Министерство образования и науки Российской Федерации
ГОУВПО «Мордовский государственный университет им. »
Математический факультет
Кафедра математики и теоретической механики
«УТВЕРЖДАЮ» _____________________ _____________________ «______»__________2012 г. |
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«Вычислительная математика»
Направление подготовки
231000.62 – Программная инженерия
Профиль подготовки
Управление разработкой программных проектов
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
г. Саранск
2012 г.
Цели и задачи учебной дисциплиныЦели изучения дисциплины:
Основная цель освоения дисциплины «Вычислительная математика» – научить студентов использовать численные методы при решении задач, которые описываются системами линейных и нелинейных уравнений, дифференциальными уравнениями, интегральными уравнениями и др. Данная дисциплина призвана подготовить студентов к разработке и применению вычислительных алгоритмов решения математических задач, возникающих в процессе познания и использования в практической деятельности законов реального мира посредством математического моделирования.
Задачи изучения дисциплины:
- ознакомление студентов с преимуществами и недостатками численных методов решения задач; изучение численных методов решения различных задач; продемонстрировать применение изученных методов к решению конкретных задач.
Место учебной дисциплины в структуре ООП
Дисциплина «Вычислительная математика» входит в вариативную часть математического и естественнонаучного цикла. Для изучения дисциплины необходимы знания по следующим дисциплинам "Математический анализ", "Геометрия и алгебра".
Вычислительная математика является базой для дисциплин профессионального цикла, ориентированных на математическое моделирование и программирование.
Знания и навыки, полученные при изучении дисциплины «Вычислительная математика», используются студентами при выполнении курсовых и выпускных квалификационных работ.
Требования к результатам освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
- использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10); способность к формализации в своей предметной области с учетом ограничений используемых методов исследования (ПК-2); готовность к использованию методов и инструментальных средств исследования профессиональной деятельности (ПК-3).
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать: основные определения, понятия, теоремы разделов вычислительной математики предусмотренных программой;
Уметь: решать математические задачи с помощью численных методов, пользоваться накопленными математическими знаниями при изучении других дисциплин;
Владеть: навыками использования численных методов для решения задач производственного характера.
4. Образовательные технологии
Курсы лекционных и лабораторных занятий организуются по стандартной технологии.
5. Структура дисциплины
№ п/п | Раздел учебной дисциплины | Курс | Семестр | Неделя семестра | Виды учебной работы, в т. ч. СРС и трудоёмкость (в часах) | Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) | Форма промежуточной аттестации | ||
лекции | Лабора-торные занятия | СРС* | |||||||
1. | Особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ. Теоретические основы численных методов. Погрешности вычислений. | 3 | 5 | 1 – 2 | 4 | 4 | 8 | КР** №1 (6 – неделя) КР №2 (13 – неделя) | Экзамен |
2. | Численные методы решения уравнений и их систем. | 3 | 5 | 3 – 6 | 14 | 14 | 28 | ||
3. | Интерполирование функций. | 3 | 5 | 7 - 10 | 12 | 12 | 24 | КР №3 ( 17 – неделя) | |
4. | Численное интегрирование и дифференцирование | 3 | 5 | 11 -14 | 10 | 10 | 20 | ||
5. | Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. | 3 | 5 | 15 – 18 | 14 | 14 | 28 |
* СРС – самостоятельная работа студента
** КР – контрольная работа
5.1 Содержание учебной дисциплины (модуля). Объем дисциплины и виды учебных занятий
Вид* учебной работы | Всего часов | Семестры |
5 | ||
Аудиторные занятия (всего) | 108 | 108 |
В том числе: | - | - |
Лекции | 54 | 54 |
Лабораторные занятия (ЛЗ) | 54 | 54 |
Самостоятельная работа (всего) | 144 | 144 |
В том числе: | - | - |
Контрольные работы | 36 | 36 |
Другие виды самостоятельной работы | ||
Самостоятельное изучение разделов, повторение лекционного материала, подготовка к практическим занятиям | 36 | 36 |
Подготовка к текущим и промежуточным контрольным работам | 36 | 36 |
Выполнение индивидуальных домашних заданий | 36 | 36 |
Подготовка к экзамену | 36 | 36 |
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен) | экзамен | |
Общая трудоемкость час зач. ед. | 252 | 252 |
7 | 7 |
5.2. Содержание разделов учебной дисциплины
№ п/п | Наименование раздела дисциплины | Содержание раздела | Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) |
1. | Элементарная теория погрешностей. | Теоретические основы численных методов. Приближенные числа. Источники и классификация погрешности. Точные и приближенные числа. Десятичная запись и округление чисел. Верные значащие цифры. Абсолютная и относительная погрешности. Связь между числом верных знаков и погрешностью числа. Погрешность суммы и разности. Погрешность произведения. Число верных знаков произведения. Погрешность частного. Число верных знаков частного. Погрешность степени и корня. Правила подсчета цифр. Общая формула для погрешности. Обратная задача теории погрешностей. | Контроль домашнего задания. Опрос. |
2. | Численные методы решения уравнений и их систем. | Отделение корней уравнений. Оценка приближенных значений корней уравнений. Метод проб, метод хорд, метод Ньютона (метод касательных), комбинированный метод хорд и касательных. Метод итераций решения уравнений. Сходимость метода итераций. Метод Ньютона. Метод итерации. Сходимость методов Ньютона и итерации. Классификация методов решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Уточнение корней, полученных методом Гаусса. Метод главных элементов. Метод квадратных корней. Схема Халецкого. Метод итерации. Метод Зейделя. Метод релаксации. Условия сходимости итерационных методов решения систем линейных уравнений | Контроль домашнего задания. Опрос КР №1 (6–неделя) КР №2(13–неделя) |
3. | Интерполирование функций. | Конечные разности различных порядков. Таблицы конечных разностей. Обобщенная степень. Постановка задачи интерполирования. Первая интерполяционная формула Ньютона. Вторая интерполяционная формула Ньютона. Оценка погрешности формул Ньютона. Первая и вторая формулы Гаусса. Интерполяционная формула Стирлинга. Интерполяционная формула Бесселя. Оценка погрешности центральных интерполяционных формул. Интерполяционная формула Лагранжа для неравноотстоящих узлов. Интерполяционная формула Лагранжа для равноотстоящих узлов. Вычисление лагранжевых коэффициентов. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа. Разделенные разности. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих узлов. Обратное интерполирование для случая равноотстоящих узлов. Обратное интерполирование для случая неравноотстоящих узлов. Нахождение корней уравнений методом обратного интерполирования. | Контроль домашнего задания. Опрос |
4. | Численное интегрирование и дифференцирование. | Конечные разности различных порядков. Таблицы конечных разностей. Обобщенная степень. Постановка задачи интерполирования. Первая интерполяционная формула Ньютона. Вторая интерполяционная формула Ньютона. Оценка погрешности формул Ньютона. Первая и вторая формулы Гаусса. Интерполяционная формула Стирлинга. Интерполяционная формула Бесселя. Оценка погрешности центральных интерполяционных формул. Интерполяционная формула Лагранжа для неравноотстоящих узлов. Интерполяционная формула Лагранжа для равноотстоящих узлов. Вычисление лагранжевых коэффициентов. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа. Разделенные разности. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих узлов. Обратное интерполирование для случая равноотстоящих узлов. Обратное интерполирование для случая неравноотстоящих узлов. Нахождение корней уравнений методом обратного интерполирования. Постановка задачи приближенного дифференцирования. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на формулах Ньютона. Формула приближенного дифференцирования, основанная на формуле Лагранжа. Оценка погрешностей формул численного дифференцирования. Постановка задачи приближенного дифференцирования. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Формулы прямоугольников. Формула трапеций и ее остаточный член. Формула Симпсона и ее остаточный член. Формула «трех восьмых» и ее остаточный член. Приближенное вычисление несобственных интегралов. Понятие о кубатурных формулах. Квадратурная формула типа Симпсона. | Контроль домашнего задания. Опрос |
5. | Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. | Численные методы решения задачи Коши: постановка задачи, классификация методов. Метод последовательных приближений. Метод Эйлера. Метод разложения решения в степенной ряд. Методы Рунге-Кутта. Оценка погрешности одношаговых методов. Явный и неявный методы Адамса второго порядка. Метод сеток для задачи Дирихле. Решение краевых задач для криволинейных областей. Метод сеток для уравнения параболического типа. Метод прогонки для уравнения теплопроводности. Метод сеток для уравнения гиперболического типа. . | Контроль домашнего задания. Опрос КР №3(17–неделя) |
5.3 Разделы учебной дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№ п/п | Наименование обеспе-чиваемых (последую-щих) дисциплин | № № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин | ||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
1. | Дисциплины профессионального цикла | + | + | + | + | + |
5.4 Разделы дисциплин и виды занятий
№ п/п | Наименование раздела дисциплины | Лекц. | Практ. зан. | Лаб. зан. | Семин | СРС | Все-го час. |
1. | Элементарная теория погрешностей. | 4 | 4 | 8 | 16 | ||
2. | Численные методы решения уравнений и их систем. | 14 | 14 | 28 | 56 | ||
3 | Интерполирование функций. | 12 | 12 | 24 | 48 | ||
4 | Численное интегрирование и дифференцирование. | 10 | 10 | 20 | 40 | ||
5 | Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. | 14 | 14 | 28 | 56 |
6. Лабораторный практикум
№ п/п | № раздела дисциплины | Тематика лабораторных занятий (семинаров) | Трудо-емкость (час.) |
1. | 1. | Абсолютная и относительная погрешности. Верные значащие цифры. Связь между числом верных знаков и погрешностью числа. | 2 |
2. | 1. | Действия над приближенными числами. Оценка погрешности при вычислениях. | 2 |
3. | 2. | Методы отделения корней. | 2 |
4. | 2. | Методы уточнения корней уравнений. | 2 |
5. | 2. | Метод итерации. | 2 |
6. | 2. | Методы решения систем нелинейных уравнений. | 2 |
7. | 2. | Точные методы решения систем линейных уравнений. | 4 |
8. | 2. | Итерационные методы решения систем линейных уравнений. | 2 |
9. | 3. | Первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона. | 3 |
10. | 3. | Центральные интерполяционные формулы. | 3 |
11 | 3. | Интерполяционная формула Лагранжа. | 2 |
12. | 3. | Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих узлов. Обратное интерполирование. | 4 |
13. | 4. | Приближенное дифференцирование. | 4 |
14. | 4. | Формулы приближенного интегрирования. | 4 |
15. | 4. | Приближенное вычисление несобственных интегралов. Понятие о кубатурных формулах. | 2 |
16. | 5. | Одношаговые методы решения задачи Коши. | 4 |
17. | 5. | Многошаговые методы решения задачи Коши. | 4 |
18. | 5. | Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. | 6 |
7. Практические занятия (семинары) не предусмотрены.
8. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Формой текущего контроля успеваемости является проверка выполнения домашних заданий и контрольных работ. В процессе изучения дисциплины студент должен выполнить 3 контрольные работы.
Контрольные работы выполняются в рамках самостоятельной работы студентов. Темы контрольных работ приведены в следующей таблице.
№ | Тема контрольной работы | Срок сдачи (неделя семестра) |
1 | Теория погрешностей. Решение уравнений. | 6-я неделя |
2 | Решение систем уравнений | 13 - неделя |
3 | Интерполяция. Численное интегрирование. Численные методы решения задачи Коши. | 17-неделя |
На лабораторных занятиях решаются задачи из учебников [4,5,6]. Эти же учебники используются при составлении экзаменационных задач. Экзаменационные вопросы составляются на основе приведенного выше содержания разделов дисциплины.
Промежуточная аттестация по итогам освоения дисциплины проводится в виде экзамена. К экзамену допускаются студенты, выполнившие все контрольные работы, и получившие за каждую из них оценку не ниже, чем «удовлетворительно». На экзамене студент вытягивает билет, содержащий два теоретических вопроса и одно практическое задание. Список теоретических вопросов приведен ниже.
Примерный список вопросов к экзамену
Точные и приближенные числа. Источники и классификация погрешностей. Десятичная запись и округление чисел. Абсолютная и относительная погрешности. Верные значащие цифры. Связь между числом верных знаков и погрешностью числа. Погрешность суммы и разности. Погрешность произведения. Число верных знаков произведения. Погрешность частного. Число верных знаков частного. Погрешность степени и корня. Правила подсчета цифр. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Методы уточнения корней уравнений: метод проб, метод хорд, метод касательных, комбинированный метод хорд и касательных. Простейшие итерационные методы уточнения корней уравнений: метод проб, метод хорд, метод касательных, комбинированный метод хорд и касательных. Метод итераций решения уравнений. Сходимость метода итераций. Оценка приближенных значений корней уравнений. Точные методы решения систем линейных уравнений: метод Гаусса, метод главных элементов, метод квадратных корней, схема Халецкого. Приближенные методы решения систем линейных уравнений: метод итерации, метод Зейделя, метод релаксации. Условия сходимости итерационных методов решения систем линейных уравнений. Методы решения систем нелинейных уравнений: метод Ньютона, метод итерации. Интерполирование функций, постановка задачи. Первая интерполяционная формула Ньютона. Вторая интерполяционная формула Ньютона. Интерполяционная формула Лагранжа (для равноотстоящих узлов, для не равноотстоящих узлов). Интерполяционные формулы Ньютона для не равноотстоящих узлов. Оценка погрешностей интерполяционных формул Ньютона и Лагранжа. Интерполяционные формулы Гаусса, Бесселя, Стирлинга. Приближенное дифференцирование. Постановка задачи. Формулы приближенного дифференцирования основанные на формулах Ньютона. Формула приближенного дифференцирования, основанная на формуле Лагранжа. Оценка погрешностей формул численного дифференцирования. Приближенное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса. Формула трапеций и ее остаточный член. Формула Симпсона и ее остаточный член. Формула «трех восьмых» и ее остаточный член. Понятие о кубатурных формулах. Кубатурная формула типа Симпсона. Численные методы решения задачи Коши: постановка задачи, метод Эйлера, метод разложения решения в степенной ряд, метод Рунге-Кутта. Многошаговые методы решения задачи Коши: метод Адамса (явный и неявный методы второго порядка). Метод сеток для задачи Дирихле. Решение краевых задач для криволинейных областей. Метод сеток для уравнения параболического типа. Метод прогонки для уравнения теплопроводности. Метод сеток для уравнения гиперболического типа.По результатам экзамена выставляется оценка
- «отлично», если даны полные развернутые ответы на теоретические вопросы и безошибочно выполнено практическое задание; «хорошо», если даны неполный ответ на теоретические вопросы и в процессе дальнейшего собеседования студент отвечает на все дополнительные вопросы или практическое задание выполнено с незначительными ошибками и в процессе дальнейшего собеседования студент их самостоятельно исправляет; «удовлетворительно», если даны неполные ответы на теоретические вопросы и в процессе дальнейшего собеседования студент отвечает лишь на часть дополнительных вопросов или практическое задание выполнено с ошибками и в процессе дальнейшего собеседования студент не может их самостоятельно исправить; «неудовлетворительно», если не дан ответ на теоретический вопрос и если практическое задание выполнено с грубыми ошибками.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение учебной дисциплины:
а) основная литература
Бахвалов методы. М., «Наука», 1975. - 631с. , Жидков вычислений. Государственное издательство физ.-мат. литературы, Москва, 1959г. - 463с. , Марон вычислительной математики. М., «Наука», 1966. - 664с. , Данилова по вычислительной математике.- 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1990. – 208с. Киреев методы в примерах и задачах: учебное пособие / , . – М.: Высшая школа. – 2008. – 480с. , Марон математика в примерах и задачах. М., «Наука», 1972.- 368с. Лапчик методы: Учебное пособие для студентов вузов/ , , ; Под ред. . – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2005. -384с. Элементы вычислительной математики. Под редакцией . Издательство «Высшая школа», Москва, 1966.-208с.б) дополнительная литература
Бахвалов методы в задачах и упражнениях. Учебное пособие/ , , ; под ред. . - М.: Высшая школа. – 2000. – 190 с. Крылов вычисление интегралов. Москва, 1967. – 500с. азностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
Международный научно-образовательный сайт EqWorld [Электронный ресурс] : Электрон. дан. и прогр. – Режим доступа: http://eqworld. ipmnet. ru/indexr. htm, свободный. – Загл. с экрана. – Дата обращения: 22.05.2011. DMVN [Электронный ресурс] : [портал учебных материалов для студентов мехмата МГУ им. ]. – Режим доступа: http://dmvn. , свободный. – Загл. с экрана. – Дата обращения: 22.05.2011. Википедия [Электронный ресурс] : [свобод. Интернет-энцикл.] – Электрон. дан. и прогр. – Режим доступа: http://ru. wikipedia. org, свободный. – Русскояз. часть междунар. проекта «Википедия». – Загл. с экрана. – Дата обращения: 22.05.2011.10. Материально-техническое обеспечение дисциплины:
Учебная аудитория (наличие доски обязательно), оснащенная оргтехникой; учебная лаборатория, оснащенная персональными компьютерами.
11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:
При преподавании курса необходимо ориентироваться на современные образовательные технологии. Аудиторная и самостоятельная работы должны быть направлены на углубление и расширение полученных знаний, на закрепление приобретенных навыков и применение формируемых компетенций. Кроме того, рекомендуется использовать дифференцированное обучение и активные методы проверки знаний при проведении проверочных работ, тестирования. Это достигается, например, путем организации индивидуальной самостоятельной работы студентов.
При проведении промежуточной аттестации, независимо от формы ее проведения (устной или письменной), важно учесть все виды работ, оценить уровень знаний студентов по всем разделам учебной дисциплины.
Примерный перечень вопросов к экзамену должен доводиться до студентов в начале изучения дисциплины. При необходимости он может быть уточнен не позднее, чем за месяц до начала зачетной сессии.
Авторы (разработчики):
Кафедра математики и теоретической механики | Зав. кафедрой, доцент | |
Кафедра математики и теоретической механики | Доцент | |
Рецензенты(эксперты) | ||
____________________ (место работы) | _______________ (занимаемая должность) | _________________ (инициалы, фамилия) |
____________________ (место работы) | _______________ (занимаемая должность) | _________________ (инициалы, фамилия) |
Программа одобрена на заседании
(Наименование уполномоченного органа вуза (УМК, НМС, Ученый совет)
от года, протокол № .
