Леонард Эйлер как великий математик

«Число е».

Содержание

1.Введение…………………………………………………………………………………………………………….. 2

2.Что такое число е………………………………………………………………………………………………….3

История числа е……………………………………………………………………………………………3 Леонард Эйлер как великий математик……………………………………………………..4

3.Число е…………………………………………………………………………………………………………………..4

Экспонента…………………………………………………………………………………………………….5 Вычисление числа е.…………………………………………………………………………………….5

4.Практическое применение числа е……………………………………………………………………....6

5.Интересные факты…………………………………………………………………………………………………..8

6.Заключение…………………………………………………………………………………………………………… 9

7. Литература…………………………………………………………………………………………………………..10

«Число е».

1.Введение.

Подготавливая в прошлом году работу на тему числа р, я столкнулся с рядом других отдаленно  схожих с ним констант. Тем удивительнее было мое открытие одной из них в составе школьной программы 11 класса. Я, безусловно, имею в виду константу е, известную как число Эйлера или число Непера. Увы, она не обладает древнейшим происхождением, как р или золотое сечение(ц), да и увидеть ее в окружающем нас мире в разы сложнее, но эта константа, тем не менее, способна удивить познающего ее человека.

Все в нашем беспокойном мире все растет и убывает, каждый видстремится распространиться на как можно большую территорию, радиоактивные атомы стремятся к распаду, а горячие тела – к остыванию, и все это контролирует удивительное число е.

Перед собой я ставил такие цели:

Узнать, что такое число е и где оно применяется; Воспитание у школьников глубокого интереса к математике и её приложениям, развитие инициативы и творчества учащихся;

Задачи:

Рассмотреть историю числа е и задачи, для решения которых оно применялось; Вычислить значение числа е; Формировать  знания о прикладных возможностях математики;

Актуальность: Несмотря на то, что человечество знает о числе еуже довольно давно, оно остается одной самых нужных и полезных констант современной физики и математики. Расчёты численности населения, температуры тел, атомного распада и даже экономических процессов были бы невозможны без этого неприметного, но очень важного числа.

Исследование: Изучение и применение числа е, нахождение значения числа е.

Новизна:Исследование константы, которая так редко появляется в обыденной жизни.

Практическая значимость: использование полученных знаний на уроках математики и на факультативных занятиях

2.Что такое число е?

e= 2.718281828459045…

Его особенности:

е иррационально, то есть не может быть представлено в виде дробигде m – целое число, а n – натуральное (см. приложение). е трансцендентно, то есть не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами(см. приложение). е непериодическое – все цифры после запятой не имеют какого-либо интервала повторения. Функцияeх интегрируется и дифференцируется «сама в себя», поэтому логарифмы по основанию е называют натуральными (logex;lnx).

Из этих свойств можно понять, что число е, как и остальные иррациональные числасодержит в себе, на определенных позициях после запятой, абсолютно все возможные в мире комбинации цифр – факт впечатляющий, но абсолютно бесполезный.

Являясь основанием натурального логарифма, е применяется практически в каждой сфере современной жизни. Так или иначе, е незримо  присутствует в окружающих нас предметах. Физические величины и живые существа (даже мы с вами) подчиняются этой маленькой и загадочной константе.

Число е, хоть и скрыто от стороннего наблюдателя всегда будет тайно следить за нами, и помогать нам в использовании самых обыденных вещей.

История числа е

В отличие от числа р, применявшегося еще с античных времен математиками древней Греции, Китая и Индии, число е сравнительно молодая константа, открытая лишь в XVII-XVIIIвеках, ввиду связанности с понятием логарифма, до этого времени остававшегося неоткрытым.

Число е нередко называют Неперовым, по имени шотландского математика Джона Непера – одного из первооткрывателе логарифма, который в 1614 году выпустил книгу под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», где сама константа, однако, открыто не присутствовала.

Впервые же оно было вычислено швейцарским математиком Якобом Бернулли, решавшимзадачуопредельнойвеличинепроцентногодохода, которуюмычутьпозжерассмотрим. Послеэтого, константамножествораз проскакивалавсочиненияхиписьмахразличныхавторов (ПисьмаЛейбницаГюйгенсу), покав 1727 годуеенезаметилвеликийматематикЛеонардЭйлер, которыйвпоследствие ипредложилсохранившеесядонашихднейобозначениеконстантыбуквойе, онжевычислилпервые 18 цифрпослезапятой. Почемубылавыбранаименнобуква e, точнонеизвестно. Возможно, этосвязаностем, чтоснеёначинаетсяслово exponential ("показательный", "экспоненциальный").

Леонард Эйлер как великий математик

Великий ученый, выдающийся физик и математик, член Петербургской академии наук, Леонард Эйлер, кажется, не оставил ни одной области математики, не внеся в нее свой существенный вклад. Родился в 1707 году в семье швейцарского пастора, который, хоть и готовил сына к духовной карьере, но, будучи хорошим, другом семьи  Бернулли, разбирался в математике и учил ей Леонарда.

В 1720 году 13-летний Леонард встречается с Иоганном Бернулли – потомственным математиком, который становится его новым учителем. В 1726 году, окончив академию, благодаря стараниям своих друзей сыновей учителя – Даниила и Николая Бернулли, Эйлер попадает с новую Петербуржскую академию наук.

До самого конца своей жизни в 1783 году, Леонард Эйлер расширял границы человеческого знания, оставив грядущим поколениям одно из самых внушительных наследств в истории науки.

3.Число е

Если хочешь узнать о чем-то, начни с самого начала. Давайте и мы начнем узнавать число е с самого начала.

Вы знакомы с банковским делом? Эта, несомненно, древняя и важная часть нашей жизни непосредственно  связана с математикой и предметом моей работы. Миллионы людей по всем у миру получают проценты от предоставления своих средств в пользование банков. Но задумываемся ли мы, сколько можно получить в год прибыли от такого дела? «Прибыль будет равна заявленным процентам», - скажут одни, и окажутся неправы. Эту особенность когда-то заметил и известный швейцарский математик.

Впервые число е как константа было вычислено Якобом Бернулли в ходе решения им задачи о максимальном доходе. Если мы допустим, что у нас на банковском счете лежит $1 под 100% годовых, а проценты начисляются раз в год, то к концу года мы обнаружим на счете $2. Но, если проценты начислять чаще, допустим дважды в год по 50%, то может оказаться, что к концу года на нашем счету уже будет $2.25, если проценты начислять раз в квартал, то на Новый год мы увидим уже $2.44140625. Казалось бы, нужно искать идеальный банк, выплачивающий процент каждый день, и все, можно купаться в деньгах. Но, увы, Бернулли заметил, что с каждым увеличением количества выплат, прирост падает. Он заинтересовался, какой будет прибыль при максимально частой капитализации процентов. Как вы уже поняли, Якоб ее вычислил. Составив уравнение предела

Он нашел уже знакомое нам число – 2.71828…. Многие могут сказать: «Это замечательный предел №2!» Да, в советской практике именно так принято называть этот, безусловно, очень замечательный предел.

Таким образом, число е – максимально возможная годовая прибыль при 100% годовых и максимально частой капитализацией процентов.

Так же, можно считать, что е – предел последовательности

Экспонента

Одно из самых важных применений числа е можно найти в экспоненциальной функции или экспоненте . Экспонента является обратной функцией для натурального логарифма lnx(logex). Что же такого необычного в этой функции? Да хотя бы то, что , то есть производная экспоненты равна ей самой. Это, а так же то, что, как мы уже видели, экспонента отлично подходит для решения задач, где скорость прироста чего-либо пропорциональна количеству этого чего-либо, делает ее незаменимой во множестве сфер нашей жизни.

Вычисление е

Разложивв ряд Тейлора (а точнее в ряд Маклорена) по формуле ,(не забывая, что ) мы получим последовательность . Тогда, если ,, мы получаем отличную формулу для вычисления e. Все, что нужно сделать, - это просчитать максимально возможное количество шагов, чтобы в итоге получить примерное значение e. Давайте попробуем сделать для 8 знаков после запятой и 10 шагов.

n	e
2	2.5
3	2.66666666
4	2.70833332
5	2.71666665
6	2.71805554
7	2.71825395
8	2.71827875
9	2.71828151
10	2.71828179

Чем больше слагаемых мы используем, тем больше верных знаков после запятой мы находим. Таким способом можно вычислить любое количество цифр после запятой.

Так же, число е можно разложить в цепную дробь, то есть

Представление Каталана числа е:

4.Практическое применение числа е

Число е, а так же неразрывно связанная с ним экспонента являются одними из самых важных функций современного мира. Существует огромное количество физических и биологических процессов, которые экспоненциально возрастают, либо убывают.

Закон радиоактивного распада  Формула остывания тел  Формула Циолковского для расчета скорости летательных аппаратов Барометрическая формула Больцмана Формула экспоненциального роста популяций животных и логистическое уравнение Ферхюльста.

Приведем несколько задач, в решении которых число е так или иначе фигурирует.

Так как факториал числа правен числу перестановок из п предметов, то не удивительно, что число е фигурирует в задачах теории вероятностей, связанных с перестановками.

Задача о перепутанных шляпах.

Десять мужчин сдали в гардероб свои шляпы. Прежде чем выдать номера, гардеробщица случайно перепутала их. С какой вероятностью хотя бы один из владельцев получит свою собственную шляпу?

Решение: нужно знать две величины: во-первых, число всех перестановок из 10 шляп и, во-вторых, число «совершенно беспорядочных» перестановок, то есть число перестановок, при которых ни один владелец шляпы не получает свою шляпу. Первое число равно 10!, то есть 3 628 800. Число «совершенно беспорядочных» перестановок из ппредметов равно целому числу, ближайшему к дроби . В нашем случае таким целым числом является 1 334 961, поэтому вероятность того, что ни один человек не получит назад свою шляпу, равна

1 334 961/3628 800 = 0,367 879... Последнее число очень близко к . Сократив 10! в числителе и знаменателе, получим 1/е. Следовательно, вычисленная нами вероятность почти не отличается от 1/е. Таким образом, вероятность того, что все шляпы оказались перепутанными, нам известна. Очевидно, что всегда происходит одно из двух: либо все  шляпы оказываются перепутанными, либо хотя бы одна из них возвращается к своему владельцу. Следовательно, вычитая 1/е из 1  (вероятность достоверного события равна 1), мы получаем вероятность того, что, по крайней мере, один человек получает свою шляпу назад. Итак, искомая вероятность оказывается равной 0,6321, что составляет почти 2/з.

После того как число шляп достигает шести или семи, дальнейшее его увеличение фактически не влияет на результат. Независимо от числа людей (будь их десять или десять миллионов), вероятность того, что одна или более шляп окажутся у владельцев, равна 0,6321.

Задача.

Тщательно перемешав карты, выкладывайте их по одной на стол вверх картинкой, называя одновременно вслух все 52 карты в заранее задуманной последовательности (например, сначала все карты масти пик от туза до короля, затем по порядку все карты червовой масти, затем — трефовой и бубновой). Вы выиграете, если хотя бы одна карта будет выложена на стол в тот момент, когда вы ее назовете. С какой вероятностью вы выиграете и с какой проиграете эту игру?

Интуитивно, кажется, что вероятность выигрыша мала: в лучшем случае не превосходит 1/2. На самом же деле, как мы видно из задачи о шляпах, она равна (1-1/е), то есть почти 2/3. Это означает, что при достаточно продолжительной серии игр вы можете рассчитывать на победу примерно в двух из каждых трех партий.

Этот список можно продолжать очень долго. Существует еще множество различных формул и законов, где число е, экспонента или натуральный логарифм играют свою значимую роль.

5.Интересные факты

Различные примеры рациональных приближений числа е:

Число 19/7 превосходит число e менее чем на 0,004;

Число 87/32 превосходит число e менее чем на 0,0005; Число 193/71 превосходит число e менее чем на 0,00003; Число 1264/465 превосходит число e менее чем на 0,000003; Число 2721/1001 превосходит число e менее чем на 0,0000002; Число превосходит число e менее чем на 0,00000001.

Через число дьявола -

«Правило Боинга» (По номеру авиалайнера Boeing 747) -

Мнемонические правила запоминания е.

е2.718281828459045

Как и для числа пи, для е существует множество правил, позволяющих быстро его запомнить, например

Два, семь, два раза год рождения Льва Толстого. 45, 90, 45 легко запоминаются как углы равностороннего прямоугольного треугольника.

В разных странах традиция подставляет вместо Льва Толстого других людей, родившихся в 1828 году или какие-либо национальные события этого года.

Случаи из жизни.

Число е очень популярно с среде IT-компаний, так в 2004 году компания Googleразместила билборд следующего содержания

что значило «Первое 10-значное простое число в последовательности е». Правильно решившие задачу попадали на сайт с новым заданием, после решения, которого получали предложение отправить резюме в GoogleLabs.

Так же в 2004 году Googleзаявила о намерении увеличить прибыль на 2718281 828 долларов.

Версии языка METAFONTДональда Кнута, так же обозначаются как е. Актуальная – 2.718281

6.Заключение

Мы рассмотрели одно из самых нужных, удивительных и красивых чисел. Как и многие другие, оно состоит из совершенно обычных цифр, но при этом хранит в себе не только интересную историю, но и огромное практическое значение. Число е вы вряд ли найдете огромным или невероятно  малым. Просто еще одно число между двойкой и тройкой, но тот удивительный потенциал, который оно хранит, те невероятные возможности и удивительные открытия, подаренные этим числом человечеству, несомненно, заставят вас пересмотреть свое мнение об этом незаметном, но важном числе.

Делая эту работу, я познакомился с еще одной иррациональной константой, которая применяется при расчетах экспоненциального роста или убывания в физике, математике и биологии. Я поближе познакомился с экспонентой и узнал о способе вычисления е при помощи рядов Маклорена.

Это, безусловно, прискорбно, что в современных уроках математики уделяется так мало времени этой невероятно важной и полезной константе. Знание числа е не только помогает в решении математических заданий, но и ещеприближает ученика к правилам и основам строения мира.

7. Литература

1.кспонента. // Квант, 1984 №3

2. числе е. // Квант, 1979 №8.

3.Райк по истории математики в древности. - Саранск, 1987.

4., Ивашев-, Шварцбурд и математический анализ для 11 класса, М., 1990.

5.Горобец, Борис Соломонович. Мировые константы в основных законах физики и физиологии // Наука и жизнь. - 2004. - № 2. - статья с примерами физического смысла констант р и e.

По материалам сайта ru. wilipedia. org