Задания для олимпиады педагогов 

общеобразовательных организаций  Калужской области

(математика)

2015 год

Задание 1

Чтобы по­сту­пить в ин­сти­тут на спе­ци­аль­ность «Линг­ви­сти­ка», аби­ту­ри­ент дол­жен на­брать на ЕГЭ не менее 69 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и ино­стран­ный язык. Чтобы по­сту­пить на спе­ци­аль­ность «Ком­мер­ция», нужно на­брать не менее 69 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и об­ще­ст­во­зна­ние. Ве­ро­ят­ность того, что аби­ту­ри­ент А. по­лу­чит не менее 69 бал­лов по ма­те­ма­ти­ке, равна 0,6, по рус­ско­му языку — 0,6, по ино­стран­но­му языку — 0,6 и по об­ще­ст­во­зна­нию — 0,9. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что А. смо­жет по­сту­пить на одну из двух упо­мя­ну­тых спе­ци­аль­но­стей.

Задание 2

В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялись следующие условия: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня (деревья можно считать достаточно тонкими)?


Задание 3

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Сме­шав 30-про­цент­ный и 60-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 36-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 41-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 30-про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Задание 4

Ав­то­бус­ные би­ле­ты имеют но­ме­ра от 000000 до 999999. Билет на­зы­ва­ет­ся счаст­ли­вым, если сумма пер­вых трех цифр его но­ме­ра равна сумме по­след­них трех его цифр. До­ка­жи­те, что:

а) число всех счаст­ли­вых би­ле­тов четно;

б) сумма но­ме­ров всех счаст­ли­вых би­ле­тов де­лит­ся на 999.

Задание 5

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы MNKM1N1K1 яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник MNK, у ко­то­ро­го угол N равен 90°, угол M равен 60°, NK = 18. Диа­го­наль бо­ко­вой грани M1N со­став­ля­ют угол 30° с плос­ко­стью MM1K1. Най­ди­те вы­со­ту приз­мы.

Задание 6

Рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей ра­ди­у­сов 1 и 9 равно 17. Обе окруж­но­сти лежат по одну сто­ро­ну от общей ка­са­тель­ной. Тре­тья окруж­ность ка­са­ет­ся обеих окруж­но­стей и их общей ка­са­тель­ной. Най­ди­те ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти.

Задание 7

Точка — се­ре­ди­на сто­ро­ны ос­но­ва­ния   пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы Бо­ко­вое ребро приз­мы равно   а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 12. Най­ди­те синус угла между пря­мой и плос­ко­стью бо­ко­вой грани

Задание 8

а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Задание 9

Решить уравнение:

Задание 10

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств: