Глава 1. Дискретная случайная величина (стр. 3 )

1.2. р4=0,1;  0  при х≤-1, 

  0,3  при -1<х≤0, 

        0,4  при 0<х≤1,

  F(x)=  0,6  при 1<х≤2,

  0,7  при 2<х≤3,

        1  при х>3

M(Х)=1; D(Х)=2,6; у(Х) ≈1,612.

1.3.

х	1	2	3
р	7/84	1/2	35/84

1.4.

х	2	3	4
р	2/5	8/15	1/15

1.5.

х	0	1	2
р	0,03	0,34	0,63

  0  при х≤0, 

  0,03  при 0<х≤1, 

F(x)=  0,37  при 1<х≤2,

        1  при х>2

1.6.

х	0	1	2	3
р	0,03	0,22	0,47	0,28

M(Х)=2; D(Х)=0,62

1.7.

х	0	10	20	30
р	0,008	0,096	0,384	0,512

  M(Х)=2,4; D(Х)=0,48, P(X>10)=0,896

1.8.

х	0	1	2	3
р	27/512	135/512	225/512	125/512

M(Х)=15/8; D(Х)=45/64; у(Х) ≈ 

1.9.

х	0	1	2	3	4
р	0,0256	0,1536	0,3456	0,3456	0,1296

M(Х)=2,4; D(Х)=0,96

1.10.

х	1	2	3	4
р	0,3	0,21	0,147	0,343

  0  при х≤ 1, 

  0,3  при 1<х≤2, 

F(x)=  0,51  при 2<х≤3,

  0,657  при 3<х≤4,

  1  при х>4

1.11.

х	1	2	3
р	1/3	1/3	1/3

M(Х)=2; D(Х)=2/3

1.12.

х	1	2	3
р	0,9	0,09	0,01

1.13.

х	1	2	3
р	0,3	0,2	0,5

1.14. 1,22• e-0,2≈0,999

1.15. а)0,0189; б) 0,00049

1.16. а)0,0702; б)0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Глава 2. Непрерывная случайная величина

  Определение: Непрерывной называют величину, все возможные значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси.

  Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

  Непрерывную случайную величину можно задавать с помощью функции распределения.

  Определение: Функцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(х), определяющая для каждого значения хR

вероятность того, что случайная величины Х в результате испытания примет значение, меньшее  х:

F(x)=P(X<x),где хR

  Функцию распределения иногда называют интегральной функцией распределения.

Свойства функции распределения:

1)1≤ F(x) ≤1

2)У непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна в любой  точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

3) Вероятность попадания случайной величины Х в один из промежутков (а;b), [а;b), [а;b], равна разности значений функции F(х) в точках а и b, т.е. Р(а<Х<b)= F(b)- F(a)

4)Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно отдельное значение равна 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

  Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Введем понятие плотности распределения вероятностей (плотность распределения).

  Определение: Плотностью распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т. е.:

f(x)=F’(x)

  Плотность распределения вероятностей иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения.

  График плотности распределения вероятностей f(x) называется кривой распределения вероятностей.

Свойства плотности распределения вероятностей:

1)f(x) ≥0,при хR

  х

2) F(x)= ∫ f(x)dx

  -∞

Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения снизу осью ОХ и лежащей левее точки х (рис.1)

  b

3) Р(а<Х<b)= ∫ f(x)dx

  a

  Геометрически полученная вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения, снизу осью ОХ, слева и справа прямыми х=а, х=b (рис. 2)

  -∞

4) ∫ f(x) dx=1-условие нормировки

  +∞ 

 

  рис.1  рис.2

  Задача №1.Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

  0  при х≤2,

f(x)=  с(х-2)  при 2<х≤6,

  0  при х>6.

  Найти: а) значение с; б) функцию распределения F(х) и построить ее график; в) Р(3≤х<5)

  Решение:

  +∞

  а) Значение с найдем из условия нормировки: ∫ f(x)dx=1.

  Следовательно,  -∞

+∞  2  6  +∞  6  6

∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(х-2)dx +∫ 0dx= c∫ (х-2)dx=с(х2/2-2х)  =с(36/2-12-(4/2-4))=8с;

-∞  -∞  2  6  2  2        

8с=1;

с=1/8. 

  х

  б) Известно, что F(x)= ∫ f(x)dx

  -∞

  Поэтому,  х

если х≤2, то F(x)= ∫ 0dx=0;

  -∞  2  2  х

если 2<х≤6, то  F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х)  = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

  -∞  -∞  2

=1/8(х2/2-2х+2)=1/16(х-2)2;

  2  6  х  6  6

если х>6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(х-2)dx=1/8(х2/2-2х)  =

  -∞  2         6  2  2

=1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8•8=1.

Таким образом,

  0  при х≤2,

F(х)=  (х-2)2/16  при 2<х≤6,

1  при х>6.

График функции F(х) изображен на рис.3

  рис.3

в) Р(3≤Х<5)=F(5)-F(3)=(5-2)2/16-(3-2)2/16=9/16-1/16=5/16.

  Задача №2. Случайная величина Х задана функцией распределения:

  0  при х≤0,

F(х)=  (3• arctg х)/р при 0<х≤√3,

  1  при х>√3.

Найти дифференциальную функцию распределения f(х) 

Решение: Т. к. f(х)= F’(x), то 

  0  при х≤0,

f(х)=  (3•(1+х2)) /р при 0<х≤√3,

  0  при х>√3.

Числовые характеристики

  Понятие математического ожидания М (Х) и дисперсии D(X) введенные ранее дискретной случайной величины, можно распространить на непрерывные случайные величины.

Математическое ожидание М (Х) непрерывной случайной величины Х определяются равенством:

  +∞

M(X)= ∫ x•f(x)dx,

  -∞

при условии, что этот интеграл сходится абсолютно.

Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

  +∞

D(X)= ∫ (х-М(х)2)•f(x)dx, или

  -∞

  +∞

D(X)= ∫ х2•f(x)dx - (М(х))2

  -∞

Среднее квадратическое отклонение у(Х) непрерывной случайной величины определяется равенством: