УТВЕРЖДЕНО
заседание методического совета
протокол №3 10.10.2017
Докажите, что при любом натуральном n,
не делится на n+3. Дан остроугольный треугольник АВС (АВ=ВС) и ВС=12. AN перпендикулярно ВС. На боковой стороне ВС, отмечена точка М (М лежит между В и N) так, что АN=МN и <ВАМ=<NAС. Найти ВN. Тридцати смышлёным школьникам из 6а, 7а, 8а, 9а, 10а классов поручили составить сорок задач для олимпиады. Любые два одноклассника придумали одинаковое количество задач, а любые два ученика разных классов – разное количество. Сколько человек придумали по одной задаче? Город Кашино состоит из трёх районов: Манкино, Овсянкино и Гречкино. В городе проживают 120 жителей, причём каждый из них проживает в одном из трёх перечисленных районов. В Кашино проживают только рыцари (которые говорят только правду) и лжецы (которые только лгут). На вопрос «Вы проживаете в районе Манкино?» 68 жителей Кашино ответили «да», на вопрос «Вы проживаете в районе Овсянкино?» 59 жителей Кашино ответили «да», а на вопрос «Вы проживаете в районе Гречкино?» ответили утвердительно 46 жителей города Кашино. На следующий день в Манкино приехал доктор Айболит и вылечил всех лжецов Манкино (они стали говорить только правду) (в Овсянкино и Гречкино Айболит не побывал). После этого на вопрос «Вы проживаете в районе Овсянкино?» «да» ответили 34 жителя Кашино. Если бы доктор Айболит приехал не в Манкино, а в Гречкино, то на тот же Вопрос утвердительно ответили бы 43 жителя Кашино. Сколько лжецов проживают в Овсянкино? УТВЕРЖДЕНО
заседание методического совета
протокол №3 10.10.2017
Докажите, что выражение
не равно 77 ни при каких целых значениях х и у. В трапецию АВСD вписана окружность, касающаяся боковой стороны АВ в точке М, причём АМ=18. Найдите стороны трапеции, если её периметр равен 112, а площадь равна 672. Железнодорожная кампания получила заказ на перевозку определённого количества груза. В кампании подсчитали, что если для перевозки выделить вагоны вместимостью 62 тонны, то один вагон останется недогруженным, а если выделить вагоны вместимостью 53 тонны, то понадобится на один вагон больше, чем, если бы вагоны были по 62 тонны, но и при этом последний вагон опять будет недогружен. А вот если взять вагоны вместимостью 45 тонн, то все задействованные вагоны будут загружены полностью, но придётся увеличить число вагонов ещё на два. Определите массу груза. Город Кашино состоит из трёх районов: Манкино, Овсянкино и Гречкино. В городе проживают 120 жителей, причём каждый из них проживает в одном из трёх перечисленных районов. В Кашино проживают только рыцари (которые говорят только правду) и лжецы (которые только лгут). На вопрос «Вы проживаете в районе Манкино?» 68 жителей Кашино ответили «да», на вопрос «Вы проживаете в районе Овсянкино?» 59 жителей Кашино ответили «да», а на вопрос «Вы проживаете в районе Гречкино?» ответили утвердительно 46 жителей города Кашино. На следующий день в Манкино приехал доктор Айболит и вылечил всех лжецов Манкино (они стали говорить только правду) (в Овсянкино и Гречкино Айболит не побывал). После этого на вопрос «Вы проживаете в районе Овсянкино?» «да» ответили 34 жителя Кашино. Если бы доктор Айболит приехал не в Манкино, а в Гречкино, то на тот же Вопрос утвердительно ответили бы 43 жителя Кашино. Сколько лжецов проживают в Овсянкино? УТВЕРЖДЕНО
заседание методического совета
протокол №3 10.10.2017
1. Известно, что a, b и с - натуральные числа, НОК(a, b) = 945, НОК(b, c)= 525. Чему может равняться НОК(a, с)? 2. Точка M лежит на описанной около правильного треугольника ABC окружности и не совпадает с его вершинами. Докажите, что сумма расстояний от точки M до прилегающих вершин треугольника равна расстоянию от точки M до третей его вершины: АМ+СМ=ВМ.
3. Буратино, Карабас-Барабас и Дуремар бегают по тропинке вокруг круглого пруда. Они стартуют одновременно в одной точке, Буратино бежит в одну сторону, а Карабас-Барабас и Дуремар в другую. Буратино бегает в три раза быстрее Дуремара и в четыре раза быстрее Карабаса-Барабаса. После того, как Буратино встретил Дуремара, через 150 метров он встретил Карабаса-Барабсаса. Какова длина тропинки вокруг пруда? 4. При каких значениях a и b уравнения 
и 
имеют два общих корня?
УТВЕРЖДЕНО
заседание методического совета
протокол №3 10.10.2017
1. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если второй член увеличить на 8, то данная прогрессия обратится в арифметическую, но если затем третий член полученной прогрессии будет увеличен на 64, то она опять обратится в геометрическую. Найдите эти числа.
2. Около равнобедренного треугольника с углом 45° при вершине описана окружность. Вторая окружность касается первой внутренним образом и двух боковых сторон данного треугольника. Расстояние от центра второй окружности до данной вершины треугольника равно 4 см. Найдите расстояние от этого центра до центра окружности, вписанной в данный треугольник.
3. Из пункта А в пункт В вышел один пешеход, и с некоторым опозданием – второй. Когда первый прошёл половину пути, второй прошел 15 км, а когда второй прошёл половину пути, первый прошел 24 км. В пункт В пешеходы пришли одновременно. Чему равно расстояние между пунктами А и В?
4. Укажите все значения a, при которых уравнение (х-а)2 – а-1=
имеет хотя бы одно решение, и решите его при каждом а.
