Высшая геодезия (стр. 4 )

В матричном виде решение выглядит так:

Введём обозначение

Тогда система условных уравнений:

А функционал Лагранжа

TT

TT

TT

Для вычисления T последнее уравнение на матрицу

Подставив вектор В в условные уравнение составим нормальные уравнения:

Для нахождения К умножаем уравнение на слева

Тогда процесс уравнивания делается так

Составляется уравнение поправок

Составляется матрица нормальных уравнений

Вычисляется поправки

Вопрос 2.Параметрический способ.

Вопрос 2.1. Сущность способа.

Вопрос 2.2. Виды некоторых поправок.

Вопрос 2.3. Решение уравнений по способу наименьших квадратов.

Сущность способа покажем на примере линейной засечки.

Пункты А, В, С являются исходными. Р – определяемый пункт с неизвестными координатами.

Из математики известно, что для определения t неизвестных необходимо составить t уравнений.

Линейная засечка позволяет составить 2 уравнения:

Эти уравнения устанавливают связь между измеренными величинами S1, S 2  и известными величинами х и у. Неизвестные величины называются еще  параметрами, а эти уравнения параметрическими уравнениями связи.

Однако на практике измеряют более чем 2 стороны и составляют уже, например, систему трех уравнений с двумя неизвестными:

Мы имеем переопределенную систему уравнений потому, что число уравнений больше числа неизвестных.

Для получения однозначного решения вводится дополнительное условие, которое позволяет получить решение однозначное и наиболее точное.

Чаще всего используют условие минимума взвешенной суммы квадратов поправок измерений. Тогда задача формулируется так: даны координаты исходных пунктов ХА, УА, ХВ, УВ, ХС, УС, …, S1, S2, SX3, …, x0, y0.  Для удобства введем следующие переменные поправки  в стороны v1,v2, v3… и поправки в приближенные координаты неизвестных величин x, y, т. е. чтобы решение можно было записать так:

х=х0+х

у=у0+у

Для того чтобы получить однозначное решение необходимо потребовать выполнение следующих уравнений связи:

Эти уравнения связи решаются при условии минимума взвешенной суммы квадратов поправок в измерениях.

– решение по методу наименьших квадратов

Задача имеет нелинейный вид

В математике не существует общего алгоритма решения нелинейных уравнений. И такие системы решаются способами приближений и на каждом приближении решается система линейных уравнений соответствующая данной системе нелинейных уравнений. 

Для этого исходную систему нелинейных уравнений приводят к линейному виду. Для этого каждое уравнение системы разлагается в ряд  Тэйлора, ограничиваясь первыми степенями. Покажем это на первом уравнении

y= f(+)

y= f() +

Тогда очевидно что

Или

+l, где l – l=

Тогда систему линейных уравнений записывают в линейном виде

Такое решение называется уравнивание параметрическим способом. Покажем алгоритм уравнивания параметрическим способом на примере двух неизвестных.

Пусть имеется система трех: