ИГРА-ОЛИМПИАДА
"Попробуй реши!"
Или
Любите ли вы математику, как я люблю её.
1. Игра проводится летом. Один раз в две недели для решения предлагается 5 задач.
2. Игра проводится дистанционно. Задания размещаются на этом сайте.
3. Решение задач нужно отправить по указанному на сайте адресу.
4. Идеальное решение - это решение в котором:
- указан правильный ответ или все правильные ответы;
- доказано (объяснено), что приведенные ответы - правильные и больше ответов нет;
- понятно, как автор работы рассуждал, решая задачу.
Первый тур
№1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того. что в сумме выпадет 7 очков.
№2. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
№3. На изготовление 540 деталей первый рабочий затрачивает на 12 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
№4. Найдите корень уравнения: -8-12х-6хІ-хі=0.
№5. На окружности радиуса 3 с центром в вершине острого угла А прямоугольного треугольника АВС взята точка Р. Известно, что АС=3, ВС=8, а треугольники АРС и АРВ равновеликие. Найдите расстояние от точки Р до прямой ВС.
Второй тур
№1. Кубик, все грани которого окрашены Толей в его любимый цвет, Лёша распилил на 1000 кубиков одинакового размера! Эти кубики он тщательно перемешал. Найдите вероятность того, что извлечённый наугад Толей кубик будет иметь хотя бы одну окрашенную грань.
№2. Дима и Гриша по очереди проводят диагонали в правильном двадцатиугольнике. Они договорились, что из одной вершины будут проводить не более одной диагонали. Кроме того им нельзя проводить диагонали, пересекающиеся с нарисованными ранее. Проиграет тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?
№3. Настя и Даша по очереди ломают шоколадку 5 на 7. За ход в этой игре им разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает та из них, кому нечего будет ломать, то есть доедающая последний кусочек. Кто выиграет при правильной игре?
№4. На окружности с центром О№ радиуса r№ Андрей взял точки М и К. В центральный угол МО№К он вписал окружность с центром ОІ радиуса rІ. Андрей просит вас, найдите площадь четырёхугольника МО№КОІ!
№5. Настина книга состоит из 30 рассказов объёмом 1, 2, 3, ..., 30 страниц. Свои рассказы она печатает с первой страницы, а каждый рассказ начинает с новой страницы. И вот её вопрос: какое наибольшее количество рассказов может начинаться с нечётной страницы?
3 ТУР
№1. В коробке лежат 10 белых и 30 чёрных шаров. Какое наибольшее число чёрных шаров можно вынуть из этой коробки, чтобы после этого вероятность наугад достать из коробки белый шар была не больше 0,6?
№2. Женя написала в блокноте трёхзначное число, делящееся на 28. Витя должен угадать это число, написав 6 трёхзначных чисел, делящихся на 28, а затем сравнив эти числа с числом, написанным Женей. Какова вероятность, что Витя угадает загаданное Женей число?
№3. Четырёхугольник АВСД вписан в окружность. Известно, что углы А и В относятся как 4 к 5, а углы С и Д относятся как 7 к 5. Найдите градусную меру большего из углов этого четырёхугольника.
№4. За несколько дней до соревнований спортсмен стал сбрасывать вес, уменьшая каждые сутки вес своего тела на одно и то же число процентов от предыдущего значения. Определите, на сколько процентов в сутки спортсмен уменьшал свой вес, если известно, что за последние двое суток до соревнований его вес уменьшился с 62,5 до 57,6 килограммов.
№5. Найдите значение выражения X+2Y-3Z, если 4X+Y=6 и 12Z-7Y=20.
4 тур
№1. Квадратный лист бумаги со стороной 10 см разбивают на 100 квадратиков со стороной 1 см и среди этих квадратиков случайным образом выбирают один. Какова вероятность, что расстояние от одной из сторон выбранного квадратика до границы листа составит не более 2 см?
№2. Из трёхзначных чисел наугад выбирают одно число. Какова вероятность, что будет выбрано число, десятичная запись которого содержит хотя бы одну цифру 6?
№3. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 6. Найдите гипотенузу, если точка касания с вписанной окружностью делит её на отрезки, длины которых относятся как 5 к 12.
№4. В августе средняя стоимость аренды номера в гостиницах города Сочи повысилась на 60% по сравнению с февралём. На сколько процентов должна снизиться стоимость аренды номера в гостиницах Сочи в течении осени, чтобы к декабрю она была лишь на 8% выше, чем в феврале?
№5. Монету подбрасывают несколько раз так, что каждый раз с равной вероятностью выпадает "орёл" или "решка". Найдите вероятность того, что при четырёх подбрасываниях монеты и "орёл" и "решка" выпадут хотя бы по одному разу.
Задачи 5 тура (последнего)
№1. Влажность свежескошенной травы составляет 75%. Сколько килограммов сена, влажность которого 20%, получится из 4 тонн этой травы?
№2. В конкурсе эстрадной песни "Евровидение" участвуют представистран, по одному исполнителю от каждой страны. Все выступления разбиваются жеребьёвкой на два полуфинала, по 20 выступлений в каждом. Порядок выступлений в полуфинале также определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится во втором полуфинале и будет не ранее, чем 12 по счёту?
№3. Некоторый прибор состоит из трёх блоков. Если в работе одного из блоков происходит сбой, прибор отключается. Вероятность сбоя в течении года для первого блока составляет 0,2, для второго блока - 0,3, а для третьего блока - 0,1. Какова вероятность, что в течении года произойдёт хотя бы одно отключение данного прибора?
№4. Попробуйте доказать, что среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно найдётся такое, у которого сумма цифр делится на 11. Приведите пример, когда разность между двумя последовательными числами с суммой цифр, кратной 11, равна 39.
№5. Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а другой вставляет её по своему усмотрению вместо одной из звёздочек в следующей разности: ¤¤¤¤-¤¤¤¤.
Затем первый называет ещё одну цифру (необязательно отличную от предыдущей) и так далее 8 раз, пока все звёздочки не заменятся на цифры. Тот, кто называет цифры, стремится к тому, чтобы разность получилась как можно больше, а второй - чтобы она стала как можно меньше.
Докажите, что второй может расставлять цифры так, чтобы получившаяся разность стала не больше 4000 независимо от того, какие цифры называл первый.
РЕШЕНИЯ.
РЕШЕНИЯ задач 2 тура
№1. Ответ: 0,488.
№2. Ответ: Выигрывает первый игрок.
Первым ходом первый игрок проводит диагональ, соединяющую диаметрально противоположные вершины двадцатиугольника. Тогда двадцатиугольник разбивается на две части, в каждой из которых 9 вершин, причём из одной части в другую диагонали идти не могут, так как они не должны пересекать первую диагональ. Поэтому теперь первому игроку достаточно отвечать на ходы второго игрока симметричными ходами в другой половине двадцатиугольника.
№3. В этой игре - шутке при правильной игре победит тот, кто ломает шоколадку вторым.
№4. Прямая О№ОІ является осью симметрии данного угла и обеих окружностей, поэтому четырёхугольник этой прямой разбивается на два равных треугольника. Площадь каждого треугольника равна половине произведения радиусов окружностей, а площадь искомого четырёхугольника тогда равна произведению радиусов.
№5. Ответ: 23.
После каждого рассказа с нечётным числом страниц меняется чётность начальной страницы следующего рассказа. Поэтому чётность начальной страницы меняется не меньше 14 раз (один из 15 рассказов с нечётным числом страниц может оказаться в книге последним). Таким образом, не менее 7 раз рассказы начинаются с чётной страницы и тем самым не более 23 раз - с нечётной. Если в начале книги поместить все рассказы с чётным числом страниц, а затем с нечётным, то ровно 23 рассказа будут начинаться с нечётной страницы.
РЕШЕНИЯ задач 3 тура
№1. Пусть из коробки вынуто X чёрных шаров. Тогда в коробке осталось 30 - Х чёрных и 10 белых шаров, то есть всего 40 - Х шаров. При этом вероятность достать из коробки наугад белый шар будет равна числу 10 :(40 - Х). Это число не больше 0,6 в том случае, если 10 :(40 - Х) меньше или равно 0,6. Решая это неравенство, получим, что Х меньше или равен 23 целых 1/3. Поэтому наибольшим целым значением Х, для которого условие задачи выполнено, является Х=23. Ответ: 23.
№2. Наименьшим трёхзначным числом, делящимся на 28, является число 28*4=112, а наибольшим трёхзначным числом, делящимся на 28, является число 28*35=980. Поэтому количество трёхзначных чисел, делящихся на 28, равно 35 - 3=32. Так как Витя пишет какие-то шесть из этих чисел, то вероятность того, что он угадает загаданное Женей число, равна 6:32=0, 1875. Ответ: 0,1875.
№3. Пусть угол А равен 4Х, угол С равен 7У, тогда угол В равен 5Х, угол Д равен 5У. Так как четырёхугольник АВСД вписан в окружность, то сумма углов А и С равна сумме углов В и Д и равна 180 градусов. Получим систему двух уравнений: 4Х+7У=180 и 5Х+5У=180. Отсюда для углов четырёхугольника АВСД получаем следующие значения: А=96, В=120, С=84, Д=60 градусов. Градусная мера наибольшего из этих углов равна 120 градусов. Ответ: 180°.
№4. Пусть р·100% - проценты, на которые спортсмен уменьшал свой вес за сутки. Тогда за первые из двух суток до соревнований вес спортсмена уменьшился с 62,5 кг до 62,5 - р·62,5= 62,5·(1-р)кг, а ещё через сутки стал равен 62,5·(1-р) - р·(62,5·(1-р))=
=62,5·(1-р)Ікг. По условию, после этих изменений вес спортсмена составил 57, 6 кг, откуда имеем: 62,5·(1-р)І= 57,6. Решив э
то уравнение, получим р=0,04. Таким образом, искомое число процентов равно 0,04·100%=4%. Ответ: 4%.
№5. Ответ: -3,5.
РЕШЕНИЯ задач 4 тура
№1. Ответ: 0, 84. Расстояние от одной из сторон выбранного квадратика до границы листа составляет не более 2 см в том случае, если этот квадратик лежит внутри "каёмки" шириной 3 клетки, примыкающей к сторонам квадрата. Расстояние от его ближайшей до границы листа стороны равно 2 см. Те из квадратиков, которые лежат вне этой "каёмки", образуют квадрат со стороной 4, дополняющий "каёмку" до квадрата 10 на 10, число этих квадратиков равно 16. Поэтому квадратиков внутри "каёмки" равно 100 - 16 =84. Отсюда получаем, что искомая вероятность равна 0,84.
№2. Ответ: 0,28. Вместо нахождения вероятности интересующего нас события найдём сначала вероятность противоположного события - то есть вероятность того, что будет выбрано число, десятичная запись которого не содержит ни одной цифры 6.
Найдём количество трёхзначных чисел, десятичная запись которых не содержит ни одной цифры 6. Для первой цифры такого числа имеется 8 возможностей - все цифры от 1 до 9 за исключением цифры 6. Для второй и третьей цифры такого числа имеется по 9 возможностей - все цифры от 0 до 9 за исключением цифры 6. Следовательно, количество таких чисел равно 8*9*9=648, а вероятность выбрать такое число среди всех трёхзначных чисел равна 648:900=0,72. Так как вероятность противоположного события равна 0,72, то искомая вероятность равна 1-0.72=0,28.
№3. Ответ:34. Аналогичную задачу мы решили в классе. Поэтому коротко.
Если обозначить длину меньшего из отрезков, на которые гипотенуза делится точкой касания, 5Х, тогда 12Х - длина большего из этих отрезков. Поскольку отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны, то, применяя теорему Пифагора, получим уравнение: (17Х)І = (12Х+6)І + (5Х + 6)І. Решая это уравнение, находим, что Х=2, а гипотенуза равна 17Х=34.
№4. Ответ: 32,5. Пусть х - стоимость аренды номера в феврале. Тогда 1,6х - стоимость аренды номера в августе, а в декабре она должна быть равна 1, 08х. Следовательно, стоимость аренды нужно будет снизить на 0,52х, что составляет 0,52 : 1,6*100%=32,5% от величины 1,6х.
№5. Ответ: 0,875. Так как при четырёх подбрасываниях монеты имеется 16 различных вариантов последовательности выпадений "о" или "р", а вариантов, в которых все четыре раза выпадает одна и та же сторона монеты, всего два (либо все четыре раза "о", либо все четыре раза "р"), то число различных вариантов, в которых и "орёл" и "решка" выпадают хотя бы по одному разу, равно 16 - 2 = 14. Поэтому искомая вероятность равна 14:16=0, 875.
РЕШЕНИЯ задач 5 тура
№1. Ответ: 1250.
Так как влажность травы равна 75%, то содержание в ней "сухого вещества" (всё, кроме воды) равно 25%. Поэтому в 4 тоннах этой травы содержится 0, 25 *4=1 тонна "сухого вещества". Влажность сена должна составить 20%, то есть 1000 кг "сухого вещества" должны составлять 80% массы сена. Обозначив через х массу сена в килограммах, получим уравнение 0,8х=1000, из которого находим, что х=1250.
№2. Ответ: 0, 225.
Если выступление представителя из России состоится во втором полуфинале и будет не ранее, чем 12 по счёту, то это означает, что оно будет не менее, чем 32 по счёту среди всех 40 выступлений.
Интересующее нас событие происходит в 9 случаях из 40 (количество целых чисел от 32 до 40 включая = 9). Поэтому искомая вероятность равна 9:40=0, 225.
№3. Ответ: 0, 496.
Вместо нахождения вероятности интересующего нас события найдём сначала вероятность противоположного события - то есть вероятность того, что в течении года не произойдёт ни одного отключения данного прибора.
Вероятность работы без единого сбоя в течении года для 1-го блока равна 1-0,2=0,8,
для 2-го блока эта вероятность равна 1-0,3=0,7,
а для 3-го блока эта вероятность равна 1-0,1=0,9.
Отсюда находим, что вероятность работы без единого сбоя в течении года всех трёх блоков (то есть вероятность того, что в течении года не произойдёт ни одного отключения прибора) равна 0,8*0,7*0,9=0,504.
Так как вероятность противоположного события равна 0, 504, то искомая вероятность равна 1-0,504=0,496.
№4. Доказательство.
Рассмотрим любые 39 последовательных натуральных чисел.
Среди наименьших двадцати из этих чисел существуют два числа, которые оканчиваются нулём. Из этих двух чисел по крайней мере у одного перед нулём стоит цифра 9. Обозначим это число через с, а сумму его цифр через ь. Так как рассматриваемые 39 чисел являются последовательными, то числа с, с+1, ..., с+19 принадлежат этой группе чисел и имеют суммы цифр, равные соответственно ь, ь+1, ..., ь+10. Среди одиннадцати! последовательных чисел ь, ь+1, ..., ь+10 хотя бы одно делится на 11! Поэтому и среди рассматриваемых 39 чисел существует по крайней мере одно число, которое делится на 11.
Числа 999980 и 1000019 имеют суммы цифр 44 и 11, то есть кратные 11, и являются, как легко проверить, последовательными натуральными числами, сумма цифр которых делится на 11. Кроме того, 1000019 - 999980=39.
№5. Доказательство.
Второму достаточно придерживаться следующей стратегии.
Если первая названная цифра от 0 до 3, ставить её на первое место в первом числе, а если первая цифра от 6 до 9, то на первое место во втором числе. При этом независимо от дальнейшей игры разность будет меньше 4000!
Если первая цифра 4, то поставить её на первое место в первом числе, затем все цифры 0 ставить на места со второго по четвёртое, а первую же отличную от нуля цифру, если она появится, поставить на первое место во втором числе. (Наибольшая разность равна 4000, когда все цифры после четвёрки - нули.)
Если первая цифра 5, то поставить её на первое место во втором числе, затем все девятки ставить на места со второго по четвёртое, а первую же цифру не 9 , если она появится, - на первое место в первом числе. (Аналогично предыдущему наибольшая разность равна 4000).
