Российский Университет Дружбы народов

Факультет физико-математических и естественных наук

  Кафедра нелинейного анализа и оптимизации

117198, Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, кк. 511-514,

КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН

учебных занятий по дисциплине по выбору «Комплексный анализ».


Направление подготовки «Математика, компьютерные науки»


I семестр

виды и содержание учебных занятий в I семестре:

Неделя

Лекции

Число часов

Практические занятия

Число часов

1

Комплексная плоскость. Комплексные числа и алгебраические действия над ними. Комплексная плоскость как геометрическая интерпретация множества комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Расширенная комплексная плоскость, стереографическая проекция. Топология на комплексной плоскости и на расширенной комплексной плоскости.

2

Решение задач по теме

"Комплексная плоскость".

2

2

Функции комплексного переменного. Понятие функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Свойства непрерывных функций. Кривые на комплексной плоскости.

2

Решение задач по теме "Функции комплексного переменного".

2

3

Дифференцирование функций комплексного переменного. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши – Римана. Формальные частные производные. Понятие голоморфности.

2

Решение задач по теме "Функции комплексного переменного".

2

4

Дифференцирование функций комплексного переменного. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении.

Примеры функций комплексного переменного. Степенная функция и её свойства. Корень, риманова поверхность для корня.

2

Решение задач по теме "Дифференцирование функций комплексного переменного".

2

5

Примеры функций комплексного переменного. Показательная функция и её свойства. Логарифм, риманова поверхность для логарифма. Общая степенная функция. Тригонометрические и гиперболические функции, их свойства.

2

Решение задач по теме "Интегрирование функций комплексного переменного".

2

6

Интегрирование функций комплексного переменного. Определение интеграла от функции комплексного переменного. Теорема существования и простейшие свойства интеграла. Первообразная функции комплексного переменного и её простейшие свойства.

2

Решение задач по теме "Разложение функций комплексного переменного в степенные ряды".

2

7

Интегрирование функций комплексного переменного. Необходимые и достаточные условия существование первообразной в произвольной области.

Интегральные теоремы Коши. Интегральная теорема Коши для односвязной области, Теорема о составном контуре.

2

Контрольная работа №1.

2

8

Интегральные теоремы Коши. Обобщённая теорема Коши для звёздной области. Интегральная формула Коши. Теорема о среднем.

Степенные ряды с комплексными членами. Простейшие свойства рядов с комплексными членами.

2

Решение задач по теме "Ряды Лорана"

2

9

Коллоквиум.

2

Решение задач по теме "Изолированные особые точки"

2

10

Степенные ряды с комплексными членами. Круг сходимости степенного ряда с комплексными членами. Теорема Коши – Адамара. Равномерная сходимость степенного ряда, непрерывность и голоморфность суммы.

2

Решение задач по теме "Изолированные особые точки"

2

11

Степенные ряды с комплексными членами. Теорема о разложении голоморфной функции в ряд Тейлора и следствия из неё. Разложение в степенные ряды основных элементарных функций и простейших многозначных функций.

2

Решение задач по теме "Нахождение вычетов".

2

12

Свойства голоморфных функций. Неравенство Коши, теорема Лиувилля, основная теорема алгебры. Теорема Мореры. Теорема Вейерштрасса о рядах из голоморфных функций. Эквивалентные определения голоморфности функции в точке.

2

Решение задач по темам "Нахождение вычетов".

2

13

Свойства голоморфных функций. Теорема единственности для голоморфных функций, изолированность нуля голоморфной функции. Теорема о порядке нуля голоморфной функции.

2

Решение задач по теме "Вычисление контурных интегралов".

2

14

Ряды Лорана, изолированные особые точки. Ряды Лорана и их свойства. Теорема о разложении в ряд Лорана функции, голоморфной в кольце. Классификация изолированных особых точек.

2

Решение задач по темам "Вычисление контурных интегралов".

2

15

Ряды Лорана, изолированные особые точки. Критерии существования устранимой особой точки, полюса и существенно особой точки. Порядок полюса, теорема о порядке полюса.

2

Решение задач по темам "Вычисление определённых и несобственных интегралов".

2

16

Ряды Лорана, изолированные особые точки. Теорема Сохоцкого.

Вычеты. Вычеты в конечных особых точках. Теорема о вычетах для ограниченной области. Формулы для нахождения вычетов в конечных особых точках.

2

Решение задач по темам

"Вычисление определённых и несобственных интегралов".

2

17

Гармонические и голоморфные функции. Гармонические функции на плоскости и их связь с голоморфными функциями.

2

Контрольная работа №2.

2

18

Обзорная лекция.

2

Консультации по подготовке к итоговому контролю знаний.

2

19 – 20

ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ – ЭКЗАМЕН


Заведующий кафедрой нелинейного анализа и оптимизации, проф. ______