Компьютерное моделирование в радиофизике и электронике . . . КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени АЛЬ-ФАРАБИ (стр. 16 )

Информационно-энтропийные характеристики импульсов

При одинаковой амплитуде и длительности импульса (сигнала, наблюдаемого за конечное время) его форма может представлять кривые различной сложности: регулярные хаотические, фрактальные с самоподобной структурой, перемежаемостью и т. д. Измерение сложных характеристик всегда сопровождается с некоторой неопределенностью. Наиболее полной и универсальной мерой неопределенности при статистическом описании объекта является информационная энтропия, которая дополняет  вышеуказанные статистические характеристики [3].

Для практических приложений необходимо выяснить, например, следующие вопросы: каким образом создать и теоретически описать работу генератора самоорганизованных сигналов, каковы количественные информационно-энтропийные критерии степени самоорганизации импульсов (сигналов конечной длительности) различной формы?

Коэффициенты формы импульсов. Информационная энтропия является метрической и топологической характеристикой. Чтобы количественно описать ее закономерности необходимо  пользоваться еще другой, например, чисто метрической характеристикой. Для этой цели установим наиболее общую метрическую характеристику, однозначно описывающую различие форм отдельных импульсов. Воспользуемся тем, что существование метрических характеристик (длины, площади, объема) следует из выполнения неравенства Коши-Буняковского:

        или ,        (30)

где и могут иметь смысл текущего и характерного времени. Равенство выполняется при

               (31)

Величина k1  используется в радиофизике и называется коэффициентом формы импульсных сигналов.

Неравенство (30) следует из интегрального неравенства Гельдера для любых функций , записанного в виде

,

       ,         (32)

где – коэффициент, при постоянном значении которого выполняется равенство в (32). При , мы получим формулу (31). Для случая в (32) выполняется равенство при

       .        (33)

В случае n переменных, включая время (параметр) t, можно пользоваться средним значением

               (34)

где – число сочетаний из n по 2.

Введение величин kn является необходимым для описания самоаффинных кривых (более подробно о самоаффиных кривых рассмотрим в следующей главе). Дело в том, что известные характеристики, например, как метрическая характеристика расстояние и статистическая характеристика дисперсия, определяемые даже по двум безразмерным переменным не учитывают асимметрию кривой по параметру (времени) в отличие от величин kn. Поэтому величины kn можно назвать коэффициентами формы, зависящей от n переменных.

Виды импульсов

Представим импульсный сигнал определенной формы – структуру в виде

                (35)

где – максимальная амплитуда сигнала T – длительность импульса по времени t. Для колебательных процессов с симметрией по t функция описывает изменение относительного значения модуля внутри полупериода, т. е. T имеет смысл полупериода.

Реализацию произвольной длительности можно представить через набор структурных функций в виде

               (36)

где – целые случайные числа. Вид структуры одного типа определяется как

       .        (37)

Формулы (36), (37) наглядно иллюстрируют необходимость знания свойств импульсов (временных структур) для теории и практики актуальных проблем как выделение сигнала из шума, структурное осреднение и т. д. Выбор значений Tk представляет отдельную задачу. Мы рассмотрим общие статистические закономерности импульсов, считая известным Т в (35).

Ниже представлены виды и типы различных импульсов при T = 1.

Таблица 1. Виды импульсов

	Вид импульса	Тип импульса
1	sign(sin(πt))	прямоугольный
2	, n = {0,005; 0,01; 0,025; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5}	синусоидальный, преобразованный
3		синусоидальный
4		треугольный
5		пилообразный
6		колоколообразный
7		солитоноподобный
8	,  a, b=const	решения уравнения Ван-дер-Поля
9	численные реализации	решения уравнения ГИН

На рис. 4 показаны формы импульсов из табл. 1.

 

Рис. 4. Форма сигналов с их нумерацией в соответствии с табл.1

Можно заметить, что кривые, расположенные выше биссектрисы, в начальные моменты времени имеют простую форму, а расположенные ниже биссектрисы – могут иметь простую или сложную форму. Для количественного описания степени сложности импульсов воспользуемся определениями коэффициента формы k2(x, t) и информационной энтропии S в виде

       ,        (38)

       ,        (39)

где <|x|> – среднее значение модуля реализации, Pi(д) – вероятность реализации x(t) в ячейке д с номером i,.

Ниже приводится пример программы вычисления коэффициента формы сигнала и информационной энтропии.

% Листинг файл-программы для чтения файл-функции

% (таблица.1), вычисления коэффициента формы и

% информационной энтропии сигналов. Результаты

% программы записываются в виде текстового файла.

clear;

format long;

h = 0.001;

N = 10000;

% ----- для треугольного сигнала -----

  Tt = [0:1/N:1];

  Tx = asin(sin(pi*Tt));

  Tx = Tx/sqrt((sum(Tx.^2)/N));

  mxTx = max(Tx);

  mnTx = min(Tx);

  % график треугольного сигнала

  %plot(Tt, Tx,'-');

  % ----- энтропия для треуг. сигн. ----