МИНОБРНАУКИ РФ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Факультет математики, механики и компьютерных наук
Рассмотрено и рекомендовано на заседании кафедры высшей математики исследования операций ЮФУ Протокол №_1___________ "__30___"___августа_______2011г. Зав. кафедрой ________________ | УТВЕРЖДАЮ Декан факультета (зам. декана по учебной работе) ___________________ "____"____________2011 г. |
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
учебной дисциплины "Математическое моделирование на основе нечётких множеств"
вузовского компонента цикла ОПД
по специальности 010501прикладная математика и
информатика
Семестр 6
Всего часов –68, из них – лекции 34,
–самостоятельная работа - 34час.
Отчетность по курсу – экзамен
Составитель: доц.
Утвержден Советом Южного федерального университета
Протокол №_____ от «______» _________ 2011г.
Ростов-на-Дону
2011
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……...………….……………………………………………….4
Содержание курса…………………..……………………………..5 Календарно-тематический план занятий……………………..…6 Рекомендуемая литература……..………………………………..8 Варианты предлагаемых на зачете заданий……...…..………….9 Темы для докладов………………………………………………..11ВВЕДЕНИЕ
Специальный курс читается в 6-м семестре для студентов по специальности ”Математические методы и исследование операций в экономике”.
Аннотация:
Данный курс знакомит с основными понятиями теории нечетких множеств, рассматривая их как результат обобщения аналогичных понятий в классической математике. Предлагаемые в курсе теоретические результаты определяют базу для рассмотрения математических моделей (разбиения на торговые зоны, автоматической классификации), для формулировки оптимизационных задач и задач управления в нечетких ситуациях, построения экспертных систем.
Цель спецкурса:
познакомить студентов с основными понятиями теории нечетких множеств, создать теоретическую базу и показать возможность использования ее в математическом моделировании и при построении экспертных систем.
Форма проведения занятий: лекции.
Форма контроля:
итоговый контроль: экзамен в конце семестра.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Тема 1. ПОНЯТИЕ НЕЧЕТКОГО МНОЖЕСТВА
Определение нечеткого множества (НМ). Пустое НМ. Универсальное НМ. Носитель НМ. Операции над НМ: включение, равенство, дополнение, пересечение, объединение, декартово произведение. Множество уровня НМ. Теорема о декомпозиции. Простейшая модель разбиения на торговые зоны.
Тема 2. ФУНКЦИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Содержательная интерпретация функции принадлежности (ФП). Построение ФП на основе экспертных оценок. Универсальные шкалы. Метод построения ФП, использующий уровневые множества.
Тема 3. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ
Определение нечеткого отношения (НО). Операции над НО. Уровневое НО. Свойства нечетких бинарных отношений. Вторая модель разбиения на торговые зоны.
Тема 4. Принятие решений в нечетких условиях.
Различные модели принятия решений.
Многоэтапные процессы принятия решений в нечетких условиях. Решение задачи
Тема 5. ОТОБРАЖЕНИЯ В ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Отображения в теории НМ. Определение прообраза НМ при нечетком отображении. Теорема о функции принадлежности прообраза. Задача принятия решений в нечетких условиях. Многоэтапные процессы принятия решений в нечетких условиях. Задача математического программирования (ЗМП) с нечетким множеством допустимых решений. Постановка задачи. Подход I к решению ЗМП, основанный на замене ее совокупностью обычных задач максимизации на уровневых множествах допустимых решений. Теорема о функции принадлежности НМ-решения ЗМП. НМ-оптимальное значение. Его свойства. Подход II к решению ЗМП, основанный на сведении ее к двухкритериальной задаче оптимизации. Связь между I-м и II-м подходами.
Тема 6. ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННАЯ
Определение. Модель автоматической классификации, использующая лингвистические переменные.
Тема 6. НЕДОМИНИРУЕМЫЕ АЛЬТЕРНАТИВЫ
Нечеткое множество недоминируемых альтернатив. Вывод формулы функции принадлежности.
Обобщение нечеткого отношения на класс нечетких множеств.
Задача рационального выбора альтернатив с учетом набора признаков.
Упорядочение объектов по набору признаков.
КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
Тема занятия | Количество часов |
| Определение нечеткого множества (НМ). Пустое НМ. Универсальное НМ. Носитель НМ. Операции над НМ: включение, равенство, дополнение, пересечение, объединение, декартово произведение. | 2 |
| Множество уровня НМ. Теорема о декомпозиции. Решение задач | 2 |
| Содержательная интерпретация функции принадлежности (ФП). Построение ФП на основе экспертных оценок. Решение задач | 2 |
| Понятие лингвистической переменной. Нечеткая переменная. Примеры. Требования к функциям принадлежности, соответствующим термам некоторой лингвистической переменной. | 2 |
| Определение нечеткого отношения (НО). Операции над НО. Уровневое НО. Свойства нечетких бинарных отношений. Транзитивное замыкание. Классификация отношений. Решение задач | 2 |
| Простейшая модель разбиения на торговые зоны. Вторая модель разбиения на торговые зоны. Решение задачи | 2 |
| Использование отношения порядка на множестве лингвистических векторных оценок при принятии решений при качественной и вероятностной неопределенности. Решение модельного примера. | 2 |
| Отображения в теории НМ. Определение прообраза НМ при нечетком отображении Теорема о функции принадлежности прообраза. Решение задач | 4 |
| Задачи принятия решений в нечетких условиях. Решение модельных задач | 2 |
| Многоэтапные процессы принятия решений в нечетких условиях. Решение задачи | 2 |
| Задача математического программирования (ЗМП) с нечетким множеством допустимых решений. Постановка задачи. Подход к решению ЗМП, основанный на замене ее совокупностью обычных задач максимизации на уровневых множествах допустимых решений. Теорема о функции принадлежности НМ-решения ЗМП. НМ-оптимальное значение. Его свойство | 2 |
| Подход к решению ЗМП, основанный на сведении ее к двухкритериальной задаче оптимизации. Связь между этими подходами. Решение задач | 4 |
| Нечеткие отношения предпочтения: нечеткое отношение нестрогого предпочтения, отношение квазиэквивалентности и строгого предпочтения. Связь между ними. Нечеткое множество недоминируемых альтернатив. Вывод формулы функции принадлежности. Обобщение нечеткого отношения на класс нечетких множеств. Задача рационального выбора альтернатив с учетом набора признаков. Доклад. | 2 |
| Нечетко-множественный комплексный финансовый анализ эмитента ценных бумаг. Доклад. | 2 |
| Нечетко-множественный подход к оценке эффективности инвестиционного проекта. Доклад. | 2 |
Итого: | 34 |
3. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
4. ВАРИАНТЫ ПРЕДЛАГАЕМЫХ НА ЗАЧЕТЕ ЗАДАНИЙ
ВАРИАНТ 1.
1.Определение нечеткого множества. Понятие множества уровня. Есть ли в билете задачи, решение которых использует уровневые множества.
2. Указать тему лекции, используя которую будете решать задачу.
Решить задачу принятия решений, если допустимые альтернативы заданы нечетким множеством С на X, а нечеткая цель есть отрезок G=[4,9]⊂Y, при этом
, y=x2.
3. Указать тему лекции, используя которую будете решать задачу.
Используя первый подход максимизировать функцию 
, если допустимые альтернативы заданы нечетким множеством С.
При этом 
, а значения
заданы в таблице
|
|
|
|
|
|
| 45 | 50 | 120 | 100 | 50 |
4. Как изменится решение задачи принятия решения в многоэтапном процессе, если изменить данные в таблице
U0 | б1 | б2 |
м0 (U0) | 1 | 0,6 |
ВАРИАНТ 2.
1.Перечислите основные операции над нечеткими множествами. Вставьте знак включения между 
и 
.
Какие операции используете при решении задач из данного билета.
2.Указать тему лекции, используя которую будете решать задачу.
Решить задачу максимизации функции
на нечетком множестве допустимых альтернатив, если
допустимые альтернативы заданы нечетким множеством G на Х, при этом
, и 
= -2x-1.
3. Указать тему лекции, используя которую будете решать задачу.
Решить следующую задачу принятия решений, если
допустимые альтернативы заданы нечетким множеством С, а нечеткая цель задана нечетким множеством G, где
, 
.
Реакция Уj на альтернативу Xi определяется отображением 
,
а 
задается таблицей
У1 У2 У3 У4
X1 |1 0,6 0,2 0
X2 |1 1 0 0
X3 |1 0 1 1
X4 |0,9 1 0,4 1
4. Как изменится решение задачи принятия решения в многоэтапном процессе, если изменить данные в таблице
U1 | б1 | б2 |
м1 (U1) | 0,5 | 0,6 |
ВАРИАНТ 3.
1. Понятие лингвистической переменной. Нечеткая переменная. Связь между ними. Приведите примеры.
2. Указать тему лекции, используя которую будете решать задачу.
Найти
, если ограничения на множестве альтернатив задает нечеткое множество С, а функция цели 
.
|
|
|
|
|
|
| 0 | 0,2 | 0,7 | 1 | 0,3 |
| 45 | 50 | 120 | 100 | 50 |
3. Указать тему лекции, используя которую будете решать задачу.
Решить задачу принятия решений, если допустимые альтернативы заданы нечетким множеством С на X, а нечеткая цель есть отрезок G=[4,9]⊂Y, при этом
, y=x2.
4. Как изменится решение задачи принятия решения в многоэтапном процессе, если изменить данные в таблице
X2 | у1 | у2 | у3 |
мG2 (U0) | 1 | 0,8 | 0,3 |
ВАРИАНТ 4.
1. Сформулируйте постановку многоэтапного процесса принятия решения в нечетких условиях.
2. Указать тему лекции, используя которую будете решать задачу.
Решить задачу принятия решений, если допустимые альтернативы заданы нечетким множеством С на базовом множестве Х, а нечеткая цель задана нечетким множеством G на базовом множестве Y. При этом
, 
.
Связь между реакциями и альтернативами устанавливает отображение 
У1 У2 У3 У4
X1 |0 0,6 0,2 0
X2 |1 1 0 0
X3 |1 0 1 1
X4 |0,9 1 0,4 1
X5 |0 1 0 0,2
3. Указать тему лекции, используя которую будете решать задачу.
Решить задачу максимизации функции
на нечетком множестве допустимых альтернатив, если
допустимые альтернативы заданы нечетким множеством C на Х, при этом
, и 
= x2.
4. Как изменится решение задачи принятия решения в многоэтапном процессе, если изменить данные в таблице
f(Ut, x) | у1 | у2 | у3 |
б1 | у2 | у1 | у3 |
б2 | у3 | у2 | у2 |
ТЕМЫ ДЛЯ ДОКЛАДОВ.
Тема 1. Нечеткие отношения предпочтения: нечеткое отношение нестрогого предпочтения, отношение квазиэквивалентности и строгого предпочтения. Связь между ними. Нечеткое множество недоминируемых альтернатив. Вывод формулы функции принадлежности.
Тема 2. Обобщение нечеткого отношения на класс нечетких множеств. Задача рационального выбора альтернатив с учетом набора признаков.
Тема 3. Нечетко-множественный комплексный финансовый анализ эмитента ценных бумаг.
Тема 4. Нечетко-множественный подход к оценке эффективности инвестиционного проекта.
