Глава 1. Дискретная случайная величина (стр. 4 )

  Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дисперсных случайных величин, справедливы и для непрерывных.

  Задача №3. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x):

  0  при х≤0,

f(х)=  х/3  при 0<х≤2,

  1/3 при 2<х≤3,

  0  при х>3.

Найти M(X),D(X),у(Х), а также P(1<х<5)

Решение

  +∞  0  2  2  +∞  2  3 

M(X)= ∫ х•f(x)dx=∫ х•0dx+∫ х•х/3 dx+∫ х/3dx+∫ 0•х•dx=1/3∫х2dx+1/3∫ хdx=

  -∞  0  3  2 3  0  3  3  0  2 

  = x3/9  +  х2/6  =  8/9-0+9/6-4/6=31/18,

  2  2

  +∞  2  3  2  3

  D(X)= ∫ х2• f(x)dx-(М(х))2=∫ х2•х/3•dx+∫1/3х2 dx=(31/18)2=х4/12  +х3/9  -

  -∞  0  2  0  2

  - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

 

  5  2  3  5  2  3

  P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6  +1/3х  =

  1  1  2  3  1  2

  = 4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Задачи для самостоятельного решения.

  2.1.Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

  0  при х≤0,

  F(х)=  при 0<х≤1,

  1  при  х>1. 

  Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также

Р(-1/2<Х<1/2).

  2.2.Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

  0  при х≤ р/6,

  F(х)=  - cos 3x  при р/6<х≤ р/3,

  1  при  х> р/3. 

  Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также

Р(2р /9<Х< р /2).

  2.3. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

  0  при х≤2,

  f(х)=  с•х  при 2<х≤4,

  0  при  х>4. 

  Найти: а) число с; б) М(Х), D(X).

  2.4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

  0  при х≤0,

  f(х)=  с•√х  при 0<х≤1,

  0  при  х>1. 

  Найти: а) число с; б) М(Х), D(X).

  2.5. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

  f(х)=    при х[3;5],

  0  при  х [3;5]. 

  Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), у(Х); в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4).

  2.6. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

f(х)=  2(х-2)  при х[2;3],

  0  при х [2;3].

  Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), у (Х); в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку [1;2,5].

  2.7. Функция f(х) задана в виде:

f(х)=  при  х[-√3/2 ; √3/2],

  0  при  х[-√3/2 ; √3/2].

  Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x).

  2.8.Функция f(x) задана в виде:

f(х)=    при  х[- р /4 ; р /4],

  0  при  х[- р /4 ; р /4].

  Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x).

  2.9. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F(х)= 

. Найти вероятность того, что

случайная величина Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7.

  2.10. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (-1;4),

задана функцией распределения F(х)=  . Найти вероятность того, что

случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) не меньше 4.

  2.11. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

f(х)=  при  х[1; е],

  0  при  х[1; е].

  Найти: а) число с; б) М(Х); в) вероятность Р(Х> М(Х)).

  2.12. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

f(х)=  при  х[0; р],

  при  х[0; р].

  Найти: а) М(Х); б) вероятность Р(Х≤М(Х))

  2.13. Распределение Ремя задается плотностью вероятности:

  0  при х<0,

  f(х)=    при х ≥0.

  Доказать, что f(x) действительно является плотностью распределения вероятностей.

  2.14. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

  0  при х<0,

  f(х)=  с•х•е-х при х ≥0.

Найти число с.

  2.15.Случайная величина Х распределена по закону Симпсона (равнобедренного треугольника) на отрезке [-2; 2] (рис.4). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси.

(рис.4)         (рис.5)

  2.16. Случайная величина Х распределена по закону «прямоугольного треугольника» в интервале (0;4) (рис.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси.

Ответы

2.1.

  0  при х≤0,

  f(х)=    при 0<х≤1,

при  х>1.

Р(-1/2<Х<1/2)= 2/3.

2.2.  0  при х≤ р/6,

  F(х)=  3sin 3x  при р/6<х≤ р/3,

  0  при  х> р/3. 

Р(2р /9<Х< р /2)=1/2.

2.3. а) с=1/6, б) М(Х)=3 в) D(X)=26/81.

2.4. а) с=3/2, б) М(Х)=3/5 в) D(X)=12/175.

2.5.  0  при  х≤3,         

а) F(х)=    при 3<х≤5,

  1  при  х>5. 

б) M(X)=3  , D(X)=2/9, у (Х)= √2/3;

в)3/8.

2.6.        0  при  х≤2, 

а) F(х)=  (х-2)2 при 2<х≤3,

  1  при  х>3.

б) M(X)=2  , D(X)=3, у (Х)= ≈ 1,893.

в)9/64.

2.7. а) с=        

       0  при  х≤√3/2,

б) F(х)= 

  при -√3/2<х≤√3/2,

  1  при  х>√3/2.

2.8. а) с=1/2

        0  при  х≤- р /4,

б) F(х)=  при - р /4 <х≤ р /4, 

  1  при  х> р /4. 

2.9.  а)1/4; б) 0.

2.10. а)3/5; б) 1.