ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ «КОЛЛЕДЖ «ПОДМОСКОВЬЕ»
(ГБПОУ МО «КОЛЛЕДЖ «ПОДМОСКОВЬЕ»)
Методическая разработка по дисциплине
«Математика»
Тема: «Множества и операции над ними»
Выполнил
Преподаватель:
г. Клин
2016 г.
Содержание
§1. Множество и его элементы. Подмножества стр. 3 - 6
§2. Операции над множествами стр. 6 – 12
п.2.1. Объединение множеств стр. 7 – 8
п.2.2. Пересечение множеств стр. 8 – 10
п.2.3. Вычитание множеств. Дополнение до множества стр. 10 – 11
п.2.4. Свойства операций над множествами стр. 11 – 12
п.2.5. Упорядоченные множества стр. 12 - 13
§3. Свойство операций над множествами стр. 13 – 17
п.3.1. Прямое произведение двух множеств стр. 13 – 15
п.3.2. Свойства бинарных отношений стр. 15 – 16
п.3.3. Эквивалентные множества стр. 13 – 17
Ответы стр. 18
Множества и операции над ними.
§ 1. Множество и его элементы. Подмножества.
В тех случаях, когда невозможно дать четкое определение какому-либо предмету или явлению, люди пользуются понятиями. Основные понятия не определяются.
Понятие множества относится к числу неопределяемых математических понятий и может быть разъяснено только на примерах. Так, можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку (конечное множество), множество точек данной окружности (бесконечное множество), множество решений данного уравнения. Множество может быть конечным, бесконечным и даже пустым. Например, множество решений уравнения x2 – 8x + 15 = 0 - конечное, множество решений уравнения sin x = 0 – бесконечное.
Введем понятие множества.
Множество представляет собой соединение, совокупность, собрание некоторых предметов (элементов) объединенных по какому-либо признаку.
Множеством называют совокупность объектов, объединенных по определенному признаку.
Если есть такая совокупность, разумеется, как единое целое, то говорят что имеют дело с множеством. Приведенное определение не может рассматриваться как математически строгое, поскольку понятие множества является исходным, на основе него строятся остальные понятия математики. Тем не менее, из приведенного определения ясно, как можно говорить о множестве, например, действительных чисел или множестве плоских фигур.
Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т. п.
Если множество состоит из конечного числа элементов, оно называется конечным, остальные множества называются бесконечными.
Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами (например, буква «к» - элемент множества букв русского алфавита).
Для названия множества иногда используют какое-либо одно слово, являющееся синонимом слова «множество» (зрители, стая, семья, звено, фрукты).
Для обозначения и записи множеств используются заглавные буквы латинского алфавита A, B, C, … или символическая запись (со скобками).
Элементы множества обычно обозначают малыми буквами латинского или греческого алфавита или конкретным знаком (рисунком). Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.
Например, A = {a, b, c, d}, {б, в,г}, M = {□;∆;○}.
Примечание. Элементы в множество входят по одному разу, т. е. без повторений.
Запись a ϵ A означает, что элемент a принадлежит множеству A. Непринадлежность элемента b к множеству N обозначается b ∉ N (читается «b не принадлежит N»). Например, если N – множество натуральных чисел, то 2 ϵ N, 0 ∉ N.
Множество считается заданным (известным), если перечислены все его элементы или указано свойство его элементов, которое позволяет судить о том, принадлежит данный элемент множеству или нет. Такое свойство называется характеристическим для рассматриваемого множества.
Способы задания множеств:
▶ Перечислением всех объектов, входящих в множество. Таким способом можно задать лишь конечные множества.
Конечное множество можно задать списком его элементов (например, множество учеников в классе задается их списком в классном журнале). Два списка элементов одного и того же множества Х могут отличаться друг от друга лишь порядком его элементов. Например, {1 ,2, 3} и {3, 1, 2} – списки одного и того множества {1, 2, 3} = {3, 1, 2}.
Или, например, множество натуральных чисел делителей числа 6: N = {1, 2, 3, 6}.
▶ Описанием характеристических свойств, которыми обладают все элементы множества.
Например, говоря о множестве М всех четных чисел, мы указываем характеристическое свойство его элементов: каждое число, принадлежащее этому множеству, делится нацело на два. Это записывается так: М = {x ϵ N | x ⋮ 2}.
Здесь фигурные скобки указывают наличие множества; знак | (вертикальная палочка) заменяет слова «таких, что» (или «такие, что»); знак « ⋮ » читается как «делится нацело»;
Знак « ϵ » - принадлежит; буквой N обозначено множество натуральных чисел.
Буквальное чтение этой записи таково: «Множество М – это множество натуральных чисел x таких, что каждое из них делится нацело на 2», или: «М – множество четных натуральных чисел».
Приведем еще примеры множеств, встречающихся в школьном курсе математики:
N = {1, 2, 3, … , n } – множество всех натуральных чисел.
Z = {0, ∓1, ∓2, ∓3, … , ∓n} – множество целых чисел.
Q = { 
| m ϵ Z, n ϵ N} – множество рациональных чисел.
R – множество всех действительных чисел.
Множество (- ∞; + ∞) называется числовой прямой.
L = { (x, y) | (x, y) ϵ R, ax + by = c } –прямая линия,
M = { (x, y) | (x, y) ϵ R, ax + by ≤ c } - полуплоскость, содержащая начало координат, если c ≥ 0.
Пример 1.1.
Задать различными способами множество N всех натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, …
Решение:
Перечислением множество N задать нельзя, так как оно бесконечно. Множество можно задать описанием характеристического свойства элементов множества:
N = { x | x – целое положительное число}.
Пример 1.2.
Оценить корректность определения множества A: A = {1, 2, 3, 3, 4}.
Решение:
При перечислении элементов множества не следует указывать один и тот же элемент несколько раз. Корректное определение: A = {1, 2, 3, 4}.
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Если множества А и В равны, то пишут А = В.
И так, множества A и B равны, если любой элемент множества A является элементом множества B и любой элемент множества B является элементом множества A.
Если любой элемент множества В является и элементом множества А, то множество В называется подмножеством (частью) множества А. В этом случае говорят, что В содержится в А или А содержит В, и пишут В⊂ А или А ⊃ В.
В силу этого определения, любое множество является подмножеством самого себя.
Для удобства рассматривают и множество, которое не содержит ни одного элемента.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают символом Ш.
По определению, пустое множество является подмножеством любого множества.
Таким образом, у любого множества A всегда имеется два очевидных подмножества A и Ш. Эти подмножества называются несобственными подмножествами множества A.
Любое подмножество B множества A, отличное от Ш и A называется собственным подмножеством или правильной частью множества A.
Например, множество квадратов является подмножеством ромбов, а множество ромбов - подмножеством множества параллелограммов.
Множество натуральных чисел, делящихся на 10, является подмножеством множества четных натуральных чисел.
Пример 1.3. Пусть A = {1; 2; 3}. Найти подмножества множества A.
Решение.
Множества {1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}, Ш и {1; 2; 3} являются подмножествами множества А.
Причем множества {1}, {2}, {3}, {1;2}, {1;3}, {2;3} являются собственными подмножествами множества A, а множества Ш и {1; 2; 3} являются несобственными подмножествами множества A.
Примеры для самостоятельного решения:
1.4. Прочитайте следующие записи:
a ϵ A, a ∉ A, C ⊂ D, Ш ⊂ A, A = B.
1.5. Запишите множество A, элементы которого являются делителями числа 24.
1.6. Опишите множество точек M (x; y) плоскости, для которых:
а) y ≤ 3;
б) (x – 2)2 + (y + 1)2 ≤ 9.
1.7. Множество А содержит 4 элемента. Сколько подмножеств содержится в данном множестве?
§ 2. Операции над множествами.
Над множествами определяют операции, во многом сходные с арифметическими. Рассмотрим понятие таких операций только над двумя множествами A и B, которые являются разнообразными подмножествами одного и того же множества U. Последнее назовем универсальным множеством.
Для наглядного представления операций над множествами применяют своего рода диаграммы. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов Эйлера, представляющих множества.
В место кругов Эйлера определенные множества изображают любые другие замкнутые фигуры, и такую иллюстрацию называют диаграммами Венна.
Для рассуждений, связанных с множествами, будем использовать язык диаграмм Эйлера-Венна.
Область, представляющую то подмножество, которое нас интересует, отметим штрихами. На рисунке 1 (а) - диаграмма соответствует универсальному множеству U;
на рис. 1 (б) – пустому подмножеству множества U; на рис. 1 (в) – произвольному подмножеству A.
U Ш A
a) б) в)
Рис. 1.
п. 2.1. Объединение множеств.
Определение: Объединением (суммой) двух множеств A и B называется множество C, которое состоит из всех элементов множеств A и B и только из них.
Если множества A и B имеют общие элементы, то каждый из этих общих элементов берется в множестве C только один раз.
Обозначается C = A ∪ U
Рис. 2
На рис.2 вся заштрихованная область представляет собой множество C.
Пример 2.1. Дано: A = {1; 2; 3} и B = {4; 5}.
Найдите A∪ B.
Решение: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5}.
Пример 2.2. Даны отрезки [AB] [CD]. Найдите [AB] ∪ [CD].
•------------------------•-------------------------------------•--------------•
A C B D
Рис. 3.
Решение: [AB] ∪ [CD] = [AD].
Пример 2.3. Дано: A = {-4; -3; -2; -1; 0} и B = {2; 3; 4}.
Найдите A ∪ B.
Решение: A ∪ B = {-4; -3; -2; -1; 0; 2; 3; 4}.
Примечание: Если множества A и B не имеют общих элементов, причем множество A содержит a элементов, а в множестве B содержится b элементов, то в множестве C содержится a + b элементов.
п. 2.2. Пересечение множеств.
Определение. Пересечением двух множеств A и B называется множество C состоящее из элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В одновременно.
Обозначается: C = A ∩ B или C = {x | x ϵ A и x ϵ B }
C = A ∩ B
Рис. 4
На рис. 4 заштрихованная область представляет собой множество C.
Пример 2.4. Рассмотрим множество натуральных чисел, кратных числу 2, и множество натуральных чисел кратных числу 3. Нетрудно заметить, что множество чисел кратных числу 6, состоит из элементов, которые входят в каждое из двух рассмотренных множеств.
Для точечных множеств (например, геометрических фигур) смысл термина «пересечение множеств» соответствует привычному для нас смыслу термина «пересечение фигур».
Так, например, если прямая имеет две точки пересечения с некоторой окружностью, то множество, являющееся пересечением множеств точек окружности и прямой, состоит из двух элементов (точек).
Пересечение множеств точек отрезков [AB] и [CD] (рис.3) есть отрезок [CB].
Два множества, пересечение которых является пустым множеством, называются непересекающимися множествами.
Пример 2.5. Даны множества:
A – множество делителей числа 15;
B – множество корней квадратного уравнения x2 – 8x + 15 = 0.
Найдите: A∪ B, A∩ B.
Решение: Множество делителей числа 15, множество A = {1; 3; 5; 15}
Множество B = {3; 5}.
A ∪ B = {1; 3; 5; 15}, A ∩ B = {3; 5}.
Пример 2.6. Даны множества: A = [-2, 1] и B = [0, 3].
Найдите: A∪B, A∩ B.
Решение: A∪ B = [-2, 3]
A∩ B = [0, 1].
Пример 2.7. Даны множества: C = {1; 2; 3} и D = {6; 7}
Найдите: C∪ D, C∩ D.
Решение: C∪ D = {1; 2; 3; 6; 7}
C∩ D = Ш.
Операции объединения и пересечения можно распространить и на число множеств, большее двух.
Пример 2.8. Даны множества: A = {a, b, c, d}, B = {a, c, m, n}, C = {b, c, k, l}.
Найдите: A∩ B ∩ C.
Решение: A ∩ B ∩ C = {c} ( множество A ∩ B ∩ C содержит один элемент c ).
Пример 2.9. Даны множества: A= {a, b, c}, B = {b, c, d}, C = {a, m, n}.
Найдите: A ∪ B ∪ C.
Решение. A ∪ B ∪ C = {a, b, c, d, m, n}.
п. 2. 3. Вычитание множеств. Дополнение до множества.
Пусть даны два множества A и B. Множество C, которое состоит из всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B, называется разностью множеств A и B и обозначается A \ B: C = A \ B или C = {x | x ϵ A, x ∉ B}.
C=A \ B Рис. 5 Рис.6. C=B \ A
Пример 2.10.
а) если A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2}, то A \ B = {3; 4};
б) если A = {1; 2; 3}, B = {3; 4; 5; 6}, то A \ B = {1; 2};
в) если A = {1; 2; 5}, B = {3; 4}, то A \ B = {1; 2; 5};
г) если A = {1; 2}, B = {1; 2; 3}, то A \ B = Ш.
Если A⊃ B, то разность A \ B называется дополнением множества B до множества A.
Отметим, что результат операции «дополнение» существенно зависит от того множества, до которого «дополняется» данное множество.
Например, дополнением множества целых чисел до множества рациональных чисел является множество всех дробных чисел; если же рассматривать дополнение целых чисел до множества действительных чисел, то дополнением этого множества будет множество всех дробных и всех иррациональных чисел.
В частном случае, если множество B есть подмножество множества А, то разность
А \ В называется дополнением множества В до множества А и обозначается символом В.
См. рис. 7
Пример 2.11. Пусть даны множества A = {1, 2, 3, 4} и B = {1, 2}, то множество
B = {3, 4} – есть дополнение множества B до множества A.
Рис. 7. Рис. 8.
Пусть U - универсальное множество такое, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.
Дополнением (до U) множества A называется множество В всех элементов, не принадлежащих A, но принадлежащих универсальному множеству U (рис. 8)
В = U \ A.
п. 2. 4. Свойства операций над множествами.
Операции, над множествами обладают свойствами, которые отчасти напоминают свойства действий над числами, а отчасти отличны от этих свойств.
1. Закон идемпотентности для объединения и пересечения множеств:
A ∪ A = A, A ∩ A = A.
2. Закон коммутативности:
A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A.
( аналог тождеств a + b = b + a и ab = ba )
3. Закон ассоциативности:
A ∪ ( B ∪ C ) = ( A∪ B ) ∪ C, A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C.
( аналог тождеств a + ( b + c ) = ( a + b ) + c и a ( b c ) = ( a b ) c ).
4. Законы дистрибутивности:
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ),
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ).
5. Законы поглощения:
A ∪ ( A ∩ B ) = A, A ∩ ( A ∪ B ) = A.
6. Законы, описывающие свойства пустого и универсального множеств по отношению к объединению и пересечению:
A ∪ Ш = A, A ∩ Ш = A, A ∪ U = U, A ∩ U = A.
7. Законы дополнения:
A ∪ В = U, A ∩ В = Ш.
8. Закон инволютивности дополнения: В = A.
9. Закон Де Моргана: A ∪ B = В ∩ B, A ∩ B = В ∪ B.
Истинность каждого тождества проще всего проверяется построением диаграмм Эйлера – Венна отдельно для левой и правой частей, с последующим сравнением результатов.
п. 2. 5. Упорядоченные множества.
Определение: Множество, состоящее из двух элементов, в котором определен порядок следования его элементов, называется упорядоченной парой.
Для записи упорядоченной пары используются круглые скобки. Так запись ( a; b ) означает двухэлементное множество, в котором элемент a считается первым, а элемент b – вторым.
Из определения упорядоченной пары следует, что пары (a; b) и (b; a) являются различными, в то время как множества {a, b} и {b, a} суть одно и то же множество.
Две пары (a; b) и (c; d) считаются равными тогда и только тогда, когда a = c и b = d.
По аналогии с упорядоченной парой можно определять и понятия упорядоченной тройки, четверки и, вообще упорядоченной n - ки.
Первый элемент упорядоченной n - ки называется первой координатой, второй элемент – второй координатой и т. д. Иногда координаты n - ки называют проекциями:
Примеры для самостоятельного решения:
2. 12. Даны множества: A = {0, 1, 2, 3}, B = {-1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Найдите множества: A ∪ B, A ∩ B, A \ B, В – дополнение множества A до множества B.
2. 13. Даны множества: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 2, 4, 6, 8}, C = { -1, 0, 3, 4, 7, 8}.
Найдите множества: а) A ∩ B; б) A ∪ C; в) A ∩ B ∩ C;
г) A ∪ B ∪ C; д) (A ∪ B ) ∩ C; е) A ∪ ( B ∩ C ).
2. 14. Найдите разность множеств A = {2n – 1, n ϵ N} и B = {4m + 1, m ϵ N}.
2. 15. Даны множества A = {a, b, c}, B = {c, d, e, f}, U = {a, b, c, d, e, f}.
Осуществить над множествами операции: а) объединения, б) пересечения,
в) разности, г) дополнения.
§ 3. Отношения.
В математике для обозначения какой-либо связи между предметами или понятиями часто пользуются термином «отношение». Например «5 меньше, чем 12», « прямая а параллельна прямой b», «-3 не больше чем 0». Для большинства таких отношений используются специальные знаки. Например, для отношения перпендикулярности используется знак ⊥. Так, запись a⊥b означает, что прямая a перпендикулярна прямой b.
Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множества.
Наиболее изученными являются унарные и бинарные отношения.
Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого-то определенного свойства R у элемента множества M, которые обладают свойством R. Например, множество M – это компания друзей: M = {Юрий, Инна, Игорь, Лена, Ирина}.Если свойство R «быть девушкой», то унарное отношение R = {Инна, Лена, Ирина}.
Бинарные (двухместные) отношения используются для определения взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов множества M. Тогда все пары (a, b) элементов множества M, между которыми существует отношение R, образуют подмножество из множества всех возможных пар элементов M ⅹ M = M2, называемое бинарным отношением R: (a, b) ϵ R; R⊂ M ⅹ M.
п.3.1. Прямое произведение двух множеств.
Определение: Множество упорядоченных пар элементов, из которых первый принадлежит множеству A, а второй – множеству B, называется декартовым (или прямым) произведением множеств A и B и обозначается A ⅹ B.
Пример 3.1. Пусть A = {a, b, c, d} и B = {k, l}.
Найти произведение A ⅹ B.
Решение. По определению AⅹB = {(a; k), (b; k), (c; k), (d; k), (a; l), (b; l), (c; l), (d; l)}.
Пример 3.2. Пусть A = {2; 5; 7; 9}, B = {2; 4; 7}.
Найти произведение A ⅹ B.
Решение. A ⅹ B = {(2; 2), (2; 4), (2; 7), (5; 2), (5; 4), (5; 7), (7; 2), (7; 4), (7; 7), (9; 2), (9; 4), (9; 7)}.
Может случиться, что множества A и B будут одинаковы. Тогда их прямое произведение называют декартовым квадратом и обозначают AⅹA = A2.
Бинарные отношения могут быть заданы любыми способами задания множеств. На конечных множествах бинарные отношения обычно задаются:
1. Перечислением пар, для которых это отношение выполняется.
Например, для множества M = {1, 2, 3, 4} бинарное отношение R ⊂ M ⅹ M, если R означает «быть больше» имеет вид: R = {(a, b) | a, b ϵ M, a > b}.
R = {(4, 3), (4, 2), (4, 1), (3, 2), (3, 1), (2, 1)} ( в каждой паре первый элемент больше второго).
2. Матрицей – бинарному отношению R ⊂ MⅹM, где M = {a1, a2, a3, … an} соответствует квадратная матрица порядка n, в которой элемент xij, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца равен 1, если между ai и aj существует бинарное отношение R, или 0, если такового отношения нет.
xij = 
если ai R aj
0, в противном случае.
Составим, например, матрицу отношения R = M ⅹ M, если M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и R означает «быть строго меньше».
Т. е. R = {(a, b) | a, b ϵ M, a < b}.
На пересечении первой строки и первого столбца ставим 0, т. к. ai = 1, aj = 1, и условие ai < aj не выполняется. Элемент x12 = 1 (на пересечении 1-й строки и 2-го столбца), т. к.
ai = 1, aj = 2 и неравенство ai < aj, оказалось верным. Элемент x13 также равен 1, поскольку для всей первой строки ai = 1, а для третьего столбца aj = 3 и условие бинарного отношения ai < aj выполняется. Рассуждая аналогично, получаем матрицу бинарного отношения:
aj
ai 1 2 3 4 5 6
1 0 1 1 1 1 1
2 0 0 1 1 1 1
3 0 0 0 1 1 1
4 0 0 0 0 1 1
5 0 0 0 0 0 1
6 0 0 0 0 0 0
3. Графически – в координатной плоскости построим все точки, координатами которых служат пары чисел, принадлежащие множеству R.
Определение. Множество точек координатной плоскости, координаты которых образуют упорядоченные пары, принадлежащие данному отношению, называется графиком этого отношения.
Пример 3.3. Пусть A = {1, 2, 3} и B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Найдите отношение R такое, что x ϵ A есть делитель элемента y ϵ B. Построить график этого отношения.
Решение. Составим произведение множества A на множество B:
A ⅹ B = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6),
(3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6)}. Для составления отношения R выберем из множества A ⅹ B те элементы (упорядоченные пары), у которых первое число является делителем второго. Получим:
R = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 2), (2; 4), (2; 6), (3; 3), (3; 6)}.
В координатной плоскости построим все точки, координатами которых служат пары чисел, принадлежащие множеству R. График отношения изображен на рис. 9.
3 • • •
2 • • • •
1 • • • • • •
0
1 2 3 4 5 6
Рис. 9
п. 3.2. Свойства бинарных отношений.
1. Рефлексивность. Бинарное отношение R рефлексивно, если для любого элемента
a ϵ M данное бинарное отношение выполняется, т. е. aRa.
Так, отношение «жить в одном городе» рефлексивно; отношение «равенство чисел» - рефлексивно, а вот «отношение перпендикулярности» не рефлексивно, так как прямая не перпендикулярна сама себе.
Матрица рефлексивного бинарного отношения на главной диагонали содержит только единицы, т. к. отношение выполняется для всех пар (а, а), а им соответствуют элементы главной диагонали.
2. Антирефлексивность. Бинарное отношение R антирефлексивно, если для каждого элемента a ϵ M не выполняется бинарное отношение aRa.
Например, отношение «быть сыном» - антирефлексивно, т. к. ни для каких a не выполняется a – сын a. Из определения антирефлексивности бинарного отношения следует, что его матрица на главной диагонали содержит только нули.
3. Симметричность. Отношение R симметрично, если для любой пары (a, b) ϵ M ⅹ M бинарное отношение выполняется в обе стороны: из aRb следует bRa.
Например, отношение «параллельность» симметрично, так как если a∥b, то b∥ a. Симметричным является и отношение перпендикулярности. Отношение « меньше» не является симметричным, так как из того что 5 > 3 не следует, что 3 > 5. Учитывая, что отношение R для любой пары выполняется в обе стороны, либо не выполняется вообще (xij = xji), матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.
4. Антисимметричность. Бинарное отношение R антисимметрично, если ни для каких различающихся элементов a и b (a ≠b) не выполняется одновременно aRb и bRa.
Например, отношение «быть начальником» антисимметрично. Пара (Рыжков, Зуев) означает «Рыжков – начальник Зуева». Наоборот (Зуев, Рыжков) не является бинарным отношением «быть начальником». В матрице антисимметричного бинарного отношения отсутствуют единицы, симметричные относительно главной диагонали.
5. Транзитивность. Бинарное отношение R транзитивно, если для любых элементов a, b, c из того, что aRb и bRc следует aRc.
Например, отношение «быть братом» транзитивно. Действительно, пара (Петр, Василий) – «Петр – брат Василия» и пара (Василий, Иван) - «Василий – брат Ивана» делают справедливым отношение (Петр, Иван) – « Петр – брат Ивана».
6. Отношением эквивалентности (эквивалентностью) называют бинарное отношение, если оно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
п. 3.3. Эквивалентные множества.
Множества могут состоять из элементов любой природы и поэтому обладать самыми различными свойствами. Сравнение множеств между собой можно осуществить различными способами, смотря по тому, какие свойства множеств нас интересуют. Так, например, множества геометрических фигур можно сравнивать между собой по форме их элементов (треугольники, квадраты), множества цветов – по их расцветке (красные, белые).
Среди различных свойств множеств особую роль играет свойство «содержать поровну элементов», которое устанавливается посредством операции «отображение одного множества на другое» или установления парного соответствия между их элементами. Так, говорят, что между множествами A и B установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества A соответствует (поставлен в пару с ним) единственный элемент множества B и, обратно, каждому элементу множества B соответствует единственный элемент множества A, причем различным элементам одного множества соответствуют различные элементы другого множества. (рис. 10)
Рис. 10. Рис. 11.
Отметим, что заключительная часть данного определения существенна, так как если эту часть определения опустить, то соответствие может и не быть взаимно однозначным ( см. рис. 11).
Множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называют равносильными или эквивалентными.
Если множества A и B эквивалентны, то пишут A ∼ B.
Очевидно, если A∼ B и B∼C, то A∼C.
Множество A называется конечным, если существует такое натуральное число n, что множество A эквивалентно множеству {1; 2; 3; …; n}.
В этом случае говорят, что множество A содержит n элементов.
1) установить непосредственно взаимно однозначное соответствие между их элементами;
2) пересчитать элементы множеств и сравнить число элементов в каждом из них.
Хотя первый способ часто применяется на практике (например, в работе контролера, проверяющего билеты), второй способ более эффективен, так как, помимо установления равносильности множеств, дает возможность установить, сколько элементов в каждом из них.
Пример 3.4. Даны множества A = {-4, -1, 7, 8} и B = {-8, 0, 9}.
Составьте отношения:
а) a + b > 0; б) ab > 0; в) a – b < 0, где a ϵ A, b ϵ B.
Постройте графики этих отношений.
Пример 3.5. Постройте графики отношений, заданных множеством пар:
а) {(x; y): -2 ≤ x ≤ 6, y = 2}, x, y ϵ Z;
б) {(x; y): x = -2, -1 ≤ y ≤ 5}, x, y ϵ Z;
в) {(x; y): 3 ≤ x ≤ 7, -2 ≤ y ≤ 5}, x, y ϵ Z.
Ответы:
№ 1.5. A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
№ 1.6. а) полуплоскость ниже прямой y = 3;
б) множество точек круга с центром в точке O1 (2; -1) и радиусом R = 3.
№ 1.7. 16
№ 2.12. A ∪ B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A ∩ B = {2, 3}, A \ B = {0, 1},
Дополнение A до B обозначается В = B \ A и В = {-1 , 4, 5, 6}.
№ 2.13. а) A ∩ B = {1; 2; 4; 6}, б) A ∪ C = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8},
в) A∩ B ∩ C = {4}, г) A ∪ B ∪ C = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8},
д) (A ∪ B ) ∩ C = {0; 3; 4}, е) A ∪ (B ∩ C) = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8}.
№ 2.14. A \ B = {1, 3}.
№ 2.15. а) A∪ B = {a, b, c, d, e, f}; б) A ∩ B = {c}; в) A \ B = {a, b}; B \ A = {d, e, f}
г) дополнение В содержит только те элементы множества U которые не принадлежат A; В = U \ A = {d, e, f};
Аналогично B = U \ B = {a, b}.
Используемая литература.
1. Математика для СПО, учебник, М.: ФОРУМ – ИНФРА – М,
2012 г.
2. , Математика для СПО, учебное пособие, М.: Феникс, 2014 г.
3. , и др. под редакцией
Математика для техникумов, учебник, М.: Наука, 2013 г.
