Методика компактного представления функций в повторительном курсе математики

Институт русского языка и культуры

МГУ имени

МЕТОДИКА КОМПАКТНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ПОВТОРИТЕЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

(для будущих магистров-иностранцев)

Для повторительного курса математики характерно свёртывание информации, т. е. укрупнение его отдельных структурных элементов. Это особенно ярко проявляется на стадии заключительного повторения курса математики, когда несколько разделов школьной математики излагаются буквально за считанное число минут [Кузнецова, 2011, с. 267]. В условиях жёсткого ограничения времени учёбы на подготовительном факультете оптимизация этого процесса особенно важна для специфического контингента подготовительного факультета — для студентов-иностранцев, которые приехали к нам для продолжения своего образования в магистратуре — после окончания бакалавриата в своей стране.

Возьмем, например, преподавание темы «Степенная функция». Достаточно нарисовать схемы графиков для различных, принципиально отличающихся случаев (значений  показателя), а  затем  по  этим  графикам  перечислить  их  свойства  и соответствующие свойства функции, не забыв при этом вспомнить название каждого графика. Ясно, что возможны шесть принципиально разных вариантов графиков: прямая, прямая с выколотой точкой, чётная парабола, нечётная парабола, чётная гипербола, нечётная гипербола, из которых можно выделить подробно изученные ранее параболу (мы имеем в виду «квадратичную» параболу) и  гиперболу [Лазарева, 2006, с. 52, 98]. Такое повторение терминов можно назвать «естественным».

Как можно наглядно представить эти функции и описать их свойства? Конечно, начав с самых простых частных случаев:

При  n = 0 имеем y = x0 = 1 для всех x ≠ 0. При  x = 0 функция не имеет смысла. При  n = 1 имеем  y = x1 = x для всех  x ∈ R.

Далее степенные функции представляются с помощью  специальных моделей, разбив при этом функции на пары следующим образом:

Степенные функции с натуральными показателями 

y = xn,  n ∈ N \ {1}:  а)  n — чётное;  б)  n — нечётное.

Cтепенные функции с целыми отрицательными показателями 

y = x – n,  n ∈ N:  а)  n — чётное;  б)  n — нечётное.

Степенные функции  y =   = ,  n ∈ N \ {1}: 

а)  n — чётное;  б)  n — нечётное.

Cтепенные функции с действительными показателями 

y = xr,  r ∈ R\ {0; 1}:  а)  r > 0;  б)  r < 0.

       

Представление функций каждого пункта начинается со схем  графиков. Затем перечисляются свойства функций по общепризнанному  алгоритму:

1. Область определения D(f).

2. Область значений E(f).

3. Чётная, нечётная функция или функция общего вида.

4. Периодическая или непериодическая функция.

5. Нули функции (значения аргумента  x, при которых  y = 0).

6. Интервалы знакопостоянства функции (интервалы аргумента x, в которых функция положительна  y > 0,  и интервалы аргумента  x, в которых функция отрицательна  y < 0).

7. Промежутки монотонности функции: промежутки возрастания и убывания функции (промежутки аргумента  x,  в которых функция возрастает, и промежутки аргумента  x,  в которых функция убывает).

8. Экстремумы функции: максимум  ymax  (при  xmax)  и/или  минимум  ymin (при  xmin).

На подготовительном факультете для студентов-иностранцев обычно на этом завершается исследование и описание функции (см., например, [Лазарева, 2006, с. 107]). Однако для полноты представления функции мы добавляем ещё несколько пунктов исследования:

9. Наибольшее значение функции yнб  и/или  наименьшее значение функции  yнм.

10. Точки перегиба.

11. Выпуклость (вогнутость) графика функции.

12. Симметрии:  ось симметрии и/или центр симметрии.

13. Асимптоты (уравнения асимптот). Асимптотические приближения.

14. Промежутки непрерывности функции. Разрывы первого рода и/или второго рода.

Большинство начальных пунктов обычно используются во всех пособиях для студентов-иностранцев подготовительных факультетов (см., например, пособие [Лазарева, 2003, с. 6–15], где в исследовании степенных функций можно увидеть пп. 1–3, 5–8, 13). Характерной особенностью таких пособий является игнорирование пункта, если исследуемая функция не обладает соответствующим свойством. Так, в отмеченном пособии игнорируется п. 4, если нулей нет (с. 10), п. 8, если нет экстремумов (с. 7), п. 13, если нет асимптот (с. 7, 12). Эти пункты, как и добавленные в приведённом выше алгоритме, особенно важны для будущих магистров.

       Далее представим примеры описания свойств степенных функций для случаев 3) и 4) (модели 1 и 2 соответственно).        

Степенные функции с натуральными показателями 

y = xn,  n ∈ N \ {1}

а)  n — чётное                        |                 б)  n — нечётное

       График — чётная парабола                |  График — нечётная парабола

                               Точка (0; 0) — вершина параболы

 

1.                         D(f) = R

2.  E(f) = [0; +                        |                        E(f) = R

3.        Чётная функция                                |                Нечётная функция

4.                                        Непериодическая функция

5.                                         Один  нуль:  x = 0

6.        y > 0  на  R \ {0}                                |                y > 0  на  (0; +)

                                                       |                y < 0        )

7.        y  убывает на                        |

       y  возрастает на                |                y  возрастает на        D(f)

                                                       |        

8.        Минимум:                                        |                Нет экстремумов

       ymin = 0  при  xmin = 0                        |

                                                       |

9.        yнм = 0  при  x = 0                                |                Нет yнм  и  yнб

       (совпадает с минимумом)                |                                                

10.        Нет точек перегиба                        |        (0; 0) — точка перегиба

                                                       |

11.        График выпуклый на  D(f)                |  График вогнутый на

                                                       |         и выпуклый на [0; +∞)

                                                       |

12.        Ось Оy — ось симметрии                |        (0;0) — центр симметрии

13.                                                Асимптот нет

14.                        Функция непрерывна на  D(f). Разрывов нет        

Модель 1

Cтепенные функции с целыми отрицательными показателями

y = x – n,  n ∈ N

а)  n — чётное                        |                б)  n — нечётное

График — чётная гипербола                |        График — нечётная гипербола

 

1.                D(f) = R \ {0}

2.  E(f) = [0; +                |                E(f) = R \ {0}

3.        Чётная функция                        |                Нечётная функция

4.                                Непериодическая функция

5.                                         Нулей нет        

6.        y > 0  на  D(f)                        |                y < 0        )

|                y > 0  на  (0; +)

                                               |

7.        y  возрастает на        |        y  убывает на          и        

y убывает на                |        на                                                                 |        

8.                                        Нет экстремумов                        

9.                                        Нет yнм  и  yнб

10.                                        Нет точек перегиба

                                               |

11.        График выпуклый на  D(f)        |  График вогнутый на )

                                               |         и выпуклый на (0; +)                                                        |

12.        Ось Оy — ось симметрии        |        (0;0) — центр симметрии

                                               |        

13.                        Асимптоты: ось Ох (y = 0) и ось Оу (х = 0)

                               Асимптотические приближения:

               - 0                        |                + 0

                                       |                        

                                               

                                       + 0

14.                Функция непрерывна на )  и  на (0; +)

                       (0; 0) — точка разрыва второго рода

Модель 2

В основу приведённого алгоритма, как и дальнейшего описания свойств степенных функций, взято учебно-методическое пособие автора для отечественных школьников-выпускников полной средней школы [Кузнецова, 2009, с. 43–50]. Поскольку автор несколько десятилетий преподаёт математику студентам-иностранцам, а в последние годы — и студентам-иностранцам — будущим магистрам, постольку настоящие разработки изначально создавались с расчётом и на студентов-иностранцев подготовительных факультетов университетов и вузов России.

Литература

Кузнецова выпускника подготовительного факультета в пространстве предвузовского математического образования. — М.: КомКнига, 2005. — 480 с.;  2-е изд., стереотипное. — М.: Либроком, 2011. Кузнецова элементарных функций // Современная школьная энциклопедия. — М.: ОЛМА Медиа Групп, 2009, с. 43–50; 2-е изд., стереотипное, 2010; 3-е изд., стереотипное, 2011. , , Пацей . Логарифмы. Тригонометрия. Учебное пособие по математике для студентов-иностранцев. — М.: Ред.-изд. совет  МОЦ МГ, 2003. — 123 с. , , Буняк . Учебное пособие по математике для студентов-иностранцев подготовительных факультетов. — М.: Ред.-изд. совет  МОЦ МГ, 2006. — 153 с.