Оценка и анализ рисков (стр. 17 )

iii Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции является более точной мерой зависимости  между величинами.  Подобно дисперсии и ковариации коэффициент корреляции имеет две формы – теоретическую и выборочную.

Для двух переменных x  и  y теоретический коэффициент корреляции определяется следующим образом:

.

выборочный коэффициент корреляции определяется по формуле:

.

iv Риск портфеля трехфакторной модели  σ2p =V p = XT*COV*X 

v Оценка параметров регрессионной модели.

Для оценки параметров регрессионного уравнения наиболее часто используют метод наименьших квадратов (МНК), согласно которому в качестве оценки принимают вектор a, который минимизирует сумму квадратов отклонения наблюдаемых значений у; от модельных значений , т. е. квадратичную форму: 

⇒ min.

Формула для вычисления параметров регрессионного уравнения имеет вид:

  a = (Xт X )-1 X т Y 

Рассмотрим случай зависимости переменной Y от одного фактора  Х. 

Мы  хотим подобрать уравнение

.

для вычисления а1 можно использовать следующие выражения:

а1=  = 

а0= 

Вычисление  параметров рыночной модели mi = ai + βi ×mf

с помощью МНК:

  =  = 

 

vi Дисперсионный анализ модели регрессии.

После построения уравнения регрессии мы можем разбить значение у, в каждом наблюдении на две составляющих - и ;

    (*)

Величина , — расчетное значение у в наблюдении i— это то значение, кото­рое имел бы у при условии, что уравнение регрессии было правильным, и от­сутствии случайного фактора. Это, иными словами, величина у, спрогнозированная по значению х в данном наблюдении. Тогда остаток , есть расхождение между фактическим и спрогнозированным значениями величины y. Это та часть у, которую мы не можем объяснить с помощью уравнения регрессии.

Используя (*) разложим  дисперсию у:

    (**)

Это означает, что мы можем разложить Var (у) на две части: — часть, которая «объясняется» уравнением регрессии в вышеописанном смысле, и Var(e) — «необъясненную» часть.

используя определение выборочной дисперсии и умножив на n  обе части уравнения (**),  можно представить его следующим образом:

  (***)

где  - значения y, вычисленные по модели;

  Se2 =  = - остаточная сумма квадратов отклонений;

  Sy2 = - общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от ее среднего значения,

- сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией.

vii коэффициент детерминации  - R2.

 

Он показывает долю вариации результативного признака, находя­щегося под воздействием изучаемых факторов, т. е. определяет, ка­кая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влия­нием на него факторов.

В многофакторной регрессии добавление дополнительных объ­ясняющих переменных увеличивает коэффициент детерминации. Следовательно, коэффициент детерминации должен быть скор­ректирован с учетом числа независимых переменных. Скоррек­тированный R2, или , рассчитывается так:

, где

  n — число наблюдений;

  k — число независимых переменных.