Избирательные системы и их свойства Избирательные системы и их свойства А. Бочкарёв . Постановка задачи (стр. 2 )

Обобщения теоремы Мэя

Отказ от анонимности избирательных систем (e. g. избирательные системы с выборщиками, СБ ООН) – появляются решающие коалиции избирателей Отказ от нейтральности избирательных систем (e. g. голосование по поправкам к Конституции в ГосДуме) – появляются разные условия победы для разных кандидатов. Различные квоты, либо различные множества решающих коалиций Отказ от строгой монотонности избирательных систем (e. g. выборы в ГосДуму) – появляется квота, которую необходимо набрать, чтобы победить на выборах Добавление возможности безразличия избирателей к обоим кандидатам

Обобщение №1. Все анонимные монотонные избирательные системы - это такие и только такие избирательные системы, которые заданы следующим образом: пусть существует два целых неотрицательных числа и , такие что , где - общее количество избирателей. Тогда если за кандидата проголосовало избирателей, а за кандидата - , то кандидат будет в итоговом списке тогда и только тогда, когда , а кандидат будет в итоговом списке тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Так как избирательная система , вместо списка решений избирателей мы можем рассматривать просто2 числа и , где - число проголосовавших за , а - число проголосовавших за . Рассмотрим следующие ситуации: возьмем , потом и т. д. вплоть до . Согласно условию монотонности, существует  такое , что кандидат будет в итоговом списке тогда и только тогда, когда . Аналогично, существует такое , что кандидат будет в итоговом списке тогда и только тогда, когда . Однако, не любая пара чисел соответствует какой-то избирательной системе. Для того, чтобы при таком алгоритме составления конечного списка кандидатов у нас не получалось пустых списков, необходимо наложить условие . Теорема доказана.

Определение. Пусть существует 2 набора списков и и при . Тогда условие монотонности означает, что если , то и если , то . Также введем понятие строгой монотонности: если , то и если , то .

Обобщение №2. Все нейтральные анонимные строго монотонные избирательные системы с возможностью безразличия избирателей - это такие и только такие избирательные системы, в которых кандидат () попадает в итоговый список тогда и только тогда, когда количество проголосовавших за него избирателей ().

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда . Тогда , так как система нейтральна. Если мы прибавим к , а из вычтем , то , так как система строго монотонна. Если сделать наоборот, то . Также, если прибавить к 1, а оставить неизменным, то тогда , так как система строго монотонна. Таким образом мы рассмотрели все случаи в системе и доказали необходимое утверждение.

Обобщение №3. Все нейтральные монотонные избирательные системы с возможностью безразличия избирателя, это такие и только такие избирательные системы , которые задаются множеством подмножеств из множества избирателей . Если за кандидата проголосовали все члены некоторого множества избирателей , тогда и только тогда этот кандидат попадает в итоговый список. При этом множество обладает свойством [1]: и .

Доказательство. Из свойства [1] следует то, что любая избирательная система монотонна. То, что эта избирательная система нейтральна, следует из того, что множество одинаково для обоих кандидатов. Таким образом, любая избирательная система нейтральна и монотонна.

Для любой монотонной нейтральной избирательной системы можно составить множество решающих коалиций , т. к. избирателей конечное число конечное число подмножеств избирателей. Поскольку избирательная система нейтральна, множество решающих коалиций будет одинаковым для обоих кандидатов. А если она монотонна, то из этого следует, что будет удовлетворять свойству [1]. Теорема доказана.