в точке  t0 = .

        Р е ш е н и е. Уравнение касательной ищем в виде:  у – у0= k ( x – x0 ),

где  x0 = t0 cos t0 – 2sin t0 = –­­ 2;  у0 = t0 sin t0 + 2 cos t0= . Найдем  k = =  при  t = t0. Так  как = cos t – t sin t – 2 cos t = t sin t cos t, =sin t + t cos t–

–2sin t= t cos t –  sin t,  то  ,  поэтомy  k = =   при  t =   и  уравнение касательной имеет вид:

  у.

Задание 3. Для функций, заданных параметрически, найти  и .


       11.        21.
       12.        22.
       13.        23.
       14.        24.
       15.        25.
       16.        26.
       17.        27.
       18.        28.
       19.        29.
       20.        30.

§4. Дифференцирование неявных функций

       4.1. Говорят, что уравнение задает неявно функцию , на интервале , если для всех выполняется равенство F ( x; y (x)) = 0.

       Для вычисления производной функции следует продифференцировать по тождество ,  помня,  что есть функция от x,  а затем полученное уравнение разрешить относительно .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

       4.2.Пример 1. Найти значение в точке для функции, заданной неявно уравнением .

       Решение. Дифференцируя по x обе части данного уравнения и считая  при  этом  функцией  от x, получаем:

,

откуда 

.

Полагая x = 1,  y = –1,  находим  .

       4.3.Пример 2. Найти величину угла между касательными,  проведенными  в  точках  пересечения кривой  x2 + y2 – 4 x + 4 y + 3 = 0  с осью Ox. Сделать чертеж.

       Р е ш е н и е. Поступая по аналогии с предыдущим примером, находим:

y' =  (*)

  Точки пересечения данной кривой с прямой  y = 0  являются решениями следующей системы:

Таких точек две:  А(1;0)  и  В(3;0). Полагая  x =1,  y =0,  находим согласно (*) угловой  коэффициент  k1  касательной  к  данной кривой в точке А: 

k1 = у' (А ) = =.

Аналогично  находим  угловой  коэффициент  k2  касательной  в точке  В:

k 2 = у' (В ) = .  Угол и  удовлетворяет равенству , значит

  tg и = ,  откуда и = arctg (–) ≈ 126055'.

       Прежде чем сделать чертеж, преобразуем данное уравнение в уравнение  (х – 2) 2 + (у + 2) 2 = 5, которое определяет окружность с центром О'(2;2) и радиусом R= ( рис.3).

Рис.3

  Задание  4.  Найти  значение  в  точке  М(x0,y0)  для  функций,  заданных  неявно.

1.  x3 – 2x2 y2  + 5x + y – 5 = 0,        M (1; 1).

2.  x2 + 2xy2  + 3y4 – 6 = 0,        M (1; –1).

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8