Предисловие (стр. 1 )

Предисловие

       Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление,  приобрести навык решения стандартных задач.

       Рекомендуется перед выполнением индивидуальных заданий, ознакомиться с теорией и решением типовых примеров изложенных в данных методических указаниях.

§ 1. Определение производной. Дифференцирование функций

Производной  функции  у = f (x)  называется  предел  отноше-

ния  приращения  функции  к  соответствующему приращению аргумента,

когда приращение аргумента стремиться к нулю:

.

Если этот предел конечный, то производная существует и функция  f (x)  называется дифференцируемой  в точке x. Производная обозначается также у' (x) или Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.

Правила дифференцирования функций.  Пусть  С ∈ R — посто-

янная,  и = и (х),  v = v(x) — функции, имеющие производные.

С ' =0 .  2. (Си)' =С ∙ u' .

3.        (u ± v)' = и' ±  v'.  4.  (u ∙ v)’ =u’ ∙ v + u ∙ v’ .

  5. .

  6. Правило дифференцирования сложной функции.  Если  функция  y =

= f (u) дифференцируема по и, а функция и = ц (x) — по х, то сложная функция  y = f (ц (x)) имеет производную  y' =f ' (u) ∙ u' (x) .

Таблица производных элементарных функций

       1. .

       1а. .        1б. .

       2. .        2а. .

       3. .        3а. .

       4. cos u⋅ u′.        5. .

       6. .        7. (ctg u).

       8. .        9. .

       10. .        11. .

       12. (вывод этой формулы см. в п. 1.6).

       1.4.         Производные второго порядка. Производной второго порядка (второй производной ) от функции называется производная от ее производной, т. е.

.

Вторую производную также обозначают или . Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и т. д. Производную n-го порядка обозначают или  .

1.5.  Примеры. Используя  правила  дифференцирования  и таблицу производ-

ных, найдем производные следующих функций: 

1),  2) ,  3) ,  4) , 

5) ,  6) ,  7) .

       Решение.1) Перепишем данную функцию, записав слагаемые в виде степени: .  Тогда 

.

       2) Записываем данную функцию в виде степени: и вычисляем:

.

       3) Применив формулу 4  п. 1.2  правил дифференцирования, находим:

.

       4) Дифференцируя функцию как сложную, находим производную:

.

       5) В соответствии с формулой 5 п. 1.2 получаем:

.

       6) По аналогии с примером 3 находим:

.

       7) Так как данная функция — показательная, то  согласно формуле 2 п.1.3,

       1.6. Степенно–показательная функция. Выведем формулу для производной степенно–показательной функции , считая что и дифференцируемые функции и .

       Решение. Логарифмируя равенство и дифференцируя обе части полученного равенства , находим: . Следовательно,. Таким образом, получили .

       Замечание. Степенно–показательная  функция  дифференцируется  как  степенная плюс как показательная. Например, производная функции , где  х>0,  равна

.

         Задание 1. Найти первые производные функций. В заданиях  а) и б) дополнительно найти вторые производные.

1.        а) у = 3х 5 – ;        е) у = ln tg(2x+1);

       б) у = ;        ж) у = ;

       в) у = (х + 1)2 ⋅ cos5x;        з) у = 23х + 7х 7  + ;

       г) у = arctg(е2x + 3);        и) у = ;

       д) у = ;        к) у = х arcsin x.