Цель:

Формирование исследовательских способностей и умений учащихся; Повышение уровня самостоятельности учащихся.

Задачи:

Умение ставить цель работы; Умение критически анализировать условия заданной ситуации; Научить выдвигать и обосновывать гипотезы; Акцентировать внимание на планирование решения проблемы; Уметь анализировать полученные результаты.

Правильно ориентированная система дополнительного образования представляет собой ту  благоприятную сферу, в условиях которой можно максимально разбить или сформировать познавательные потребности каждого учащегося, что позволит в конечном итоге сделать более результативным процесс школьного образования.

Оптимальными вариантами организации внеурочного образовательного процесса (не требующих дополнительных кадровых, материально-технических и финансовых условий) представляется проектная, научно-исследовательская, творческая, клубная деятельность.

Научно-исследовательская деятельность предлагает формирование у учащихся следующих практических умений проведения научного исследования:
Формирование исследовательских умений учащихся дает опыт творческой деятельности, творческого мышления, решая это через исследовательские задачи.

Исследование является особой деятельностью ученика, которая направлена на поиски решения проблемы, опираясь на проверенные и обобщенные факты, слово исследование имеет два значения:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
Исследование – изучение, выявление чего-либо. Исследование – научный труд формируют проблему, наводящие вопросы, гипотезу (Это работа с детьми).

Выделяют три основных этапа исследования:

Наблюдение определенных явлений или процессов; Создание гипотезы на основе наблюдаемых фактов и зависимость между ними; Опытная проверка гипотезы, которая осуществляется на основе вывода из гипотезы заключений или на основе экспериментов.

Первое исследование – счетные палочки. В обучении исследовательским навыкам главная роль отводится организации учебной деятельности школьника, т. е. развитие его происходит в процессе усвоения определенных типов деятельности, одним из которых является квазиисследование – это не подлинное научное исследование, а его своеобразная научная модель. Ученый проводит исследование с целью получить данные, которых у него еще нет, а учащийся начинает усваивать знания, на основе такого изложения, выделяя из него те элементы, которых еще нет и устанавливаются на основе квазиисследования.

       В основе исследовательской деятельности лежит теория проблемного обучения, авторы которого ,

       Данная история имеет давнюю историю и по сути широко изучена, проблемный подход целенаправленных проблемных ситуаций. Это знание о способах действий, которые открываются и усваиваются в ходе решения задач.

Рассмотрим пример мини-исследования, математическое содержание которого соответствует программе 5-го класса.

Задача. Изучить числа, находящиеся между простыми числами ближайшими, для простых чисел больше 3.

       Решение этой задачи начинается со сбора данных. Учащиеся выписывают пары простых чисел-близнецов и числа, заключены между ними:

5,6,7; 11,12,13; 17,18,19; 29,30,31; …

Затем происходит анализ информации: что общего у чисел 6,12,18,30? Выдвигается предположение, что эти числа кратны 6. Является ли это свойство случайным совпадение или им обладают все «соседи» простых чисел-близнецов? Можно ли доказать это предположение? Что для этого нужно установить?

Учащиеся догадываются применить признак делимости на 6. На 6 делятся четные числа кратные трём и только они. Далее могут быть проведены следующие рассуждения:

Так как простые числа, больше 2, нечетные, то число, следующее за простым, четное, поэтому рассматриваемые числа четные; Так как из трех последующих натуральных числе одно, и только одно делится на 3, а простые числа больше трех, на три не делятся, то на 3 должно делиться число, заключено между простыми числами-близнецами.

Из этого следует, что рассматриваемые числа кратны 6.

       При выполнении этого задания учащиеся сталкиваются с необходимостью сбора и анализа информации. Ребята самостоятельно выдвигают гипотезы, формируют утверждения, подлежащие доказательству, догадываются применить индуктивные и дедуктивные рассуждения.

Основные ситуации – элементы исследовательских умений:

    Ставить цель работы; Уметь критически анализировать условия заданной ситуации; Научить выдвигать и обосновывать гипотезы; Планировать решения проблемы; Анализировать полученные результаты.
Умение ставить цель.

Цель – это один из элементов поведения, непосредственно мотив деятельности, который характеризуется предвосхищением результата и способов его достижения, с другой стороны, цель – это осознанный образ нужного результата, на достижения которого направлено действие, а поэтому умение ставить цель связано с видением проблемы, ее формулировкой, а также четким представлением желаемого результата можно утверждать – отводится основная постановка цели, основа такого умения – это вербализация – основа и ее программирование и предвидеть желаемые результаты.

Умение анализировать данную ситуацию.

Одним из необходимых условий является решение задач. Анализ – расчленение имеет несколько значений.

Анализ – это логический прием метода научного исследования путем рассмотрения отдельных сторон объекта или явления; во-вторых, анализ – это всесторонний разбор чего-либо, рассмотрение; в-третьих, в психологии под анализом понимают операции мышления, представляющее собой мысленное расчленение предмета или явления на образующие его части и выделение в них отдельных частей, признаков или свойств. В математике под анализом понимают рассуждение под обратным направлением, т. е. от неизвестного, того, что необходимо найти к известному.

Анализ, как всякое действие имеет свой предмет, направление и цель.

Предметом анализа, является то целое, которое необходимо разбить на части, направление – это рассуждения, что в процессе разбиения идут от неизвестного к известному, осознание проблемной ситуации в целом, при этом оценивается сложность задачи, непротиворечивость условий, достаточность, необходимость условия. При этом совершаются следующие условия:

разбиение формулировки задачи на условие и требование; разбиение требований и условий на элементарные утверждения; оценка необходимости и достаточности имеющихся данных; оценка непротиворечивости имеющихся данных, задачи ловушки; исключение лишних условий, определение необходимости и направления дальнейших исследований. Умение выдвигать и обосновывать гипотезы.

Гипотеза – предположение, выдвигаемое для объяснения какого-то явления, требующего объяснения и доказательства. Выделение гипотезы – это переход от конкретных данных явлений к неизвестному (познание нового).

Гипотеза связана с интуицией. Интуиция – это непосредственное понимание или знание в математике в двух смыслах I – учащиеся думают интуитивно, когда, работая долго над проблемой, видят неожиданно ее решение, которое формально он еще не проверил. II – человек является хорошим интуитивным математиком, если он может делать удачное предположение о том какой из переходов к решению задачи окажется наиболее эффективным и какова природа данного явления, поэтому гипотеза является продуктом интуитивного мышления.

Модель проблемной ситуации состоит из следующих компонентов.

а) общая идея – определение зоны поиска;

б) результаты операций сопоставляются не с первоначальным требованием, с общей гипотезой;

в) на основе получения гипотезы определяется конечный результат, решение которого затем сопоставляется с первоначальным требованием задачи.

4. Умение планировать.

Заключается в том, что ученик, решая задачу должен разбить ее на ряд подзадач, вспомогательные задачи, а затем построить решение задачи, как процесс последовательного решения вспомогательных.

Признаки вспомогательных задач:

Вспомогательной задачей называется такая задача, которая решается не ради ее самой, а для усиления внимания и получения некоторого промежуточного результата для основной задачи. Особо ценно при решении задач в геометрии.

Два метода составления плана их выделил Пойа – математик:

1 метод – продвижение от конца к началу (анализ), когда составление плана начинается с цели, а заканчивается объектом.

2 метод – продвижение от начала к концу – синтез, продвижение данных объекта к достижению цели.

5. Анализ – результат.

Обоснованные выводы о результатах труда.

Научить проверять решение.

Анализ результата охватывает следующие действия:

Установление соответствия полученных результатов к поставленным целям работы. Рассмотрение иных возможных путей решения проблемы. Установление аргументов (факты, ссылки на литературу, законы науки, теорию подтверждающую истинность). Установления наличия или отсутствия противоречий в рассуждениях; Это обобщение, конкретизация исходной задачи, т. е. составление правил для задачи общего типа.

Итогом такого анализа является критическая оценка достигнутого. Оценочные суждения учащихся в данном случае основываются на четких критериях.

Процесс обучения должен быть направлен на овладение общими учебными умениями и навыками, а именно владение способами.

а) выполнение каждого компонента учебной деятельности и способы самостоятельного перехода от одного к другому.

б) владение способами мыслительной операции, постановки и решения проблем, владение приемами логического мышления.

в) владение историзмом и приемами самостоятельного приобретения знаний и их хранения.

г) владение способами построения устной и письменной речи.

Уметь ставить цель работы Видеть проблему Формировать проблему Видеть конечный желаемый результат

2. Умение анализировать условия ситуации

 Ученик должен разбивать формулировку задач на условие и требование Выделять элементарное утверждение Оценивать необходимость и достаточность явления, определять непротиворечие, исключать лишнее условие

3. Уметь планировать условия задачи

 Уметь разбить на вспомогательные задачи Комбинировать элементы, чтобы получить новое
Умение выдвигать и обосновывать гипотезы Проводить эксперимент Проводить индуктивные рассуждения от частного к общему Проводить дедуктивные рассуждения от общего к частному Умение воспользоваться своим опытом. Использовать интуицию
Умение анализировать результаты Установление соответствия получения результатов к поставленным целям Рассмотреть возможные пути решения проблемы Установить аргументы Установить наличие или отсутствие противоречий Обобщить конкретную исходную задачу

Атанасян 7 – 9. Геометрия, анализ данного учебника:

       Теоретический материал доступен строго с учетом психологии особенностей школьника и использование оригинальных приемов изложения. Ко всем параграфам приведены практические задания, которые помогают вовлечь в экспериментальную деятельность например стр. 7, п. 3 – задача: «провести три прямые, так, чтобы каждые две пересекались. Обозначить все точки пересечения. Сколько точек. Рассмотреть все возможные случаи».

       Задание на экспериментирование стр.122, п. 445 – вырежьте из бумаги два равных треугольника и составьте из них а) равнобедренный треугольник; б) прямоугольник; в) параллелограмм. Сравните площади получившихся фигур.

       В каждой главе учебника приложены задачи с повышенной трудностью; задача, условие которой имеет неопределенность. Три точки К, L, M лежат на одной прямой KL=6 см; LM=10см. Каким может быть расстояние КМ. Для каждого случая чертеж.

    Задачи с практическим содержанием прикладного характера: «два населенных пункта А и В …» Задачи имеющие несколько решений Задачи на определение зависимости между величинами Задачи на определение вида геометрической фигуры Задачи на определение изменения геометрической величины Задачи на определение истинности или ложности некоторых утверждений Задачи, развивающие умение анализировать результат

       Шаблон формулировки таких задач

верно ли утверждение верно ли решена задача рационально ли решена задача

Пример: верно ли утверждение: Два луча имеющие различные начала всегда пересекаются?

- «Нет» - обосновать, привести конкретный пример.

    Открытые задачи. Обладают следующими особенностями, во первых требование задачи формируется в виде вопроса, во-вторых задача находится в достаточно близкой учащемуся предметной области и поэтому может стимулировать их активную мыслительную деятельность, в-третьих, решение открытой задачи требует применения одного или нескольких структурных элементов, общих исследовательских умений.

       Шаблоны для различных видов открытых задач помогают ученику определить вид задачи и спланировать в общем виде свое решение.

Методика формирования исследовательских умений на уроке геометрии.

Методика формирования умения ставить цель работы.

3 уровня освоения умений. Данное умение характеризуется наличием:

    Существование законченной формулировки и ее озвучение Задача должна быть сформулирована на языке математики

Это задачи I уровня сложности.

Пример: Существует ли параллелограмм, в котором две стороны и одна диагональ соответственно равны 5; 2; 2.

       II уровень сложности, это задачи на не только формулирование, озвучивание задачи, но и на формулирование на языке математики самой задачи.

- Почему одна диагональ параллелограмма больше другой?

       III уровень – цель задачи не озвучена, не сформулирована на языке математики.

       Пример: Где на прямоугольном дачном участке нужно поставить столб для фонаря, чтобы все углы были освещены одинаково?

       Очевидно это задачи практического содержания.

       Если задана задача, условие которой сформулированы 1) явно 2) не содержит противоречия 3) не содержит избыточных данных, такие задачи относятся к I уровню сложности.

       

       Каждому ребенку дарована от природы склонность к познанию окружающего его мира. Правильно поставленное обучение должно совершенствовать эту склонность, способствовать развитию соответствующих умений и навыков одного желания для успешного решения поисковых или исследовательских задач недостаточно. Эффективность исследовательской деятельности зависит и от меры увлеченности ученика этой деятельностью, и от умения ее выполнять. представляется полезным прививать школьникам вкус к исследованию, вооружать их методами научно-исследовательской деятельности. Важно как организовать работу детей, чтобы они ненавязчиво усваивали бы процедуру исследования, последовательно проходя все ее основные этапы:

    Мотивация исследовательской деятельности; Постановка проблемы; Сбор фактического материала; Систематизация и анализ полученного материала; Выдвижение гипотез; Проверка гипотез; Доказательство или опровержение гипотез.

Здесь задача учителя найти простые и удобные средства для практической реализации каждого из названных этапов.

Мотивация исследовательской деятельности осуществляется различными способами: можно сделать акцент на значимости ожидаемых результатов, предложить оригинальное или неожиданно сформулированное учебное задание и т. п. При исследовании мотивирующая (исходная) задача должна обеспечить «видение» учащимся более общей проблемы, нежели та, которая отражена в условии задачи. Постановка проблемы может осуществляться различными способами. В идеале ее должен сформулировать сам ученик в результате мотивирующей задачи. Однако в реальной школьной практике такое случается далеко не всегда: для очень многих школьников самостоятельное определение проблемы затруднительно; предполагаемые ими формулировки могут оказаться неправильными или неточными. А потому на первых парах необходим контроль со стороны учителя. Сбор фактического материала может осуществляться при изучении соответственно учебного материала или специальной литературы, либо посредством проведения испытаний, всевозможных проб, попыток. Частых проблем, варьирование числовыми данными, рассмотрение предельных положений, изменение взаимного расположения фигуры, каких либо параметров, фигурирующих в данной задаче. Пробы не должны быть хаотичными, лишенными логики. Зачастую необходимо задать их направление посредством указаний, чертежей, пояснений и т. п. Число испытаний должно быть достаточным для получения необходимого фактического материала. Систематизация и анализ полученного материала полезно осуществлять с помощью таблиц, диаграмм, схем, графиков. Они позволяют визуально определить необходимые свойства, связи, соотношения, закономерности и на первых парах способ систематизации фактического материала может быть указан, в дальнейшем он должен определяться самим учеником. При этом важно заблаговременно ознакомить учащихся с разнообразием таких способов. Выдвижение гипотез может происходить как в процессе проведения испытаний или при систематизации фактического материала, так и в ходе выявления особенностей уже систематизированного фактического материала. Полезно прививать стремление записывать гипотезы на математическом языке, что придает высказыванию точность и лаконичность нецелесообразно изначальных, ограничивать число возможных гипотез. Проверка гипотез позволяет укрепить веру или усомниться в истинности предложений, а может внести изменения в их формулировки. Чаще всего проверку гипотез целесообразно осуществлять посредством проведения еще одного испытания при этом результат новой пробы сопоставляется с ранее полученным результатом. Если результаты совпадают, то гипотеза подтверждается и вероятность ее истинности возрастает. Расхождение же результатов служит основанием для отклонения гипотезы им уточнения условий ее справедливости. На последнем этапе происходит доказательство истинности гипотез, получивших ранее подтверждение или уточнение, ложность же их может быть определена с помощью контрпримеров. На первых порах самостоятельный поиск доказательств представляет большую трудность. Поэтому учителю важно предусмотреть все подсказки, это может быть схематическое изображение проблемной ситуации, чертеж с пометками, подсказывающими идею доказательств и т. п. Идея доказательства может зародиться в процессе выполнения испытаний, может возникнуть и при анализе систематизированного фактического материала, а на ней можно акцентировать внимание учащихся. Наконец важно отметить, в ряде случаев бывает проще установить равносильность двух или более гипотез и доказать одну из них, нежели искать доказательство для каждой гипотезы в отдельности.

       Полноценное выполнение исследовательского задания требует тщательной подготовки соответствующего методического обеспечения. Не секрет, что на практике многие школьники в погоне за результатом, не проходят все этапы исследовательской работы, не выполняют достаточного числа испытаний, не заботясь о необходимых записях полученных значений, не находят нужного способа систематизации фактического материала. Выдвижение гипотез происходит спонтанно, без должного обоснования, их проверка зачастую не производиться вообще, а попытки доказательств заканчиваются нередко неудачей.

Познавательную деятельность учащихся можно упорядочить, сделать интересной и результативной, если использовать специально сконструированные учебно-исследовательские карты. Каждая такая карта содержит семь фрагментов, соответствующих семи основным этапам учебного исследования. Приведем в качестве иллюстрации одну из таких карт.

Учебно-исследовательская карта по теме «Отрезки»

1. Задача

На прямой (рис. 1) отметили точки А, В, С и D: Сколько отрезков изображено на этой прямой?

2. Проблема

Как зависит количество отрезков на прямой от числа точек, отмеченных на ней?

Пробы (рис. 2)

4. Таблица результатов

Пробы

I

II

III

IV

V

Число точек (п)

1

2

3

4

5

Число отрезков (хп)

0

1

3

6

10


5. Гипотезы

I. Каждое следующее число хп равняется предыдущему хп-1, сложенному с числом точек, соответствующих ему:

1 = 0+1; 3 = 1+2; 6 = 3+3; 10 = 6+4.

Значит, хп = хп-1 + (п – 1).

II. Каждое следующее число хп равняется половине произведения соответствующего ему числа п и предыдущего числа п – 1 точек:

1=; 3 =6= ·10 =.

Значит, хп =

III. Каждое следующее число хп равняется сумме всех натуральных чисел, предшествующих числу п: 1 = 1; 3 = 1 + 2; 6 =. 1 + 2 + 3; 10 = 1 + 2 + 3 + 4.

Значит, хп = 1 + 2 + 3 + ... + (п – 1).

IV. Каждое следующее число хп, начиная с четвертого, получается путем последовательного удвоения нечетных чисел натурального ряда 3, 5, …:

6 = 2 · 3; 10 = 2 · 5.

Значит, хп+3 = 2(2п + 1).

6. Проверка гипотез

Пусть п = 6 (рис. 3). Тогда:

а) фактическое число отрезков Х6 = 15;

Рис.3·

б) число отрезков согласно гипотезы:

I. Х6 =Х5 + (6 – 1) =10 + 5 = 15;

II. Х6 = = 15;

III. Х6= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15;

IV. Х6 = 2·(2 · 3 + 1) = 2 · 7 = 14.

Заключение по проверке:

гипотеза I получила подтверждение;

гипотеза II получила подтверждение;

гипотеза III получила подтверждение;

гипотеза IV не получила подтверждение.

7. Доказательство (опровержение) гипотез

1) Гипотеза I равносильна гипотезе III.

       Действительно,

Хп = Хп-1 + (п – 1) = Хп-2 + (п – 2) + (п – 1) = Хп-3 + (п – 3) + (п – 2) + (п – 1) = ... = Хп-(п-1).+ (п – (п – 1) + … + (п – 3) + (п – 2) + (п – 1) = X1 +1+ ... + (п – 3)+ (п – 2) + (п – 1) = 1 + 2·+ 3 + … + (п – 1).

2) Гипотеза II равносильна гипотезе III.

       Действительно,

       1 + 2 + 3 + …+ (п – 1) = .

Докажем гипотезу III.

Пусть на прямой отмечено n точек: А1, А2, A3, ... , An-1, Аn (рис. 4). Тогда число всех отрезков, левый конец которых находится в 1-й точке, равно п – 1, во 2-й точке – п – 2, в 3-й – п – 3 и т. д., в (п – 1)-й точке – 1. Значит, число всех отрезков, образующихся на прямой при выделении на ней п точек, будет равняться сумме последовательных натуральных чисел от 1 до (п – 1), т. е.

Хп = 1 + 2 + 3 + ... + (п – 1),

что и требовал ось доказать.

Поскольку гипотезы I – III равносильны, то все их можно считать доказанными.

Учебно-исследовательская карта поможет усвоить учащимся процедуру исследования. Эффективность всей работы напрямую зависит от той информации, которая содержится в карте. Заметим, что в приведенной выше карте текст, набранный обычным шрифтом, присутствует изначально, а курсивом дан тот текст, который записывает сам ученик. В зависимости от возможностей ученика, соотношение объемов этих текстов может существенно варьироваться. Тем самым будет обеспечен дифференцированный подход к учащимся.

Заметим также, во многих случаях полезны дополнительные фрагменты учебно-исследовательской карты, связанные с развитием темы исходной задачи, а стало быть, и с постановкой и исследованием новых проблем. Так, в рассмотренном выше примере исходную задачу можно сформулировать для луча, отрезка, лесенки, стенки и т. п. (рис. 5).

Наконец, важно подчеркнуть, что по мере обретения опыта работы с учебно-исследовательскими картами у школьников формируется особый подход к решению нестандартных задач: они начинают искать решение, применяя процедуру исследования.

Приведем еще ряд задач, которые можно поместить в соответствующую учебно-исследовательскую карту.

1. Из вершины развернутого угла провели луч, делящий его пополам, затем еще два луча, делящие пополам получившиеся углы (рис. 6). Сколько всего получилось тупых углов?

Рис. 6

2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

3. В шахматном турнире участвовали 5 человек. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

4. Имеется 3 листа бумаги, из них несколько листов разрезали на три части. Затем несколько новых кусков разрезали на три более мелкие части и т. д. Сколько всего получилось листков, если сделали 10 разрезов?

СИСТЕМА ИТОГОВОГО ПОВТОРЕНИЯ В VII – IX КЛАССАХ

Г. Н. ЗИНЧЕНКО (с. Малое Василево Тверской обл.)

С появлением книги:

, ,

«Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы, 9 класс»

работа учителя по организации повторения стала заметно легче.

Готовить учащихся к экзамену по этому сборнику я начинаю уже с VII класса. С 1997 г. у меня складывается новая технология подготовки к экзамену, и уже в основных чертах сформировалась строгая система. За три года систематического повторения учащиеся решают большую часть заданий из «Сборника». У них складывается стройная система обобщенных знаний, формируются умения и навыки решения типовых задач.

Выигрывает от такой организации повторения и учитель. Ведя систематический контроль за работой, он своевременно выявляет типичные ошибки и имеет возможность их ликвидации.

Я организую повторение следующим образом. В VII классе в начале учебного года учащиеся покупают «Сборник» и заводят общую тетрадь, подписав ее так: «Я готовлюсь к экзамену». Вся тетрадь разделяется на пять частей – по темам предстоящего экзамена.

Мной составлен план повторения на 3 года. В нем выписаны номера всех заданий той или иной темы, но решать можно не все. Если какие-то упражнения не вызывают затруднений, то нет необходимости выполнять дополнительно упражнения того же типа. Ниже этот план приводится в виде трех таблиц 1 – 3.

Литература


Математика в школе №2, 2004 г. «Как увлечь школьников исследовательской деятельности». , . Культура занятий математикой. М.: Знание, 1975 г. Худин и исследовательская деятельность в профильном обучении. Завуч. Управление современной школой 2006, №6. Дополнительное образование в школе: неиспользуемый материал. З. Каргина. Воспитание школьников 2003, №4.