2.11.а)с=2; б)М(Х)=2; в)1-ln22≈0,5185.
2.12. а) М(Х)= р /2 ; б) 1/2
2.14. с=1.
2.15. f(х)= 
при х
[-2; 2],
0 при х
[-2; 2].
2.16. f(х)= 
при х
(0;4),
0 при х
(0;4).
Глава 3. Некоторые законы распределения непрерывной
случайных величин.
§1. Равномерный закон распределения
Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е.
0 при х≤а,
f(х)=
при a<х<b,
0 при х≥b.
График функции f(x) изображен на рис. 1
(рис. 1) (рис.2)
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, задается формулой:
0 при х≤а,
F(х)= 
при a<х≤b,
0 при х>b.
Ее график изображен на рис. 2.
Числовые характеристики случайной величины равномерно распределенной на интервале (a;b), вычисляются по формулам:
M(Х)=
, D(X)=
, у(Х)=
.
Задача№1. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [3;7]. Найти:
а) плотность распределения вероятностей f(x) и построить ее график;
б) функцию распределения F(x) и построить ее график;
в) M(X),D(X), у(Х).
Решение: Воспользовавшись формулами, рассмотренными выше, при а=3, b=7, находим:
0 при х<3,
а) f(х)= 
при 3≤х≤7,
0 при х>7
Построим ее график (рис.3):
рис.3
б) 0 при х≤3,
F(х)= 
при 3<х≤7,
1 при х>7 .
Построим ее график (рис.4):
рис.4
в) M(X) = 
=
=5,
D(X) = 
=
=
,
у (Х) = 
=
=
.
§2. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром л>0, если функция плотности распределения вероятностей имеет вид:
0 при х<0,
f(х)= ле-лх при х≥0.
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону, задается формулой:
0 при х≤3,
F(х)= 1-e-лх при х≥0.
Кривая распределения f (х) и график функции распределения F(х) случайной величины Х приведены на рис.5 и рис.6.
рис.5 
рис.6
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны:
M(X)=
, D(X)=
, у (Х)=
Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.
Вероятность попадания Х в интервал (a;b) вычисляется по формуле:
Р(a<Х<b)= e-ла - e-лb
Задача №2. Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:
а) плотность распределения вероятностей;
б) функцию распределения;
в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч.
Решение: По условию математическое распределение M(X)=
=100, откуда л=1/100=0,01.
Следовательно,
0 при х<0,
а) f(х)= 0,01е -0,01х при х≥0.
б) F(x)= 0 при х<0,
1- е -0,01х при х≥0.
в) Искомую вероятность найдем, используя функцию распределения:
Р(X>120)=1-F(120)=1-(1- е -1,2)= е -1,2≈0,3.
§3.Нормальный закон распределения
Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид:
,
где m=M(X), у2=D(X), у>0.
Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой (рис.7)
Нормальная кривая симметрична относительно прямой х=m, имеет максимум в т. х=а, равный 
.
рис.7
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф (х) по формуле:
,
где - функция Лапласа.
Замечание: Функция Ф(х) является нечетной (Ф(-х)=-Ф(х)), кроме того, при х>5 можно считать Ф(х) ≈1/2.
График функции распределения F(x) изображен на рис. 8
рис.8
Вероятность того, что случайная величина Х примет значения, принадлежащие интервалу (a;b) вычисляются по формуле:
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа д вычисляется по формуле:
В частности, при m=0 справедливо равенство:
«Правило трех сигм»
Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m и у, то практически достоверно, что ее значение заключены в интервале (a-3у; a+3у), т. к.
Задача №3. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 32 и дисперсией 16. Найти: а)плотность распределения вероятностей f(x); б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (28;38).
Решение: По условию m=32, у2=16, следовательно, у=4, тогда
а)
б) Воспользуемся формулой:
Подставив a=28, b=38, m=32, у=4, получим
По таблице значений функции Ф(х) находим Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413.
Итак, искомая вероятность:
P(28<X<38)= 0,4332+0,3413=0,7745.
Задачи для самостоятельной работы
3.1. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-3;5). Найдите:
а) плотность распределения f(x);
б)функции распределения F(x);
в)числовые характеристики;
г)вероятность Р(4<х<6).
3.2. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [2;7]. Найдите:
а) плотность распределения f(x);
б)функции распределения F(x);
в)числовые характеристики;
г)вероятность Р(3≤х≤6).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
