ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Понятие функции. Область определения и множество значений функции. График функции. Способы задания функций. Сложная функция. Свойства основных элементарных функций. Обратная функция. Основные элементарные функции (степенная, показательная и логарифмическая функции, тригонометрические функции и обратные к ним). Ограниченность сходящейся последовательности. Предел последовательности и его свойства. Единственность предела. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями. Различные типы пределов: односторонние пределы, пределы в бесконечности, бесконечные пределы. Предел функции. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса о существовании предела монотонной ограниченной последовательности. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы о существовании корня, о промежуточных значениях. Производная функции. Геометрический и физический смысл производной. Производная функции. Правила дифференцирования функций. Производная функции. Правило дифференцирования сложной функции. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Производные и дифференциалы высших порядков. Применение производных к исследованию функций и построению графиков. Непрерывность дифференцируемой функции. Непрерывность функции слева и справа. Точки разрыва функции, их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы о существовании корня, о промежуточных значениях. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Теорема о достаточном условии возрастания, необходимое условие локального экстремума, стационарные и критические точки. Необходимое условие дифференцируемости (непрерывность дифференцируемой функции). Однородные функции нескольких переменных. Формула Эйлера. Производная по направлению, градиент. Свойства градиента. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Первообразные от основных элементарных функций. Неопределенный интеграл, его геометрический смысл. Свойства неопределенного интеграла. Неопределенный интеграл. Интегрирование рациональных функций. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям. Определенный интеграл и его свойства. Дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах: с разделяющимися переменными, однородные, в полных дифференциалах. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, их решения. Общее и частное решения дифференциального уравнения. Общий интеграл. Особые решения. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в нормальной форме. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в нормальной форме. Линейные дифференциальные уравнения. Пространство решений линейного однородного уравнения, фундаментальная система решений. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (на примере уравнений второго порядка). Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Векторная запись, матрица системы. Построение частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида методом неопределенных коэффициентов. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Числовые ряды с неотрицательными членами: критерий и признаки сходимости (первый и второй признаки сравнения, признак Даламбера в предельной форме, интегральный признак). Числовые ряды с неотрицательными членами: критерий и признаки сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенного ряда на интервале сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Ряд Маклорена. Разложения функций:
в ряд Маклорена. Ряд Маклорена. Разложения функций: 
в ряд Маклорена. Ряды Тейлора. Разложимость в ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции с производными, ограниченными в совокупности. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши для дифференцируемых функций. Задачи экономической динамики, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. 