Предисловие (стр. 5 )

       д) у = ;        к) у = .

§ 2. Геометрические приложения производной

       2.1. Теорема. Если кривая задана уравнением , то значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к кривой в точке :, где   ( рис.1).

Рис. 1.

       2.2. Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

или .

       2.3.Определение. Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к кривым в этой точке.

Угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами и находится по формуле:

,

причем знак “плюс” соответствует острому углу , а знак “минус”— тупо-

му.

       Если , то касательные — взаимно перпендикулярны, а кривые называются ортогональными.

       2.4. Пример. Найти  уравнение  касательной к графику функции , которая параллельна прямой . Сделать чертеж.

       Решение. График функции — парабола. Так как при , , то вершиной параболы является точка (2; –1). По условию, касательная к параболе и данная прямая с уравнением параллельны; значит их угловые коэффициенты равны: k1 = y′1 =

, , . Следовательно, x0 = 3 —  абсцисса точки касания параболы и прямой , — ее ордината. Таким образом, уравнение касательной имеет вид: (рис. 2).

Рис.2

  Задание  2.  Найти  уравнение  касательной  к  графику  функции

y = f ( x),  проходящей  параллельно  прямой.  Сделать  чертеж.

1.  y = x2 – 4x + 3,  y= – 4x – 4.        2.  y = x2 –5x + 4,  y = 3x + 1.

3.  y = x2 – 2x – 3,  y = 2x + 2.        4.  y = x2 – 6x + 8,  y = 2x + 3.

5.  y = – x2 – 2x + 3,  y = 2x + 1.        6.  y = x2 + 2x – 3,  y = 4x – 1.

7.  y = x2 + 8x – 9,  y = 2x + 1.        8.  y = x2 + x,  y = x – 3.

9.  y = x2 – 4x + 3,  y = 2x + 4.        10.  y = x2 – 6x + 8,  y = 4x + 1.

11. y = x2 – 2x – 3,  y = 4x –1.        12.  y = x2 + 8x – 9,  y = 4x.

13. y = x2 – 5x + 4,  y = x + 3.        14. y = – x2 – 2x +3, y = – 6x + 4. 

15. y = x2 – 4x + 3,  y = 4x + 4.        16.  y = x2 + 2x – 3,  y = – 4x + 2.

17. y = x2 – 6x + 8,  y = 6x + 1.        18.  y = x2 – 2x –3,  y = 6x + 3.

19. y = – x2 – 2x + 3,  y = – 2x – 2.        20.  y = x2 – 5x + 4,  y = – 3x – 1.

21. y = – x2 + 4x,  y = 2x.        22.  y = x2 + 8x – 9,  y = – 2x + 1.

23. y = x2 – 8x – 9,  y = – 6x.        24.  y = – x2 – 2x + 3,  y = 4x –3.

25.  y = x2 – 5x + 4,  y = – x – 2.        26.  y = x2 + 8x – 9,  y = 6x.

27.  y = x2 + 2x – 3,  y = 2x – 2.        28.  y = x2 – 6x + 8,  y = – 4x + 2.

29.  y = x2 – 4x + 3,  y = 6x – 6.        30. y = x2 – 2x – 3, y = – 4x +2.

§3. Дифференцирование функций, заданных параметрически

       3.1.  Если функция задана параметрически двумя уравнениями , , , то ее производные вычисляются по формулам:

,  .

       Примечание. Производные по аргументу иногда, следуя Исааку Ньютону, обозначают точками наверху:, , . В этих обозначениях формулы, по которым находятся производные параметрически заданной функции, принимают вид:

, .

       3.2.Пример 1. Найти и , если функция задана параметрически:

  .

       Решение. Последовательно находим производные: , ;  ,  ;

,  .

       3.3.Пример 2.Написать уравнение  касательной  к  кривой