Физика звуков Короткова1
ФГОУ ВПО Российская академия народного хозяйства
и государственной службы при Президенте РФ,
Поволжский институт управления им. , г. Саратов.
Аннотация. Рассмотрена математическая модель образования т. н. звуков Короткова, сопровождающих процесс измерения артериального давления. В основе модели лежит уравнение, полученное из уравнений Навье-Стокса методом многомасштабных разложений. Исследовано его решение в виде ударной волны с возмущенным фронтом. Найдено уравнение для частоты колебаний фронта ударной волны.
Ключевые слова: кровоток, артериальное давление, звуки Короткова, ударная волна.
Введение.
Звуки Короткова (ЗК) сопровождают процесс измерения артериального давления (АД) с помощью тонометра. Считается, что полное физическое описание их механизма отсутствует, хотя в принципе механизм довольно понятен и обусловлен резкими толчками кровотока при изменении сдавливающего усилия в манжете тонометра [1]. Построение математической модели явления должно учитывать, по меньшей мере, два фактора – нелинейность потока и дифракционные явления, связанные с наличием стенок сосуда. Неньютоновый характер крови обычно не учитывается [2].
Существует множество математических моделей ЗК. Как сказано в лекции А. Цатуряна [3] “Придумывать теории тонов Короткова почти так же популярно, как доказывать теорему Ферма.” Автор не ставил перед собой цель дать сравнительный обзор всех направлений исследований ЗК. Вместо этого, рассматриваются лишь два наиболее известных:
Биофизический подход в рамках обоих этих направлений представлен в работах [1 – 9]. Обращает на себя внимание то, что достижения гидродинамики в этой области авторами используются не в достаточной степени2. В отличие от упомянутых работ, автор в работах [10 - 14] развивает физический подход к рассматриваемым вопросам.
В работах [10] на основе уравнений Навье-Стокса для вязкой жидкости, дополненных уравнением состояния, связывающим давление и плотность жидкости с учетом нелинейных членов методом многомасштабной теории возмущений получено неодномерное обобщение уравнения Бюргерса [15] для случая преобладания нелинейных явлений над дифракционными. Это уравнение отличается от известного уравнения Заболотской-Хохлова-Кузнецова [16], полученное для противоположного случая. В работе [11] исследованы неизвестные ранее решения этих уравнений в виде ударных волн, по фронту которых распространяются вторичные волны.
В работах [12-14] рассматривалась задача об одномерном течении невязкой жидкости в трубке с упругими стенками. В основу исследования была положена т. н. модель локального реагирования [17], дополненная уравнением колебания стенок, рассматриваемых как упругая оболочка [18]. Была исследована картина устойчивости течения и найдены границы конвективной и абсолютной неустойчивостей. Работа [14] посвящена вопросам вихреобразования указанного течения.
Результаты этих работ имеют прямое отношение к вопросам настоящей статьи.
Учитывая сказанное, представляется преждевременным выносить окончательное решение в пользу той или иной модели описания ЗК. Скорее всего, как это часто бывает при описании сложных явлений протекающих в живых организмах, ни одна из предлагаемых моделей не может претендовать на полное описание явления.
Далее мы будем следовать работе [10].
Основные уравнения.
Исходное уравнение, полученное в работе [10] имеет вид
(1)
Здесь p – избыточное давление над некоторым средним по потоку значением p0, о – продольная (вдоль потока) растянутая координата, ф – медленное время, 
- поперечный лапласиан, с – скорость звука; коэффициенты б и у однозначно определяются методом многомасштабных разложений исходных уравнений Навье-Стокса. В работе [11] показано, что уравнение (1) имеет точное решение в виде ударной волны с возмущенным фронтом
(2)
з, ж – поперечные по отношению к потоку координаты. Функция ц (ф, з, ж ) удовлетворяет уравнению
(3)
Решения (3) описывают возмущения фронта ударной волны. Уравнение (3) дополняется граничным условием 
, где г(з, ж)=0 – уравнение границы стенки сосуда, которая предполагается абсолютно жесткой. Если 
, то решения (2) описывают известные одномерные ударные волны с конечной шириной фронта и распространяющиеся вдоль потока со скоростью V [15].
Уравнение (3) представляет собой известное уравнение колебаний мембраны, решения которых хорошо известны и имеют вид [19]:
(4)
где Jm – функция Бесселя порядка m, 
, щ – частота колебаний, 
-радиальная и угловая координаты в плоскости мембраны, A, B,C, D - постоянные, определяемые из начальных условий. Наибольший интерес представляет решение, не зависящее от угла и, соответствующее m = 0. Граничное условие на стенке сосуда радиуса а приводит к уравнению, позволяющему определить частоту колебаний – J1(ka)=0.
Выполним некоторые оценки. Для среднего значения внутреннего диаметра артерии 1 см [1], частоты пульса 70 сек-1 и первых трех значений корня J1 [18]: 3,831, 7,015 и 10,173 получим, соответственно, значения скорости звука в артерии с = 80,876, 44,179 и 30, 464 (см/сек), что по порядку величины несколько ниже опытных данных (
м/с) [1].
Обсуждение результатов.
Основываясь на полученных результатах можно связать звуки Короткова с колебаниями фронта ударной волны, рассмотренными выше. Объяснение звуков Короткова с помощью представления об ударных волнах в потоке крови в артерии упоминается также и в [1]. То, что звуки в норме чередуются с равными интервалами, говорит о том, что реализуется один режим колебаний с фиксированной частотой. Появление лишних частот (аритмия) говорит о том, что реализуются дополнительные режимы.
Существуют и другие модели возникновения звуков Короткова. Например, в [2] обсуждается модель, учитывающая воздействие пассивной эластичной трубки, играющей роль стенок сосуда, на характер течения крови. Получено выражение, связывающее частоту звуков Короткова с локальными параметрами сосуда: эффективным модулем упругости стенки сосуда, ее толщиной и средним диаметром трубки. Эти параметры непостоянны вдоль сосуда, поэтому можно говорить лишь о некотором усредненном по длине сосуда соответствии найденных частот частотам звуков Короткова.
Модель, описанная в данной работе, связывает частоту звуков Короткова с явлениями, не зависящими от состояния стенки сосуда и определяющимися только параметрами кровотока: его скоростью, плотностью и вязкостью. Наличие стенок влияет лишь на вид исходного уравнения, учитывающего дифракцию в дополнение к инерции и нелинейности. Некоторое расхождение оценок с опытными данными требует дальнейшей разработки модели.
Литература.
идродинамика крупных кровеносных сосудов/пер. с англ. под ред. , М.: Мир, 1983.-400 с. Волобуев жидкости в трубках с эластичными стенками. УФН, 1995, Т. 165, № 2, с. 177-186. вуки Короткова или что слушает врач, когда измеряет артериальное давление крови? Публичные лекции Полит. ру. 21.03.2013. http://www. polit. ru/article/2013/04/12/caturyan/ S. S. Grigoryan, Yu. Z. Saakyan, and A. K. Tsaturyan, “On the generation mechanism of Korotkov sound,” Dokl. Akad. Nauk SSSR,251, 570 (1980). S. S. Grigoryan, Yu. Z. Saakyan, and A. K. Tsaturyan, “On the origin of the “infinite” Korotkov tone,” Dokl. Akad. Nauk SSSR,259, 793 (1981). A. Tsaturyan. Korotkoff sounds and measurement of arterial blood pressure. Report on the School of Engineering Sciences. 18.10. 2006. Pihler-Puzovicм, Draga. Flows in collapsible channels. Thesis (Ph. D.) University of Cambridge, 2011. T. J. Pedley, D. Pihler-Puzovic. Flow and oscillations in collapsible tubes: physiological applications and low-dimensional models. IUTAM symposium on transition and turbulence in flow through deformable tubes and channels, Sadhana, 2015, Springer India, V.40 (3), 891-909. Gonzalez F. (1974) The origin of Korotkoff sounds and their role in sphygmomanometry. PhD Thesis, Univ. of Florida, Gainesville. Зайко ударной волны в вязкой среде относительно поперечных возмущений. Письма в ЖТФ, 1991, Т. 17, № 14, с. 20-21. Зайко решения уравнений нелинейной акустики. Письма в ЖТФ, Т. 20, № 10, 1994, с. 79-81. Zayko Y. N. Wave Propagation in a Liquid Flowing in a Channel with Elastic Walls. Technical Physics Letters, Vol. 27, No. 8, 2001, pp. 677–678. Zayko Y. N. A Model of Liquid Flow in a Channel with Elastic Walls. Technical Physics Letters, Vol. 28, No. 12, 2002, pp. 1024–1026. Zayko Y. N. Flows of Liquids in Tubes with Elastic Walls. TEPE, v. 2, № 4, 2013, 114-116. Карпман волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973.-176 с. , Островский волновые процессы в акустике. М.: Наука, 1990.- 238 с. G. L. Lamb, JR., Elements of soliton theory (A Willey-Interscience Publications, NY, 1980). A. S. Vol’mir, Nonlinear dynamics of plates and shells (Nauka, Moscow, 1972). атематические методы в физике/пер. с англ. , М.: Атомиздат, 1970.-712 с. пециальные функции/пер. с нем. под ред. , М.: Наука, 1977.-342 с.1 Представлено в Academic Journal of Applied Mathematical Sciences
2 В частности не обсуждается аналогия между звуками Короткова и образованием серии солитонов в канале с перегородкой, после того как последняя внезапно убирается
