Глава 2
ФУРЬЕ-АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
Периодические сигналы
По определению периодической функцией называют функцию, отвечающую условию:
(1)
где Т – период функции.
Для нахождения спектрального разложения функции s(t) введем в рассмотрение следующие наборы функций:
(2)
Любая функция из (2), которую для краткости обозначим 
, удовлетворяет условию периодичности (1).
Рассмотрим 3 следующих интеграла:
(3)
Функции, удовлетворяющие условию (3), называют ортогональными, а систему функций (2) называют ортонормированным базисом, образованным гармоническими функциями с кратными частотами. Условие ортогональности можно записать в компактной форме, используя символ Кронекера:
, (4)
где
Разложим произвольную периодическую функцию s(t) в ряд:
(5)
Представление (5) называется обобщенным рядом Фурье функции s(t) в выбранном базисе.
Коэффициенты данного ряда находятся умножением (5) на базисную функцию 
и интегрированием по периоду функции s(t):
. (6)
Откуда, используя свойство ортонормированности (4), найдем
. (7)
Подставляя в (7) набор функций (2), найдем значения коэффициентов ряда:
(8а)
(8б)
(8в)
Введя основную частоту 
последовательности, образующей периодическую функцию s(t), запишем ряд Фурье для периодического сигнала
. (9)
Анализ (9) показывает, что функция s(t) содержит независящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами 
, кратными основной частоте последовательности. Можно показать, что имеет равенство [1]
. (10)
Если записать коэффициенты ряда Фурье в виде
где
то получим эквивалентную форму ряда Фурье:
. (11)
Спектральное разложение периодической функции можно выполнить, используя систему базисных функций в виде экспонент с мнимыми показателями:
(12)
которые являются ортогональными. Ряд Фурье в данном случае принимает вид
(13)
с коэффициентами
(14)
На практике принято использовать и другую форму записи ряда Фурье
(15)
где
(16)
Выражения (13) – (16) представляют собой ряд Фурье в комплексной форме [1].
В пакете MATLAB получим разложение в ряд Фурье произвольных функций. Для этого создадим следующие m-файлы:
1. FF. m – описание функции, разлагаемой в ряд Фурье.
2. AF. m – описание функции, возвращающей значение заданного коэффициента разложения в ряд Фурье по косинусам в соответствии с (8а), (8б).
3. BF. m – описание функции, возвращающей значение заданного коэффициента разложения в ряд Фурье по синусам в соответствии с (8в).
% Листинг файл-функции FF. m
function z=FF(t, T)
N=length(t);
for i=1:N
if t(i)<0
z(i)=0
end;
if (t(i)>=0)&(t(i)<=T/2)
z(i)=1/2;
end;
if (t(i)>T/2)&(t(i)<=T)
z(i)=-1/2;
end;
if t(i)>T
z(i)=0;
end;
end;
_______________________
% Листинг файл-функции АF. m
function z=AF(k, T)
dt=T/1000;
t=0:dt:T;
F=FF(t, T).*cos(2*pi*k/T*t);
z=2/T*trapz(t, F);
________________________
% Листинг файл-функции ВF. m
function z=BF(k, T)
dt=T/1000;
t=0:dt:T;
F=FF(t, T).*sin(2*pi*k/T*t);
z=2/T*trapz(t, F);
______________________
% Листинг файла, позволяющий получить
% значение ряда Фурье
Nf=9; % число гармоник
k=1:Nf;
T=1; % длительность импульса
% вычисление коэффициентов А(0), А(k) и B(k)
A0=AF(0,1);
for k=1:Nf
A(k)=AF(k, T);
B(k)=BF(k, T);
end;
% вычисление значений усеченного ряда Фурье на временном
% интервале [0,1]
Np=1000;
t=0:T/Np:1;
for i=1:Np+1
S=A0/2;
for k=1:Nf
S=S+A(k)*cos(2*pi*k/T*t(i))+…
B(k)*sin(2*pi*k/T*t(i));
end;
s(i)=S;
end;
plot(t, s,'k',t, FF(t, T),'k--')
Результат программы представлен на рис. 1. Сравнение графиков исходной функции и функции, являющейся результатом разложения в ряд Фурье обнаруживает их отличие. Обнаруженное отличие между исходной функцией и усеченным рядом Фурье носит название эффекта Гиббса. Увеличение числа членов усеченного ряда Фурье приводит к уменьшению отличия межу функциями f(t) и s(t).
******************
Задания
1. Для количественных характеристик отличия между функциями f(t) и s(t) при различном числе членов усеченного ряда Фурье можно использовать максимальное значение функции f(t) – s(t) и дисперсию данной функции. Постройте при различных значениях числа членов усеченного ряда Фурье Nf:
а) графики функций f(t) – s(t);
б) оцените периоды колебаний функции и сравните его с периодами колебаний последнего члена ряда Фурье.
2. Постройте зависимости максимального значения функции f(t) – s(t) и ее среднеквадратичного отклонения от числа членов усеченного ряда Фурье на временном интервале [0.05; 0.045].
Непериодические сигналы
Рассмотрим обобщение метода рядов Фурье на случай непериодических сигналов, позволяющее получать их спектральные характеристики. В теории обработки радиотехнических сигналов она называется задачей анализа [3].
Пусть функция s(t) задана на временном интервале конечной длительности [0, T]. Дополнив данную функцию такими же сигналами, периодически следующими через интервал времени Т, получим периодическую последовательность (15) в виде комплексного ряда Фурье. Для возвращения к одиночному интервалу устремим к бесконечности период повторения Т, при этом:
частоты соседних гармоник nω и (n+1)ω окажутся сколь угодно близкими, поэтому в формулах (15) и (16) дискретную переменную nω можно заменить непрерывной переменной ω; коэффициенты Cn станут неограниченно малыми из-за наличия величины Т в знаменателе формулы (16).Для нахождения предельного вида (15) введем понятие спектральной плотности мощности, воспользовавшись тем, что коэффициенты ряда Фурье образуют комплексно сопряженные пары:
а каждой паре отвечает простое гармоническое колебание
с комплексной амплитудой 
.
На малом интервале частот 
в окрестности некоторого значения частоты ω0 будет содержаться 
отдельных пар спектральных составляющих, частоты которых отличаются сколь угодно мало, поэтому составляющие можно складывать, предполагая, что они имеют одну и ту же частоту и характеризуются одинаковым комплексными амплитудами. Таким образом, комплексная амплитуда эквивалентного гармонического сигнала, отображающая вклад всех спектральных составляющих, содержащихся внутри интервала 
, равна
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 |
