Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Математика» для студентов заочного отделения всех специальностей

Министерство образования Республики Башкортостан

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Нефтекамский нефтяной колледж

Методические указания и контрольные  задания

по дисциплине  «Математика»

для студентов заочного отделения

всех специальностей

2012г.

РАССМОТРЕНО  УТВЕРЖДАЮ

на заседании цикловой  Зам. директора по УР 

комиссии математических

и естественных  дисциплин  ____________   

Председатель комиссии  «____»____________2012г. 

__________________  

«____»_____________2012г. 

Методические указания и контрольные  задания для студентов-заочников дисциплины «Математика» разработаны  на основе Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) среднего профессионального образования (СПО) для специальности для всех специальностей

Организация-разработчик: ГАОУ СПО ННК

Авторы:

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методическое пособие предназначено для студентов заочного отделения всех специальностей.

Программа учебной дисциплины математика является частью основной профессиональной образовательной программы  составленной в соответствии с ФГОС специальностей СПО, прошедшие экспертизу РЭС ГОУ «РУНМЦ МО РБ»(пр.№05\11 от 01.01.2001г.).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной  профессиональной образовательной программы; основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики; основы интегрального и дифференциального исчисления.

Контрольная работа состоит из 10 вариантов и содержит  8 заданий. Вариант контрольной работы определяется по  последней цифре номера шифра студента. Студенты должны быть внимательными при выборе варианта. Работа, выполненная не по своему варианту, возвращается студенту без проверки и зачета.

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Условия заданий записываются полностью. После проверки контрольной работы преподавателем студент должен ознакомиться с рецензией на проверенную работу и исправить имеющиеся ошибки. В случае незачета контрольная работа, после исправления ошибок, работа вновь предоставляется для проверки.

Кроме того, данное пособие содержит экзаменационные вопросы и список рекомендуемой литературы.

Тематический план и содержание

учебной дисциплины «Математика»

Наименование разделов и тем	Содержание учебного материала,  практические работы, самостоятельная работа обучающихся.
1	2
Раздел 1. Элементы линейной алгебры.
Тема1.1 Введение.	Математика и этапы ее развития.
Тема 1.2. Матрицы и определители	Определение матрицы и действия над ними. Определители 2-го и 3-го порядка. Определители n-го порядка. Операции над матрицами. Вычисление определителей. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Обратная  матрица.
Тема 1.3. Система линейных уравнений	Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Решение систем линейных  уравнений  матричным методом.
Раздел 2 Основы математического анализа.
Тема 2.1. Теория пределов. Непрерывность функции.	Числовая последовательность. Предел последовательности и ее свойства  Число e. Понятие предела функции. Свойства пределов. Замечательные пределы.
Тема 2.2 Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной	Производная.  Правила и формулы дифференцирования. Вычисление производной сложной функции. Геометрический и физический смысл производной и его применение.  Производные высших порядков.
Тема 2.3 Интегральные исчисления.	Неопределенный интеграл,  его свойства  и методы интегрирования. Определенный интеграл,  его свойства и методы интегрирования.
Тема 2.4 дифференциальные уравнения	Определение дифференциальных уравнений, порядок уравнения. Начальные  условия. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения 1-II порядка. Применение дифференциальных уравнений в решении прикладных задач.
Тема 2.5 Теория рядов.	Определение числового ряда, сумма ряда, остаток ряда. Признаки сходимости рядов. Функциональные  ряды Радиус сходимости. Ряд Тейлора и Маклорена.
Раздел 3 Основы теории комплексных чисел.
Тема 3.1 Основы теории комплексных чисел.	Определение комплексного числа и его геометрическое изображение. Тригонометрическая форма комплексного числа и действие над ними. Показательная форма комплексного числа, действие над ними. Формула Эйлера.
Раздел  4 Основные понятия теории вероятности и математической статистики
Тема 4.1 Элементы теории вероятностей	Задачи теории вероятностей элементы комбинировании: перестановка, сочетание, размещение. События их виды. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула Бернулли.
Тема 4.2 Дискретные случайные величины	Закон распределения дискретных случайных величин. Характеристики ДСВ и их свойства.
Тема 4.3 Элементы математической статистики.	Область применения и задачи математической статистики. Понятие о генеральной совокупности и выборке. Статистическая оценка параметров распределения. Первичная обработка статических данных. Статическая оценка параметров распределения.

Задания контрольной работы

Задание 1: Решить систему  линейных  уравнений  методом Гаусса и по формулам Крамера

1.	6.
2.	7.
3.	8.
4.	9.
5.	10.

Задание 2: Найти пределы:

1. а) ;  а) x=2, б)  x= - 2,  в) x=.

2. а) ;  а) x=1,  б) x=2,  в) x=. 

3. а) ;  а) x=-2,  б) x=-1,  в) x=-.

4. а)   а) x=-1,  б) x=1,  в) x=-.

5. а)   а) x=2,  б) x=-2,  в) x=-.

6. а)   а) x=1,  б) x=2,  в) x=-.

7. а)   а) x=-2,  б) x=-1,  в) x=-.

8. а)   а) x=-1,  б) x=-1,  в) x=-.

9.  а)   а) x=2,  б) x=-2,  в) x=-.

10. а)   а) x=1,  б) x=2,  в) x=-.

Задание 3. Найти производные , пользуясь правилами и формулами дифференцирования.

1.а) y=(3x-4+2) 

  б) y=cos 3x e 

  в) y=ln arctg 2x

2. а) y= 

  б) y=2tg 2x 

  в) y=cos ln 5x

3. а) y= 

  б) y=eln 2x 

  в) y=cos

4. а) y= 

  б) y=2 tg 3x 

  в) y=arcsin ln 4x

5. а) y= 

  б) y=e 

  в)y=sin ln 5x

6. а) y= 

  б) y=3arcsin (x) 

  в) y=ln sin 6x

7. а) y= 

  б) y=ecos 6x 

  в) y= sin ln 2x

8. а) y= 

  б) y=4arctg 2x 

  в) y=ln cos 5x

9. а) y= 

  б) y=etg 7x 

  в) y=arcsin ln 2x

10. а) y= (x+2 

  б) y=2arcsin 2x 

  в) y=ln cos 7x

Решение типовых примеров.

При решении всех последующих примеров кроме таблицы производных будут использованы известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и теорема о производной сложной функции:

А) [ѓ(x)±ц(x)]'=ѓ'(x)±ц'(x);

Б) [ѓ(x)·ц(x)]'=ѓ'(x)ц(x)+ѓ(x)ц'(x) ;

В) = ;

Г) Если задана сложная функция y=f(u), где u= ц(x), то есть y=f(ц(x)); если каждая из функций y=f(u) и u= ц(x) дифференцируема по своему аргументу, то

=,

Пример 1:y=,

u=2x-3+1;

=6u=6()=

= 6

Пример 2:y=;

==

=.

Пример3: y=3sin5x;

=.

y=ln arcsin 6x;

=.

Задание 4: Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики. Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей схеме:

найти область определения функции D (y); исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва; найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности; найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика; найти асимптоты графика функции; построить график, используя результаты предыдущих исследований. найти наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке;

1.  y=2,  [-1; 3];

2.  y=,  [-1; 2];

3.  y=,  [2; 4];

y=,  [-1; 2]; y=,  [0; 4]; y=2,  [-2; 3]; y=2,  [-3; 0]; y=2,  [-3; 1]; y=2,  [1; 4]; y=2,  [-1; 4];

Задание 4: Найти неопределенные интегралы способом подстановки (методом замены переменной):

	.

Решение типовых примеров.

  Найти неопределенный интеграл:

  Пример 1.

Решение. Применим подстановку t=lnx. Тогда dt= и .

Пример 2.  .

Решение. Применим подстановку t=2x+3. Тогда dt=6xdx, откуда .

2. Таблица основных интегралов. Из определения неопределенного интеграла следует, что если F’(x)=f(x), то ∫ ѓ(x)dx=F(x)+C. Исходя из этого и используя формулы дифференцирования, можно составить следующую таблицу неопределенных интегралов.

(α≠-1); при α=0 имеем ∫dx=x+C ∫⎢x ⎢+C ∫sin xdx = - cos x +C ∫cos xdx = sin x +C =-ctgx+C arcsinx+C arctgx+C ⎟cos x⎜+C ⎟sin x⎜+C =ln ⎜cos ecx-ctgx⎜+C=ln|tg|+C =ln ⎜sec x + tg x ⎜+C=ln |tg()|+C +C, α≠0 ||+C, α≠0 =||+C, α≠0 , ⎜x ⎜< α, α≠0 =ln⎜x+⎜+C ⎜x+⎜+C ⎜x+⎜+C.

Задание 5: Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

x-y+2=0, x=-1 и x=2 2x-3y+6=0, y=0 и x=3 x-y+3=0, x+y-1=0 и y=0 x-2y+4=0, x+2y-8=0, y=0, x=-1 и x=6 y=x, y=0, x=0 и x=3 y=x+1, y=0, x=-1 и x=3 y=0,5x+2, y=0, x=1 и x=3 y=3x, y=0, x=-3 и x=2 y=+3, y=0, x=0 и x=3 y=-x-2x+8, y=0

Задание 6.

1) Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка

(2-y)dx=xdy (1-y)vdy=(1-v)ydv (1+y)dx=(1-x)dy (1+y)xdx-(1+x)ydy=0 (xy+x)dx+(y-xy)dy=0 (1+2y)xdx+(1+x)dy=0 xy(1+x)=1+y ()dy+ydx=0 (1+y)dx-xydy=0 (2x+1)dy+ydx=0

2) Найти общее решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

-7+10y=0; +2+10y=0; -6+9у=0; +8+7y=0; +9y=0; -7+12y=0; +9=0; -3+2y=0; -5+6y=0; -2+5y=0;

Основные понятия

  Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее первую производную, называется дифференциальным уравнением первого порядка. Если, кроме того в уравнение входит вторая производная от искомой функции, то оно называется дифференциальным

уравнением второго порядка.

  В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в виде f (x, y,y’) = 0, где y = y (x) – искомая функция, y’= y’(x) – ее производная по x, а F – заданная функция переменных x, y,y’. Если уравнение F(x, y,y’) = 0 можно разрешить относительно производной, то оно примет вид y’= f (x, y).

  Решением дифференциального уравнения называется функция y= y (x), удовлетворяющая этому уравнению.

  Задача нахождения такого решения уравнения y’= f (x, y), которое удовлетворяет условию y(x0) = y0, где x0 , y0  = заданные числа, называется задачей Коши.

  Общим решением дифференциального уравнения y’= f (x, y) называется функция y = ц (x, C), которая при каждом фиксированном значении C как функция от x является решением данного уравнения.

  Каждое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения при конкретном значении постоянной C, называется частным решением.

Пример 1

Найти общее решение дифференциального уравнения:

y’ = 2(y-3)  (0;4)

y’ = dy/dx;  dy/dx = 2(y-3);  dy= 2(y-3)dx  dy/y-3 = 2dx;  ∫dy/y-3 = ∫2dx;  ∫dy/y-3 = 2∫dx

ln |y-3| = 2x+c

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения:

y”+y’- 2y= 0.

Решение:

k2+k–2= 0. – характеристическое уравнение

D= 1+8 = 9; = 3; k1,2 = -1 ±3/ 2 = 1; -2 .

Так как корни действительные и различные то общее решение записывается в виде:

y= C1lx +C2l-2x

Задание 7.Выполнить действия над комплексными числами

Z1 - Z2;  Z1+Z2;  Z1*Z2;  

если

1.         Z1=5+3i                        Z2 = -3+2 i

2.                 Z1=-12+5i                        Z2 = 7-3 i

3.                 Z1=5+7 i                        Z2 =-3-4 i

4.                 Z1= -2+3 i                        Z2 =1-4 i

5.                 Z1=-10-8 i                        Z2 =7-6 i

6.                 Z1= -7-8i                        Z2 =3-4i

7.                 Z1=-3+5 i                        Z2 =5-6 i

8.                Z1=10+3 i                        Z2 =20-12 i

9.         Z1=2+i                        Z2 = -4-3 i

10.         Z1= -2-3i                        Z2 = 8-9 i

Задание 8: Решить уравнения:

Ax6 = 28 Ax-25 A3x+1 Px-2 = 30Px 2Cx-2 x+2 = Ax2 4Cx-1x+2 = 3A3x+2 2C2x+5  - 15C1x  = 75 A3x = 1/20 A4x 4Cx-1x+2 = A3x 30x = A3x x /Ax3 = 1/12 5C3x = C4x+2

Экзаменационные вопросы

История возникновения, развития и становления математики. Определение матрицы и действия над ними. Определители 2-го и 3-го порядка. Определители n-го порядка Решение систем линейных  уравнений  матричным методом. Предел функции. Основные теоремы о пределах функции. Понятие непрерывности функции, точки разрыва. Понятие производной, основные формулы дифференцирования. Монотонные функции, правило нахождения интервалов монотонности. Экстремумы функции, правило нахождения точек экстремума. Выпуклость графика функции. Правило нахождения интервалов выпуклости. Точки перегиба графика функции, правило нахождения точек перегиба. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке. План исследования функции с помощью производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Геометрический и физический  смысл производной. Неопределенный интеграл, основные формулы интегрирования. Неопределенный интеграл, основные свойства неопределенного интеграла. Определенный интеграл и его основные свойства. Методы вычисления определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Приближенные методы вычисления определенного интеграла. Понятие дифференциального уравнения, основные определения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка. Определение комплексного числа и его геометрическое изображение. Действия над комплексными числами Числовые ряды, основные понятия и определения. Признак Даламбера и признак сравнения числовых рядов. Функциональные ряды. Степенные ряды. Основные понятия комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.

ЛИТЕРАТУРА

Основные источники:

. Математика: учебник-Москва: Издательство « Форум»:2010г.,  Е..В. Филимонова Математика: Издательств « Феникс» Ростов-на-Дону 2008г.,

Математика и информатика: учебник - Москва: Издательство«Дашков и К», 2007г-480с.

Дополнительные источники:

, Н. Т,  Мишняков  Практикум по высшей математике,- Москва: Издательство «Феникс»,2005г

. Конспект  лекций по высшей математике: полный курс –Москва :Издательство «АЙРАС»-2007г. 608с.

Интернет-ресурсы:

http://school-collection. edu. ru/Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.

http://www. openclass. ru Открытый класс

http://www/metodkabinet.1 сентября, фестиваль педагогических идей