ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТА MAPLE ДЛЯ РЕШЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
ТУИТ, Каршинский филиал, Узбекистан
Научный руководитель: Старший преподаватель
В работе рассмотрено вычислений площади и объемы геометрических фигур, используя пакета Maple. Maple - это пакет для аналитических вычислений на компьютере, содержащий более двух тысяч команд, которые позволяют решать задачи алгебры, геометрии, математического анализа, дифференциальных уравнений, статистики, математической физики [2]. Ниже приведем примеры решение некоторых задач с помощью системы MAPLE.
Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами 
и 
.
Решение. Построим в пакете Maple графики функций, определяющие границы области и определим точки пересечения графиков
> with(plots):
> implicitplot({y^2=4*x, x^2=4*y},x=-5..5,y=-5..5, thickness=3);
> with( RealDomain ):
> solve({y^2=4*x, x^2=4*y},{x, y});
Так как фигура ограничена графиками функций 
и
, то площадь фигуры найдется по формуле: 
. Задавая команду вычисления интеграла, получаем
> S=int(2*sqrt(x)-x^2/4,x=0..4);
.
Ответ: 
.
Задача 2. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 
одной арки циклоиды 
.
Решение. Изобразим график тела вращения
> plot3d([t-sin(t),(1-cos(t))*cos(u),(1-cos(t))*sin(u)], t=0..2*Pi, u=0..2*Pi, scaling=constrained, axes=normal,
Объем тела вращения вычислим по формуле
> V=Pi*Int((a*(1-cos(t)))^2*diff(a*(t-sin(t)),t),t=0..2*Pi);
>value(%);
Ответ: 
.
Задача 3. Найти площадь поверхности, образованной вращением во-круг полярной оси кардиоиды 
.
Решение. Изобразим поверхность вращения. Лучше всего задать эту поверх-ность вращения в сферической системе координат
> plot3d([2*(1+cos(v)),u, v],u=0..2*Pi, v=0..Pi,
coords=spherical, scaling=constrained, axes=normal);
Для вычисления площади поверхности вращения вокруг оси 
используем формулу
Вычисляем интеграл в программе Maple
>S=2*Pi*Int(2*a*(1+cos(t))*sin(t)*sqrt((2*a*(1+cos(t)))^2+ diff(2*a*(1+cos(t)),t)^2),t=0..Pi) assuming a>0;
> value(%) assuming a>0;
Ответ: 
.
Задача 4. Найти объем тела, образованного вращением кривой вокруг полярной оси 
.
Решение. Построим кривую
> plot(sin(t)^2,t=0..2*Pi, coords=polar);
Изобразим тело вращения
> plot3d([sin(v)^2,u, v],u=0..2*Pi, v=0..2*Pi, coords=spherical, style=patch, axes=normal, numpoints=2000,scaling=constrained, color=grey);
Объем тела вычислим по формуле
.
> V=2*Pi/3*Int((a*sin(t)^2)^3*sin(t),t=0..Pi);
.
> value(%);
.
Ответ: 
.
Задачи для самостоятельного работы
1) Найти площадь фигуры, ограниченной параболами 
и 
.
2) Найти площадь петли линии 
.
3) Найти площадь фигуры, ограниченной линией 
.
4) Вычислить длину дуги полукубической параболы 
, заключенной внутри параболы 
.
5) Криволинейная трапеция, ограниченная линией 
и прямыми 
и 
, вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем тела вращения.
6) Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 
астроиды 
.
7) Найти площадь поверхности, образованной вращением окружности 
вокруг полярной оси.
Список литературы:
1. , Кузьмичева решения математических задач в Maple: Учебное пособие – Белгород: Изд. Белаудит, 2001. – 116 с.
2. , , Шумов курс высшей математики. Учебное пособие для студентов втузов. M.: Высш. шк., 1972. – 640 с.
3. Шипачев математика. Под редакцией академика , издание второе, Стереотипное. M.: Высш. шк., 1990. – 368 с.
4. Черненко математика в примерах и задачах: Учебное пособие для студентов втузов. В 3-х ч. Т. I-II. Санкт-Петербург.: Политехника, 2003. – 703 с.
