Муниципальное казенное образовательное учреждение
«Лицей села Верхний Мамон Верхнемамонского муниципального района Воронежской области»
РЕФЕРАТ
по дисциплине «Математика»
на тему: «Нестандартные способы решения задач на сплавы, смеси, растворы»
Выполнила:
Ученица 10 «А» класса
Преподаватель:
с. Верхний Мамон
Содержание
I. Введение
II. Нестандартные способы решение задач на сплавы, смеси, растворы
Теоретические основы решения задач на сплавы, смеси растворы Решение задач с помощью таблицы Решения задач с помощью математической модели Старинный способ решения задача Решение задач с помощью «квадрата Пирсона»III. Заключение
IV. Дидактический материал
V. Список использованной литературы
Цель работы: научиться решать задачи на смеси, растворы и сплавы рациональными способами.
Задачи:
1. Собрать теоретический материал;
2. Рассмотреть методы решения задач;
4. Провести анкетирование среди учащихся;
4. Использовать эти методы на практике;
3. Собрать дидактический материал;
4. Поделиться опытом с одноклассниками.
Методы исследования:Изучение научно - популярной, учебной и справочной литературы, КИМов для подготовки экзамена по математике;Сравнение алгоритмов решения задач на концентрацию и задач на работу;Визуализация данных;
Гипотеза: задачи на смеси, растворы и сплавы вызывают у учащихся затруднения, но их решение сводится к определённому алгоритму, который применяется к задачам данного типа.
Объект исследования: математика. Предмет исследования: задачи на смеси, растворы и сплавы
Введение
Если хотите научиться плавать,
то смело входите в воду, а если хотите
научиться решать задачи, то решайте их.
Дьёрдь Пойа
Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время всё шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, всё более внедряется в традиционно далекие от неё области.
В школе мы должны овладеть прочно и сознательносистемой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющего в определённых умственных навыках.
Понятие «проценты» является универсальным в том смысле, что оно связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы жизни. Мы встречаемся с процентами на уроках физики, химии, при чтении газет, просмотре телепередач. Умением грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления обладают далеко не все. Практика показывает, что очень многие окончившие школу не только не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни, но даже не понимают смысла процентов, как доли от некоторой заданной величины.
В последнее же время в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике включают и задачи на проценты.
Тема «Проценты» на самом деле достаточно обширна и сегодня я хотела бы остановиться на одном из ее разделов – задачах на смеси, сплавы и растворы.
Современные психологи утверждают, что решение одной задачи несколькими способами часто бывает более полезным, чем решение одним способом нескольких задач.
Поэтому мы с вами рассмотрим несколько способов решения задач на смеси, сплавы и растворы.
II. Основная часть
Теоретические основы решения задач на сплавы, смеси, растворы.Перед тем, как приступить к объяснению различных способов решения подобных задач, примем некоторые основные допущения:
- Все получающиеся сплавы или смеси однородны При решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов
Определение: Процентным содержанием (концентрацией) вещества называется отношение его массы к общей массе всей смеси.
Зачастую концентрация определена по массе, но иногда может быть определена и по объему. Но, как показывает практика, не всегда сумма объемов смешиваемых веществ равна объему их смеси. Поэтому чаще всего мы будем находить процентное содержание по массе.
Еще одно замечание по поводу терминологии такие понятия, как:
- процентное содержание вещества концентрация вещества массовая доля вещества
будем считать синонимами.
Рассматривая способы решения задач на смеси (сплавы, растворы) я пришла к выводу, что задачи легко решаются, если применить графическую иллюстрацию. Таким образом, при решении многих задач в моей работе приведены более доходчивые для школьников приемы решения данных задач, чем мы встречали в пособиях.
Сначала рассмотрим самый распространенный способ решения задачи, где для успешного решения задачи, условие представляют в виде таблицы.
Рассмотрим решения задач с применением таблицы
Таблица для решения задач имеет вид
Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов | % содержание вещества (доля содержания вещества) | Масса раствора (смеси, сплава) | Масса вещества |
Задача №1 Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
Решение:
Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов | % содержание меди (доля содержания вещества) | Масса раствора (смеси, сплава) | Масса вещества |
Первый сплав | 15%=0,15 | хг | 0,15*х |
Второй сплав | 65%=0,65 | (200 – х)г | 0,65*(200–х)=130–0,65х |
Получившийся сплав | 30%=0,3 | 200 г | 200*0,3=60 |
Сумма масс меди в двух первых сплавах равна массе меди в полученном сплаве:
Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение
200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г
Ответ: 140 г, 60г.
Задача №2 Имеется два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1:9, а в другом 2:3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золота и серебро относилось бы как 1:4?
Теперь внесем данные в таблицу:
Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов | % содержание меди (доля содержания вещества | Масса раствора (смеси, сплава) | Масса вещества |
Первый сплав: | Х кг | ||
золото | 0,1 | 0,1х кг | |
серебро | |||
Второй сплав: | (15-х) кг | ||
золото | 0,4 | 0,4*(15-х) кг | |
серебро | |||
Новый сплав: | 15 кг | ||
золото | 0,2 | 0,2*15=3 кг | |
серебро |
Решение:
Сумма масс золото в двух первых сплавах равна массе золота в новом сплаве
0,1х+0,4(15-х)=3
х=10кг
m(1сплава)=10кг
m(2сплава)=5кг
Ответ: 10 кг и 5 кг.
Решение задач с помощью математической модели
Графические иллюстрации к условию задач помогают найти правильный путь к ответу на вопрос задачи.
Изобразим каждый из растворов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Для того, чтобы показать, что происходит смешивание веществ поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками, а знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками показывает, что третий раствор получен в результате смешивания первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:
Решим задачу №1 данным способом.
Задача №1 Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели-схемы:
Решение:
Пусть х г – масса первого сплава. Тогда, (200-х)г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:
Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):
Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200-х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго-60г.
Ответ:140г. 60г.
Задача №3 Сколько граммов воды нужно добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?
0,75⋅180+х=0,8⋅(180+х);
135+х=144+0,8х;
0,2х=9;
х=45.
Ответ: 45 г.
Старинный способ решения задач или квадрат Пирсона
Ввиду большой простоты предложенный способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо, как в предыдущей задаче, рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ.
Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого. Замечательный русский математик и педагог Леонтий ФилипповичМагницкий (1669-1739) фамилию свою получил от Петра I за умение притягивать к наукам молодых людей.
М1 – массарастворас меньшей концентрацией
a1-меньшая концентрация раствора
М2 – масса раствора с большей концентрацией
a2-большая концентрация раствора
М1+ М2 – масса конечного раствора
a3 - концентрация конечного раствора
a1<a3<a2
Следует, что 
Докажем это:
Рассмотрим типовую задачу в общем виде: Имеются два куска сплава меди с цинком. Процентное содержание меди в них а1 % и a2 % соответственно. В каком отношении нужно взять массы этих сплавов, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий а % меди?
Массовая доля меди в сплаве | Масса каждого сплава | Масса меди в каждом сплаве | |
I сплав | а1 % | М1 |
|
II сплав | a2 % | М2 |
|
Новый сплав | а % | М1+М2 |
|
Зная, что масса меди в новом сплаве есть сумма масс меди в каждом из взятых кусков, составим уравнение
+ 
М1(а3-а1)=М2(а2-а3)
Задача №4 Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?
2. 4 Решение задач с помощью квадрата Пирсона
Но вначале немного истории и любопытных фактов
А теперь немного о Пирсоне…Карл Пирсон родился 27 марта в 1857 году в Лондоне. Он был разносторонним человеком, активно изучал историю, математику, статистику и германистику. Большую часть 80-х годов XIX века он провел в Берлине, Гейдельберге, Вене и Брикслеге. Интересовали его религия и поэзия – с одинаковым интересом он изучал Гёте и Священное Писание. Занимали Пирсона и вопросы пола – он даже основал Клуб Мужчин и Женщин. В 1898 году получил медаль Дарвина. Карл Пирсон Погиб в Англии в городе Суррее 27 апреля 1936 года. Прожил он 79 лет.
Как и все методы решений, квадрат Пирсона имеет свои преимущества и недостатки. Одним из преимуществ этого способа является то, что он доступен ученикам, которые не умеют решать уравнения. Также квадрат Пирсона очень полезен для домохозяек, чтобы получать нужную концентрацию уксуса или сиропа.
Недостатком этого метода является то, что его можно применять только при смешивании двух растворов. То есть если нужно смешать три или более веществ, квадрат Пирсона здесь не поможет.
Данный метод – «квадрат Пирсона» имеет ту же сущность, что и старинный метод, но немного видоизменен и, как мне кажется, удобен.
Для того чтобы решить задачу, используя квадрат Пирсона, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Строится квадрат, и проводятся его диагонали.
2. В левом верхнем углу ставят больший показатель крепости веществ (А).
3. В левом нижнем углу ставят меньший показатель крепости веществ (В).
4. На пересечении диагоналей ставят требуемый показатель крепости (С).
5. В правом нижнем углу после вычитания из А С получают У.
6. В правом верхнем углу после вычитания из С В получают Х.
7. Мы получаем, что нам надо взять Х частей с концентрацией А
и У частей с концентрацией В, и мы получим смесь с концентрацией С.
Приведу несколько примеров
Задача№5 Для размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать 2% морской соли. Сколько литров пресной воды нужно добавить к 80 л морской воды с 55%-ым содержанием соли, чтобы получить воду, пригодную для заполнения аквариума?
Т. е на 2 части воды с 55% содержанием соли необходимо добавить 53 части пресной
Воды, чтобы получить воду с 2% содержанием соли
Пусть k-одна часть, тогда
2k=80;
k=40.
53k=53*40=2120;
Значит, мы должны взять 2120 л воды, чтобы получить воду, пригодную
для заполнения аквариума.
Ответ: 2120 л воды.
Задача №6 В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение:
2.5 Дидактический материал (Приложение )
Задачи выбраны по справочникам и учебным пособиям, по экзаменационным материалам, в том числе и вариантам ЕГЭ. Собранный материал можно использовать на уроках и для самоподготовки учащихся.
III. Заключение
В ходе научного исследования мной было проведено анкетирование учащихся 10-11 классов нашего лицея. Всего опрошено 52 человека. Всем предлагалось ответить на следующие вопросы:
Вызывают ли у Вас затруднения решение задач на концентрацию и совместную работу? Знаете ли Вы способы решения данных задач?Цель данного опроса:
Узнать степень подготовки учащихся по теме: «Решение текстовых задач на смеси, растворы и сплавы».
Результаты анкетирования:- Большинство участников опроса испытывают затруднения при рассмотрении решений задач данного типа;- Лишь 13 % из 100 ознакомлены со способами решения данных задач. Проанализировав результаты анкетирования, я пришла к выводу, что большая часть учащихся 10-11 классов, а именно 87 %, не может решать задачи на смеси, растворы и сплавы, и поэтому при встрече таких задач на ЕГЭ они могут потерять драгоценные для себя балы. По этой причине я провела несколько ознакомительных уроков по теме: «Решение текстовых задач части в ЕГЭ на смеси, сплавы и растворы». На данных уроках учащимся были предложены задачи по этой теме, с помощью которых мной были раскрыты основные понятия, встречающиеся в задачах, и представлены основные формулы, необходимые для их решения, был проиллюстрирован общий алгоритм решения, а также наиболее наглядный и удобный способ записи условий таких задач.
Итак, в своей исследовательской работе я рассмотрела методы решений задач на растворы и сплавы. Какие-то из них могут показаться легче, какие-то сложнее, но в целом их принцип очень похож. Все-таки в каждой задаче половину успеха решает правильно составленное условие, которое мы видели в совершенно разных вариациях, а остальное – умный человек. Мы видели множество различий между решениями, и я думаю, каждый уже выбрал для себя метод, который кажется ему привлекательным. Конечно, каждый из них с какой-то стороны силен, с какой-то имеет свои недочеты. И если нужен тонкий расчет, даже в самом обычном, бытовом деле как смешение сахара в чае или смешивание кондиционера и порошка для стирки, решение этого вопроса с помощью задачи – лучшее решение.
Приложение
Дидактический материал
Сколько нужно взять 10% и 30% растворов марганцовки, чтобы получить 200 г 16% раствора марганцовки? Сколько граммов 35% раствора марганцовки надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%? Сколько граммов воды нужно добавить к 5% йодной настойке массой 100г, чтобы концентрация йода уменьшилась до 1%? Требуется приготовить 100г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта? Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки? Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько надо взять «бедной» руды, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%? Имеется два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46 % кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов? В сосуде объемом 10 л содержится 20%-й раствор соли. Из сосуда вылили 2 л раствора и долили 2 л воды, после чего раствор перемешали. Эту процедуру повторили ещё один раз. Определите концентрацию соли после первой и второй процедуры. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято? Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30% меди? Сколько чистой воды нужно добавить к 100г 60%-го раствора кислоты, чтобы получить 30%-ный раствор? К раствору, содержащему 40г соли, добавили 200г воды, после чего массовая доля растворенной соли уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор, и какова была в нем массовая доля соли? Первый сплав состоит из цинка и меди, входящих в него в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27? Смешали некоторое количество 15%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 19%-го раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Смешали 30%-ый раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-го раствора. Сколько граммов 10%-го раствора было взято? Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 20% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35% золота, а во втором — 60%. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота? При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%. и второго раствора этой ж кислоты концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый второй растворы? Смешали 3 литра 40%-го водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 35%-го водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Смешали 8 литров 15%-го водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 40%-го водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Смешали некоторое количество 17%-го раствора некоторого вещества со втрое большим количеством 9-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Смешали некоторое количество 14-процентного раствора некоторого вещества со вдвое большим количеством 8-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? В сосуд, содержащий 5 литров 12% водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Смешали некоторое количество 15% раствора некоторого вещества с таким же количеством 19% раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Смешали 4 литра 15% водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25% водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Смешав 30% и 60% растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36% раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50% раствора той же кислоты, то получили бы 41% раствор кислоты. Сколько килограммов 30% раствора использовали для получения смеси? Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?IV. Список использованной литературы
1. Математика без репетитора. 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов Учебное пособие. – М.: Издательский центр «Вентана – Граф», 2002г.
2. роценты // Математика. Приложение к газете «Первое сентября». М.: Издат. дом «Первое сентября», 2004. № 20, 22, 23, 25−26.
3. Прокопенко на смеси и сплавы.- М. :Чистые пруды, 2010 (Библиотечка «Первого сентября». Выпуск 31 ).
4.Копылова «Задачи на смеси и сплавы» 2005г. г. Шелехов.
Под редакцией «Тематические тесты» Издательство «Легион-М»,2010
4. , Александров на составление уравнений. Учебное руководство. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1990г.
5. , Турецкий научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред. школы. – 3-е изд., доработанное. М.: Просвещение, 1989
6. «Задачи на смеси и сплавы» 2010г. г. Москва
Интернет –ресурсы:
http://www. ankolpakov. ru/2011/03/31/repetitor-po-matematike-o-metodike-raboty-s-tekstovymi-zadachami-zadachi-na-smesi-splavy-i-rastvory-kopilka-priemov-repetitora/ http://nsportal. ru/ap/library/drugoe/2012/09/23/reshenie-zadach-po-teme-smesi-i-splavy http://www. вматематике. рф/uchimsya-reshat-zadachi-na-rastvory-smesi-splavy/ http://www. fipi. ru http://www. shevkin. ru/ http://mat-ege. ru