Избирательные системы и их свойства Избирательные системы и их свойства А. Бочкарёв . Постановка задачи (стр. 1 )

Исследование различных избирательных систем и их свойств с целью анализа рациональности их применения в современном мире.

Актуальность темы

Исследование избирательных систем – известная задача теории игр и корпоративного принятия решений. Она может применяться при анализе и сравнении реально действующих избирательных правил.

Методы решения

Аппарат теории игр и теории множеств. Аналогичный аппарат применяется в математической экономике.

Результаты

Доказан ряд обобщений теоремы Мэя, описывающих не анонимные и/или не нейтральные избирательные системы. Также рассмотрены аналогичные случаи для бюллетеней, в которые включена графа “против всех”. Доказано, что при количестве кандидатов большем четырех любая избирательная система, являющаяся бесповторным бинарным деревом, не удовлетворяет свойству единогласия. Получено описание нейтральных анонимных избирательных систем с количеством кандидатов большим двух, всегда дающих единственного победителя. Доказано, что любая неманипулируемая избирательная система является диктаторством.

Основные понятия

– множество избирателей

– множество кандидатов

Каждый избиратель упорядочивает список кандидатов (составляет бюллетень)

– профиль голосования (множество бюллетеней)

: – избирательная система, составляющая упорядоченное множество кандидатов по профилю голосования.

Свойства избирательных систем

1°. Анонимность. , где – перестановка

2°. Нейтральность. , где – перестановка

3°. Монотонность (для избирательных систем бинарного выбора). 2 списка решений избирателей , при ; , .

нестрогая: и . строгая: и .

4°. Независимость. На расположение в итоговом списке друг относительно друга кандидатов А и В влияет только их расположение в бюллетенях избирателей друг относительно друга.

5°. Единогласие. Если каждый избиратель поставил в своем бюллетене кандидата А выше кандидата В, то и в итоговом списке кандидат А будет стоять выше кандидата В.

Теорема Мэя

Теорема Мэя: все анонимные строго монотонные нейтральные избирательные системы бинарного выбора - это избирательная система, в которой в итоговый список попадает кандидат, набравший большее число голосов, или оба кандидата, если они набрали равное число голосов.

Теорема №1. Все анонимные монотонные нейтральные избирательные системы - это те и только те избирательные системы, которые заданы следующим образом: пусть существует целое неотрицательное число , где - общее количество избирателей. Тогда если за кандидата проголосовало избирателей, а за кандидата - , то кандидат будет в итоговом списке тогда и только тогда, когда , а кандидат будет в итоговом списке тогда и только тогда, когда .

       Доказательство. Так как избирательная система , вместо списка решений избирателей мы можем рассматривать просто2 числа и , где - число проголосовавших за , а - число проголосовавших за . Рассмотрим случай, когда . Тогда, поскольку избирательная система нейтральна, в этом случае . Рассмотрим такое проголосовавших за , при котором содержит , а при - нет. Обозначим это за . Тогда по условию монотонности, если за проголосовало менее чем избирателей, то в итоговом списке нет. По условию нейтральности получаем, что таково же условие попадания кандидата в итоговый список. Для того, чтобы избирательная система в любом случае создавала непустой список кандидатов, необходимо наложить ограничение . Таким образом каждая анонимная монотонная нейтральная избирательная система характеризуется одним числом . Произвольный кандидат попадает в итоговый список тогда и только тогда, когда количество проголосовавших за него избирателей . Теорема доказана.

Теорема №2 (Теорема Мэя). Все анонимные строго монотонные нейтральные избирательные системы - это такие и только такие избирательные системы, в которых в итоговый список попадает кандидат, набравший большее число голосов, или оба кандидата, если они набрали равное число голосов.

Доказательство. Так как избирательная система , вместо списка решений избирателей мы можем рассматривать просто2 числа и , где - число проголосовавших за , а - число проголосовавших за . Рассмотрим случай, когда . Тогда, поскольку избирательная система нейтральна, в этом случае . Прибавим к голосов, тогда по условию строгой монотонности . Аналогично, тогда и только тогда, когда . Таким образом анонимная строго монотонная нейтральная избирательная система , это такая избирательная система, в которой в итоговый список попадает кандидат, набравший большее число голосов, или оба кандидата, если они набрали равное число голосов. Теорема доказана.