X \ M 3)B … С … A
По свойству 3) победителем при данном профиле голосования может быть либо кандидат А, либо произвольный кандидат С, так как все избиратели из M (первая и вторая группы) поставили кандидата А выше кандидата В, а все остальные избиратели (третья группа) поступили наоборот. Рассмотрим два случая:
а) Победителем в данном профиле голосования является кандидат А. Тогда рассмотрим пару кандидатов (А, С). В данном профиле голосования только избиратель d поставил кандидата А выше С, в то время как все остальные избиратели поставили С выше А. Поэтому коалиция D будет решающей, что противоречит предположению, что М – минимальная решающая коалиция.
б) Победителем в данном профиле голосования является кандидат С. Тогда рассмотрим пару кандидатов (С, В). В данном профиле голосования только коалиция М \ D (вторая группа) поставила кандидата С выше кандидата В, в то время как все остальные избиратели поставили В выше С. Следовательно коалиция M \ D является решающей, что противоречит предположению, что M – минимальная решающая коалиция.
Лемма 1 доказана.
Лемма 2 явным образом вытекает из свойства нейтральности избирательной системы.
Итак, мы приходим к выводу, что D – решающая коалиция для любой пары кандидатов. Тем самым доказана Лемма 2, но это ещё не даёт возможности заключить, что d – диктатор.
В самом деле, каковы бы ни были кандидаты A, B, мы пока не можем гарантировать, что предпочтение одного из них другому по профилю вида 1) избирателем d немедленно повлечёт за собой, что именно кандидат стоящий на первом месте в бюллетене d окажется победителем – ведь нам ещё требуется, чтобы все остальные избиратели высказались наоборот. Покажем, что мнение эксперта d относительно порядка следования A, B всегда будет достаточным для того, чтобы и в коллективном мнении было так же. В этом состоит содержание Леммы 3, утверждающей, что d – диктатор.
Пусть есть некоторый профиль голосования u, в котором избиратель d поставил кандидата А на первое место. Возьмем произвольного кандидата В и составим профиль 1) для пары (А, В). Профиль голосования u явным образом получается из профиля голосования 1) путем пошагового опускания кандидата В. Т. к. в профиле 1) победителем был кандидат А, то и в произвольном профиле голосования u победителем будет кандидат А.
Лемма 3 доказана, а следовательно доказана и сама теорема о неманипулируемых избирательных системах.
Теорема о единственном победителе
- Анонимное нейтральное правило, удовлетворяющее свойству единогласия и дающее единственного победителя, существует тогда и только тогда, когда у числа избирателей
нет простых делителей, не превосходящих числа кандидатов 
1 | 2 | 3 | … |
| |
1 |
|
|
| … |
|
2 |
|
|
| … |
|
… | … | … | … | … | … |
|
|
|
| … |
|
|
|
|
| … |
|
… | … | … | … | … | … |
|
|
|
| … |
|
- Анонимное нейтральное правило, дающее единственного победителя, существует тогда и только тогда, когда число кандидатов
не может быть записано в виде суммы нескольких делителей числа избирателей 
, отличных от 1 1 | 2 | 3 | … |
| |
1 |
|
|
| … |
|
2 |
|
|
| … |
|
… | … | … | … | … | … |
|
|
|
| … |
|
Теорема о единственном победителе №1. Анонимное нейтральное правило, удовлетворяющее свойству единогласия и дающее единственного победителя, существует тогда и только тогда, когда у числа избирателей 
нет простых делителей, не превосходящих числа кандидатов 
.
Доказательство.
I. Докажем, что анонимное нейтральное правило, удовлетворяющее свойству единогласия и дающее единственного победителя, существует только тогда, когда у числа избирателей 
нет простых делителей, не превосходящих числа кандидатов 
(необходимость условия). Предположим, что это не так и что существует анонимная нейтральная избирательная система, удовлетворяющая свойству единогласия и дающая единственного победителя, для которой верно 
, где 
. Разделим избирателей на 
групп по 
человек каждая и рассмотрим следующие два профиля голосования:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
