Прямая. Взаимное расположение прямых (стр. 2 )

       Принадлежность прямой плоскости проекций является частным случаем параллельности прямой этой плоскости и трудностей при проецировании не вызывает.

2. Следы прямой

       Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой. Эти точки разделяют прямую линию на участки, расположенные в различных частях пространства, разделенного плоскостями проекций, т. е. это точки перехода прямой из одной четверти или октанта в другой.

       В зависимости от того, с какой плоскостью проекций происходит пересечение прямой, следы обозначают и называют:

       М – горизонтальный след прямой;

       N – фронтальный след прямой;

       Р – профильный след прямой.

       Составим алгоритм нахождения следов прямой. Для примера рассмотрим определение М прямой l (рис. 2). Горизонтальный след принадлежит как прямой l, так и плоскости проекций Н. Поэтому для нахождения горизонтального следа прямой необходимо:

а) отметить точку пересечения фронтальной проекции прямой с осью ОХ

(l′ ∩ ОХ = m′);

б) через полученную точку провести прямую с, перпендикулярную оси ОХ

(с ⊥ ОХ; с? m′);

в) пересечение перпендикуляра (с) с горизонтальной проекцией прямой укажет положение горизонтального следа

М (с ∩ l).

       То есть алгоритм определения горизонтального следа прямой l может быть записан:

М = (l′ ∩ ОХ = m′);  (с ⊥ ОХ; с? m′);  с ∩ l.

       Для определения горизонтального следа можно использовать и профильную проекцию прямой l, тогда алгоритм определения М будет:

  М = (l″ ∩ ОУ = m″);  (с1 ⊥ ОУ; с1 ? m″);  с1 ∩ l.

       Аналогично определяется фронтальный N и профильный след прямой l:

N = (l ∩ ОX = n);  (с2 ⊥ ОX; с2 ? n);  с2 ∩ l′, N = (l″ ∩ ОZ = n″);  (с3 ⊥ ОZ; с3 ? n″);  с3 ∩ l′, P = (l ∩ ОУ = p);  (с4 ⊥ ОУ; с4 ? p);  с4 ∩ l ″, P = (l′ ∩ ОZ = p′);  (с5 ⊥ ОZ; с5 ? p′);  с5 ∩ l ″.

       По положению следов М, N и Р можно заключить, что заданная прямая l проходит через I, II, IV и VIII октанты.

Следы у прямых частного положения определяются аналогично рассмотренному примеру с прямой общего положения. Но следует иметь в виду, что прямая, параллельная какой-либо плоскости проекций, следа на этой плоскости иметь не может, так как она с ней не пересекается. Поэтому, прямые уровня (I группа прямых частного положения) имеют только два следа, а проецирующие прямые (II группа) – только один след.

3. ТОЧКА НА ПРЯМОЙ. ДЕЛЕНИЕ

ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ

       Если в пространстве точка принадлежит прямой, то на эпюре проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой.

       Из трех точек С, D и Е, приведенных на рис. 3, лишь одна точка С лежит на прямой АВ.

       Если точка не принадлежит прямой то возможны четыре частных случая: точка над прямой; точка под прямой; точка перед прямой; точка за прямой. Так на рис. 3 точка D расположена над прямой, а точка Е перед прямой АВ.

       Из свойств ортогонального проецирования известно, что если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же отношении.

       Из чего следует, что для деления отрезка АВ в данном отношении достаточно разделить в этом отношении одну из проекций данного отрезка, а затем спроецировать делящую точку на другую проекцию отрезка.

       На рис. 4 дан пример деления отрезка АВ в отношении 2:4. Для этого из горизонтальной проекции точки А проведем вспомогательную прямую, на которой отложим шесть (2 + 4) отрезков произвольной длины, но равных между собой. Проведем отрезок В6 и параллельно ему через точку 2 прямую, получаем горизонтальную проекцию точки К, причем ak:kb = 2:4, затем по линии связи находим фронтальную проекцию точки К, которая в заданном отношении разделит фронтальную проекцию прямой АВ.

       Этим способом можно воспользоваться для более простого построения недостающей проекции точки на профильной прямой. Так, если на фронтальной проекции отрезка АВ (рис. 5) задана проекция точки С, то для построения ее горизонтальной проекции необходимо разделить горизонтальную проекцию АВ в том же отношении, в котором точка С делит фронтальную проекцию АВ. Проведем из горизонтальной проекции точки А вспомогательную прямую, отложив на ней фронтальную проекцию отрезка, затем проведем прямую b′ b и параллельную ей через точку с′ прямую до пересечения с АВ в точке с. Эта точка и будет искомой.

4. определение натуральной величины отрезка

прямой общего положения и углов наклона

его к плоскостЯМ проекций

Натуральная величина отрезка прямой общего положения равна гипотену-

зе прямоугольного треугольника, один катет которого равен одной из проекций, другой – разности расстояний концов второй проекции до оси проекций.

На рис. 6 показано определение натуральной величины отрезка АВ и углов его наклона к плоскостям проекций

Вначале находят разность расстояний точек до плоскостей проекций (∆х, ∆у, ∆z).

При определении натуральной величины отрезка АВ на горизонтальной плоскости проекций Н, к горизонтальной проекции отрезка под прямым углом нанесем второй катет – разность расстояний точек до Н(∆z). Гипотенуза построенного треугольника выразит натуральную величину отрезка АВ, а угол между проекций

прямой и гипотенузой – угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций Н(∠α).

       При определении натуральной величины отрезка на фронтальной плоскости проекций V, к фронтальной проекции отрезка под прямым углом наносят разность расстояний точек до V(∆у). Гипотенуза треугольника – натуральная величина отрезка, а угол между проекцией и гипотенузой – угол наклона отрезка АВ к V(∠β).

       Определяя натуральную величину отрезка на профильной плоскости проекций W, к профильной проекции отрезка под прямым углом наносят разность расстояний точек до W(∆х). Гипотенуза треугольника – натуральная величина отрезка, а угол между проекцией и гипотенузой – угол наклона отрезка к W(∠γ).

       Итак, если необходимо найти только натуральную длину отрезка, то достаточно найти ее на любой из плоскостей проекций, но если требуется найти углы наклона прямой к плоскостям проекций, то необходимо определить натуральную величину отрезка на всех плоскостях проекций.

5. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

       Различают три случая взаимного положения двух прямых: параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые.

       а) Параллельные прямые.

       Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны между собой.

       Для того чтобы сделать вывод о взаимной параллельности двух прямых общего положения, достаточно параллельности их одноименных проекций на двух плоскостях проекций. На эпюре (рис. 7) у прямых общего положения АВ и СD горизонтальные и фронтальные проекции попарно параллельны, следовательно, эти прямые параллельны между собой.

       Особый случай представляют собой прямые уровня, для оценки взаимного положения которых необходимо обратиться к проекциям прямых на той плоскости проекций, которой они параллельны. Так, горизонтальные и фронтальные проекции профильных прямых EF и GK попарно параллельны (рис. 8), но эти прямые не параллельны, что следует из взаимного положения их профильных проекций.

       На рис. 9 показан случай, когда можно установить, что профильные прямые АВ и СД не параллельны между собой, не прибегая к построению третьей проекции: достаточно обратить внимание на чередование буквенных обозначений и изменение величины проекций отрезков.

Итак, для прямых общего положения условия параллель­ности следующие:

       если одноименные проек­ции прямых общего положе­ния параллельны в системе двух плоскостей проекций, то прямые параллельны.

Для прямых частного положения:

если одноименные проекции прямых параллельны одной из осей проекций, то прямые параллельны при условии параллельности одноименных проекций на той плоскости проекций, которой параллельны прямые.

       б) Пересекающиеся прямые.

       Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых. Проекции точки пересечения (рис. 10) будут лежать на одной линии связи.

       Если одна из прямых параллельна какой-либо плоскости проекций, то для определения положения прямых в пространстве необходимо построить проекции прямых на этой плоскости проекций.

       в) Скрещивающиеся прямые.

       Скрещивающиеся прямые – это прямые не параллельные и не пересекающиеся между собой, т. е. эти прямые не имеют общей точки и не лежат в одной плоскости.

На рис. 11 изображены две скрещивающиеся прямые общего положения: хотя одноименные проекции и пересекаются между собой, но точки их пересечения не лежат на одной линии связи. У этих точек горизонтальные или фронтальные проекции совпадают, а другие нет.

       Точки, у которых совпадают одни проекции, а другие проекции не совпадают, называются конкурирующими.

       

6. ПРОЕКЦИИ ПЛОСКИХ УГЛОВ

       а) Если плоскость угла перпендикулярна к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость проекций в виде прямой линии (рис. 12).