14
26	Замена переменных в двойном интеграле.	2	2	4	8
27	Приложения двойных интегралов в геометрии и механике.	2	2	4	8
28	Понятие о несобственных двойных интегралах. Интегралы, зависящие от пара­метра.	2	2	3	7
29	Сферические, цилиндриче­ские координаты. Тройной интеграл.	2	2	3	7
30	Сведение тройного интеграла к повторному. Замена переменных в тройном инте­грале.	2	2	3	7
31	Криволинейный интеграла I-го типа.	2	2	3	7
32	Криволинейный интеграла II-го типа.	2	2	3	7
33	Поверхностный интеграла I-го типа.	2	2	3	7
34	Поверхностный интеграла II-го типа.	2	2	3	7
35	Векторное поле. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса.	2	2	3	7
36	Ротор. Формула Стокса.	2	2	3	7
37	Числовые ряды.	4	4	6	14
38	Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды.	2	2	3	7
39	Функциональные ряды	2	2	3	7
40	Непрерывность суммы ряда.	2	2	3	7
41	Степенные ряды.	4	4	6	14
42	Ряд Тейлора.	2	2	4	8
43	Ряды Фурье	2	2	4	8
44	Комплексные числа	2	2	4	8
45	Функции комплексного переменного.	2	2	3	7
46	Интеграл от функции комплексного переменного.	2	2	3	7
47	Интегральная формула Коши.	2	2	3	7
48	Степенные ряды для аналитических функций.	2	2	4	8
49	Ряды Лорана.	2	2	3	7
50	Особые точки. Теоремы о вычетах.	2	2	3	7
51	Вычисление определенных интегралов.	2	2	3	7
52	Комплексные ряды Фурье.	2	2	3	7
53	Преобразование Лапласа.	2	2	3	7
54	Преобразование Лапласа. Приложения.	2	2	3	7

6. Лабораторный практикум

Отсутствует

7. Практические занятия (семинары)

№ п/п	№ раздела дисциплины	Тематика практических занятий (семинаров)	Трудо-емкость (час.)
1	1	Множества, принцип математической ин­дукции. Действительные числа.	2
2	2	Бином Ньютона. Числовые последователь­но­сти. Предел числовой последовательно­сти.	2
3	3	Предел функции. Свойства пределов. Основные теоремы о пределах.	2
4	4	Непрерывные функции, их свой­ства.	2
5	5	Производная.	2
6	6	Производные и дифференциалы высших порядков.	2
7	7	Исследование функций. Построение графиков	4
8	8	Первообразная и неопределённый интеграл.	2
9	9	Замена переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей.	2
10	10	Интегрирование иррациональных функций и тригонометрических функций.	2
11	11	Интегрирование функций с квадратным трехчленом	2
12	12	Определенный интеграл.	2
13	13	Верхняя и нижняя интегральные суммы. Интегрируемость монотонных функций. Равномерная непрерывность.	2
14	14	Интегрируемость непрерывных функций.	2
15	15	Основные свойства определённого интеграла.	2
16	16	Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных в  определённом интеграле. Ин­тегрирование по частям.	4
17	17	Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Приложения определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения.	2
18	18	Несобственные интегралы. Примеры вычисления несобственных интегралов. Г-функция.	2
19	19	Функции многих переменных. Частные производные и дифференцируемость. Касательная плоскость и нормаль. Дифференцирование сложной функции.	2
20	20	Производная по направлению и гра­ди­ент функ­ции. Частные производные высших порядков. Теорема о неявной функции.	2
21	21	Дифференцирование неявных функций. Системы неявных и параметрических функций.	2
22	22	Экстремумы функций многих переменных.	4
23	23	Условный локальный экстремум. Ме­тод множителей Лагранжа.	2
24	24	Формула Тейлора.	2
25	25	Двойной интеграл.  Определение, свойства. Сведение двойного интеграла к по­вторному.	4
26	26	Замена переменных в двойном интеграле.	2
27	27	Приложения двойных интегралов в геометрии и механике.	2
28	28	Понятие о несобственных двойных интегралах. Интегралы, зависящие от пара­метра.	2
29	29	Сферические, цилиндриче­ские координаты. Тройной интеграл.	2
30	30	Сведение тройного интеграла к повторному. Замена переменных в тройном инте­грале.	2
31	31	Криволинейный интеграла I-го типа.	2
32	32	Криволинейный интеграла II-го типа.	2
33	33	Поверхностный интеграла I-го типа.	2
34	34	Поверхностный интеграла II-го типа.	2
35	35	Векторное поле. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса.	2
36	36	Ротор. Формула Стокса.	2
37	37	Числовые ряды.	4
38	38	Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды.	2
39	39	Функциональные ряды	2
40	40	Непрерывность суммы ряда.	2
41	41	Степенные ряды.	4
42	42	Ряд Тейлора.	2
43	43	Ряды Фурье	2
44	44	Комплексные числа	2
45	45	Функции комплексного переменного.	2
46	46	Интеграл от функции комплексного переменного.	2
47	47	Интегральная формула Коши.	2
48	48	Степенные ряды для аналитических функций.	2
49	49	Ряды Лорана.	2
50	50	Особые точки. Теоремы о вычетах.	2
51	51	Вычисление определенных интегралов.	2
52	52	Комплексные ряды Фурье.	2
53	53	Преобразование Лапласа.	2
54	54	Преобразование Лапласа. Приложения.	2

8. Примерная тематика курсовых проектов (работ)

Курсовые работы отсутствуют

9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

а) основная литература

, , Бл. Х. Сендов. Математический анализ. Начальнй курс.  М.: Изд-во МГУ, 1985. , , Сендов Бл. Х. Математический анализ. Продолжение курса.  М.: Изд-во МГУ, 1987. Пискунов и интегральное исчисления. М.: Интеграл-пресс, Т. 1, 2003; Т. 2, 2004. Демидович задач и упражнений по математическому анализу. М.: Изд-во МГУ, 1997.

б) дополнительная литература

  1. Кудрявцев математического анализа. Т. 1, 2. М.: Высшая школа, 1981.

в) программное обеспечение: пакет набора и вёрстки математических текстов ТеХ (например, MikTeX 2.7), пакеты OpenOffice. org версии не ниже 2.2, MSOffice версии не ниже 2000 и т. д.

г) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:

обеспечиваемые свободным доступом в Интернет в учебных лабораториях факультета и читальных залах РУДН

10. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

Все материалы по дисциплине, в том числе примерные варианты контрольных работ, вопросы к промежуточным (коллоквиум) и итоговым (экзамен) контролю знаний и др., опубликованы и постоянно обновляются (по мере необходимости) на Учебном портале РУДН (на страницах преподавателей, ведущих дисциплину); перечисленные учебники и учебные пособия по курсу доступны студентам в библиотеке РУДН. Также для материально-технического обеспечения дисциплина может быть использована электронная библиотека РУДН

11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

Дисциплина «Математика» должна изучаться в первых семестрах обучения, начиная с самого первого семестра, так как она необходима для всех последующих дисциплин Математического и естественнонаучного цикла и многих дисциплин Профессионального цикла. Перемещение её на старшие курсы или даже сдвиг на один семестр невозможны. Для текущего контроля успеваемости предусмотрены по две контрольные работы в каждом семестре обучения. Также в каждом семестре предусмотрен коллоквиум. Каждый из трёх семестров завершается итоговым контролем, проводимым в виде экзамена.