Математические ошибки

  Математические ошибки

  ,                                         ученица 8 класса,         руководитель Самигуллина Рафида Миннерафиковна,  учитель математики,  МБОУ Карабашская средняя общеобразовательная школа №2  Бугульминского муниципального района РТ

  Введение

  Я, , учусь в Карабашской средней общеобразовательной школе № 2 Бугульминского муниципального района Республики Татарстан в 8ом классе. Вот уже несколько лет в классе я являюсь учебном сектором. Мне каждый день приходится помогать по разным предметам своим одноклассникам. Особенно часто обращаются ко мне за помощью по математике. То какой-то пример не получается, то проблема с уравнением или не понятна задача. Очень часто  приходится исправлять ошибки. Я задавала себе вопрос: почему же мы так часто пропускаем ошибки «на ровном месте?» Этот вопрос привел меня к мысли работать над темой: «Математические ошибки». Проблема «глупых» ошибок весьма актуальна.

Цель моей работы – рассмотреть причины и роль «глупых» математических ошибок.

Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

1. Изучить ошибки, которые допускают ученики;

2. Выполнить анализ ошибок, допущенных взрослыми;

  3. Дать рекомендации по предупреждению математических ошибок в школе. Составить памятку по выполнению работы над ошибками для 5,6-х классов.  Итак, работая над этой темой, я столкнулась с тем, что не только ученики, парой и взрослые тоже допускают математические ошибки. Поэтому я поставила перед собой задачу: объяснить, каким катастрофам может привести математические ошибки. Методы исследования:                1. Изучение литературы по данному вопросу;                                                2. Анализ и синтез;                                                                                3. Беседы с учителями, с учениками.                                                Проблема «глупых» математических ошибок недостаточно освещена в периодической и научной литературе. По-моему, данная проблематика имеет место в каждой школе, и за ее пределами, и изучению данного вопроса необходимо уделить должное внимание.                                                                Объектом исследования выступает ученики моего класса, а также взрослые, допустившие плачевные ошибки.                                                        Предметом моего исследования являются математические ошибки.                Практическая значимость работы заключается в том, что результаты исследования могут быть использованы в качестве материала к внеклассным, кружковым занятиям учеников 5-8 классов, для занятий по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ, а также для дальнейшего изучения и решения данной проблемы.                Работа состоит из введения, 2 частей, заключения и списка использованной литературы.                                                                                Во введении представлены актуальность, цель, задачи работы, а также степень ее разработанности, объект и предмет, методы исследования и структура.        В первой части рассмотрены типичные ошибки в математике, причины ошибок. Вторая часть посвящена изучению математических ошибок, которые стали причиной ужасных катастроф, рассмотрены ошибки в политике. В третьей главе изучены способы предупреждения математических ошибок, даны рекомендации по предотвращению ошибок выпускников.                В заключении сделаны выводы по данной работе.                                Продуктом данного проекта является памятка по выполнению работы над ошибками для 5,6-х классов.

1. Теоретическая часть: ошибки, которые допускают ученики  1.1. Типичные ошибки

  Обидно получать плохие оценки из-за ошибок «на ровном месте». Глупые ошибки - проблема многих учеников: случайная потеря знака, скобки, необоснованное изменение чисел, пропуски переменных и всевозможные ляпы. Мы ученики эти ошибки называем «дурацкими» и часто не можем объяснить, чем они вызваны. Как же их решать? Отчего возникают «дурацкие» ошибки?

Большинство ошибок напрямую не связаны с наличием или отсутствием знаний, хотя доведение некоторых вычислительных операций до автоматизма несколько снижает вероятность их появления. Снижает, но не исключает.

Как правило, учитель ограничивается только тем, что просто предупреждает нас. «Не допускай ляпов, пиши внимательнее, не отвлекайся», — стандартный набор просьб, не более того. В реальности они не спасают. Мы и сами знаем, что нужно решать внимательно, но ничего не можем с собой поделать. Пропускаем числа, скобки. Потеря знака « - » - настоящий бич.

Чтобы не допускать глупых ошибок, я знаю нужно научиться, как минимум, их выявлять. Для этого как нельзя лучше подходят готовые решения задач, в которые сам учитель по математике эти ошибки и закладывает. Я уверена, что систематические проверки чужих записей формируют у нас, у учеников привычку критически относиться  своим и несколько улучшают ситуацию.

Все «дурацкие» ошибки можно условно делить на две группы:

1)Типичные ошибки.

2) Уникальные ошибки.

Какие типичные ошибки мы допускаем?

Например, при сложении сложных обыкновенных дробей с разными знаками часто пропускаем знак « - ». Причина этого кроется обычно в плотном потоке обрабатываемой информации, в оформлении записей и высокой  степени нагрузки на правила. Нам приходится выполнять сразу несколько задач: вспоминать алгоритм для сравнения дробей, для вычитания дробей с разными знаменателями, а затем с равными знаменателями, вспоминать правило, по которому занимают единицу у целой части. Сами дроби каждый раз переписываются, а ответ еще и сокращается. Естественно, что можно минус пропустить. Что мы должны предпринять для борьбы с потерей знака? Нужно повторить, в каком порядке выводить записи. Во всех сложных преобразованиях сначала переписывается то, что при выполняемом преобразовании не поменяется. В нашем случае это поставленный знак. Думать над выполнением основной операции нужно в последнюю очередь. То есть сначала пишем знак «минус», затем открываем скобку и только тогда начинаем думать, что делать дальше. Если мы сразу возьмется за дроби, можем забыть про знак.

Итак, большинство ошибок напрямую не связаны с наличием или отсутствием знаний. Случайная потеря знака, скобки, необоснованное изменение чисел, пропуски переменных и всевозможные ляпы и другие глупые ошибки - проблема многих учеников.

1.2. Причины ошибок

  Прежде чем пытаться влиять на ошибки, нужно изучить причины ошибок. Какие причины ошибок можно выделить?

  1) Неряшливый, неаккуратный подчерк.

Мы не всегда сами понимаем, что именно написали. За подчерком надо следить.

  2) Усталость.

Чрезмерная нагрузка приводит к снижению внимания, скорости мышления и, как следствие, к многочисленным ошибкам.

  3) Кратковременное или полное переключение внимания с одной деятельности на другую.

Если мы выполняем одновременно несколько операций, то вероятность промаха будет довольно значительной.

4) Скорость работы.

Низкая скорость выполнения мыслительных операций часто мешает контролировать себя и это может стать еще одной причиной ошибки. «Зависание» с какой-нибудь одной частью задания удаляет из «оперативной памяти» информацию о другой, в которой допускается не вынужденная ошибка.  Для этого необходимо проводить развивающую работу.

Важно выявить постоянство. Если ошибка повторяется — можно говорить о ее системности и пробовать изменить эту систему. Например, если переписываем буквенное выражение и при этом систематически пропускаем какие-то его части, надо комментировать производимые преобразования. Как только это войдёт в правило – проблемы не будет.

Большая часть ошибок рождается в процессе переписывания математических записей.

Итак, перечислим основные причины глупых ошибок: неряшливый, неаккуратный подчерк, усталость, кратковременное или полное переключение внимания с одной деятельности на другую, скорость работы. Действительно, проблема «глупых» ошибок весьма актуальна, особенно при учете того, что знаешь теорию, метод решения, по сути все есть для того, чтобы правильно сделать задание. А ответ получается неправильным.

  2. Аналитическая часть: ошибки, допущенные взрослыми  2.1. Математические ошибки, которые стали причиной ужасных катастроф

Прежде всего, хочется сказать: надо уделять достаточно внимания изучению математики за школьной партой! Дело в том, что когда мы станем взрослыми, то даже одна очень маленькая ошибка может стоить жизни многим людям.

Приведем реальные истории.

Катастрофа пассажирского лайнера из-за квадратных иллюминаторов.

  В 1950-х годах реактивное авиастроение только начинало развиваться. Как известно, первым лайнером стало детище британской компании «deHavilland» под названием «Комета» (рисунок 1).

       Рис. 1.Лайнер британской компании «deHavilland» под названием «Комета»

Тогда это был современный ультратонкий самолет, но в начале 1954 года он развалился прямо в полете. Погибли 56 человек.

Причина этой трагедии достаточно проста - квадратные иллюминаторы. Это одна из распространенных причин, которые очень легко теряются во время проектирования. Для примера: посмотрим на плитку шоколада (рисунок 2). В каком месте плитка сломается, если нажать на нее вдоль этих выемок?

Рис.2. Плитки шоколада

Квадратное окно состоит из четырех 90-градусных выемок, а стало быть, у него есть четыре слабых места. Если бы на дом надавили, то трещина непременно прошла бы через угол какого-нибудь окна (рисунок 3):

Рис.3. Примеры трещин на окнах

Теперь иллюминаторы во всех самолётах круглые. Это делается не для красоты – круглая форма не позволяет разорвать самолёт на куски. Давление распределяется по всей кривой, вместо того, чтобы идти трещинами по углам (как выяснилось) и разрывать самолёт в клочья.

2). Большая галерея обрушилась из-за несущественного изменения дизайна, как считали сами дизайнеры (рисунок 4).

Рис.4. Обрушение Большой галереи

Владельцы гостиницы в Канзас Сити под названием «HyattRegency» мечтали о том, чтобы у них все было с всякими свистелками и свирелями. Работники архитектурной фирмы, которые занимались дизайном здания, приняли решение сделать несколько галерей, которые крепились до самого потолка. Казалось бы, задумка довольно изящная. Но ее воплощение стало причиной гибели более 100 человек.

Недостаток этого проекта был простым - один длинный стержень был заменен двумя короткими.

Первоначальный план был таков: две галереи должны были быть расположены одна над другой. При этом их планировалось поддерживать одним длинным стержнем, прикрепленным к потолку (рисунок 5)

Но сотрудники компании, которые отвечали за изготовление стержня, почему-то приняли решение внести, казалось бы, небольшое изменение - заменить один длинный стержень двумя короткими (рисунок 6)

Рис.5. Предполагаемая модель  Рис.6. Осуществленная модель

  В результате это изменение стало причиной того, что здание просто рухнуло. Погибло 114 человек, еще 216 получили различные травмы.

  3).  Мост Такома-Нэрроуз разрушился из-за того, что был слишком цельным (рисунок 7).

Рис.7. Мост Такома-Нэрроуз

Мост Такома-Нэрроуз (Один из крупнейших в США висячих мостов) считался чудом инженерной мысли, пока не рухнул в пролив Такома-Нэрроуз, погубив оставленную в машине собаку. Её хозяин благополучно добежал до безопасного места (при этом предусмотрительно захватив с собой камеру, с помощью которой снял уникальные, сенсационные кадры).

Теперь будущим математикам, физикам и инженерам на примере этого моста объясняют, как не надо делать.

Мост был слишком цельным, без полостей.

На рисунке 8 мы замечаем, какими хрупкими выглядят самые большие мосты. Они буквально просвечиваются:

Рис.8. Самые большие мосты

Это не делается для красоты или экономии металла. Настоящее предназначение всего этого ажура – пропускать воздух.

Можно укрепить мост как угодно прочно – и он всё равно будет раскачиваться на ветру. Этого нельзя не учитывать. Проектировщики моста через пролив Такома решили не забивать себе голову подобной ерундой. Они решили, что для ветра тут и без того достаточно места (рисунок 9):

Рис.9. Галопирующая Герти

Они ошибались. С самого начала было ясно – с мостом что-то не так. Как только поднимался ветер, полотно начинало изгибаться, трястись и выкручиваться, за что ещё во время возведения мост получил в народе прозвище «Галопирующая Герти».

В один прекрасный день частота колебаний ветрового потока совпала с собственной частотой колебаний конструкций моста. Центральный пролет моста затрепетал и рухнул в пролив (рисунок 10).

Рис.10. Разрушение Галопирующей Герти

Строительство нового моста завершилось только в 1943-м. На этот раз в конструкцию были введены открытые фермы, стойки жёсткости, деформационные швы и системы гашения вибраций.

Вот как это выглядит сейчас (рисунок 11):

Рис.11. Строительство нового моста

5). Титаник затонул оттого, что центральный винт не мог менять направление движения (рисунок 12).

Рис.12. Титаник

Теорий о том, как можно было предотвратить гибель Титаника много.

Истинная причина трагедии оказалась простой: центральный винт рулевого механизма не мог менять направление движения.

На Титанике было установлено три винта. Два наружных, которые приводились в движение поршневыми двигателями, и центральный – управляемый паровой турбиной.

Когда старший помощник капитана попытался дать «полный назад» чтобы избежать столкновения с айсбергом, внешние винты завертелись в обратную сторону, в то время как центральный просто остановился.

Тем не менее, центральный винт находился непосредственно перед рулевым пером. После его отключения на рулевое перо стало попадать меньше воды, отчего управлять судном стало, крайне трудно.

Если бы центральный винт, в случае необходимости, мог дать задний ход, и не мешал управлять движением судна, то вполне возможно, что Титаник вообще не задел бы айсберг, и жизни 1514 человек и восьми собак оказались бы вне опасности. Таким образом, мы видим, что даже одна очень маленькая глупая ошибка может стоить жизни многим людям.

2.2. Ошибки в политике и в спортивной области

Некоторые ошибки, которые допускают взрослые, можем заметить и мы.

Обратим внимание на круговую диаграмму! Это кадр взят из американской программы новостей (рисунок 13).

Рис.13. Кадр из американской программы новостей

Все мы знаем, что 4 декабря 2011 года прошли выборы.

Тогда по телевизору я увидела вот такую интересную информацию:        

В Воронежской области насчитали 128,96% голосов:

«Единая Россия» — 62,32%;

КПРФ — 31,11%;

«Справедливая Россия» — 17,22%;

ЛДПР — 11,72%;

«Яблоко» — 4,55%;

«Патриоты России» — 1,38%;

«Правое дело» — 0,66%.

Я  решила проверить верность данной информации (рисунок 14).

Рис.14. Подсчет голосов в Воронежской области

62,32%+31,11%+17,22%+11,72%+4,55%+1,38%+0,66%=128,96%

Однако, в Ростовской области и того больше — 146,47%:

«Единая Россия» — 58,99%;

КПРФ — 32,96%;

ЛДПР — 23,74%;

«Справедливая Россия» — 19,41%;

«Яблоко» — 9,32%;

«Патриоты России» — 1,46%;

«Правое дело» — 0,59%.

Подсчет голосов в Ростовской области представлен на рисунке 15.

Рис.15. Подсчет голосов в Ростовской области

58,99%+32,96%+23,74%+ 19,41%+9,32%+1,46%+0,59%=146,47%

А это уже Свердловская область — 115,35%:

«Единая Россия» — 39,61%;

«Справедливая Россия» — 30,59%;

КПРФ — 18,64%;

ЛДПР — 17,67%;

«Яблоко» — 3,82%;

«Правое дело» — 2,75%;

«Патриоты России» — 2,27%.

Подсчет голосов в Свердловской области представлен на рисунке 16.

39,61%+ 30,59%+18,64%+ 17,67%+ 3,82%+ 2,75%+2,27%=115,35%

Рис.16. Подсчет голосов в Свердловской области

Сложила правильно. Везде верно, но я не верю. Это ложь. Мне кажется, перестарались. Избиркомы совершили открытие в области математики. А выборы пройдут и в скором будущем. Мне совсем не хочется видеть такие результаты голосования.

Ошибки в спортивной области

Гимнастические соревнования пока самые скандальные на афинских Играх. Юн, получил «бронзу» вместо «золота» в многоборье только из-за чисто математической ошибки. Суть «корейского дела» состоит в следующем. Арбитры неверно вычислили базовую «стоимость» упражнения Ян Тае Юна на перекладине, занизив ее на 0,1 балла. Если бы они судили его не из 9,9, а из 10,0, то Ян получил бы золотую медаль, так как по общей сумме он отстал от американца на 0,049 балла. Неграмотных арбитров дисквалифицировали. У Яна отняли честно заработанную медаль. В гимнастической практике, к сожалению, это не единственный случай.

В заключение данного раздела хочу сказать, что летом 2013 года в городе Казань прошла универсиада. Я рада, что она прошла честно, красиво, без математических ошибок. Очень надеюсь, что организаторы зимних Олимпийских игр в Сочи также не допустят ошибок, и соревнования не будут омрачены чьей-то халатностью, невнимательностью, неряшливостью и спешкой.

  3. Рекомендации по предупреждению математических ошибок в школе

  3.1 Способы предупреждения математических ошибок

  Одной из основных форм преодоления пробелов в знаниях и умениях есть работа над ошибками. Глубокому усвоению знаний помогает вдумчивый анализ допущенной ошибки, причин ее возникновения и теоретическое осмысление сути. Любую ошибку надо использовать для глубокого рассмотрения правила, понятия или утверждения. Анализ ошибок полезен еще и потому что мы в той или иной мере застраховываем себя от повторения таких ошибок в будущем.

Рассмотрим две ситуации. Допустим, ошибочно выполнены упражнения:

а) 37 + 5 = 87                                        б) 73 – 5 = 23

Чтобы избавиться от допущенных ошибок, необходимо решить задания такого рода.

а) 37 р + 5 р = 42 р                                б) 73 кг – 5 кг = 68 кг

Заканчивая 4-й класс, хорошо знаем, что слагаемое всегда меньше суммы, т. е. б < б + b. Также множитель всегда меньше произведения, т. е.

бb> б. Изучая сложение (умножение) положительного и отрицательного числа в 6-м классе, мы рассмотрим ответ на вопрос: «Может ли б + b< б (бb< б)?».

Выполняем упражнения

17 + 15 = 32                                                 17 ∙ 3 = 51

(-17) + (-15) = -32                                        -17 ∙ (-3) =51

(-17) + (+15) = -2                                 -17 ∙ (+3) = -51

17 + (-15) = 2                                         17 ∙ (-3) = -51

Мы имеем возможность сравнить в каждом случае сумму (произведение) двух чисел со слагаемыми (множителями) и сделать вывод, что неравенство б + b> б (б∙b> б) справедливо только для натуральных чисел. Во множестве целых чисел б может быть  больше суммы (произведения).

На основании рассмотренных упражнений можно установить общие и отличительные черты при выполнении действий сложения и умножения с положительными и отрицательными числами и тем самым предупредить ошибки, которые возникли вследствие знака суммы и произведения.

Одним из способов предупреждения ошибок есть формирование правильного представления о математическом языке.

Следует отметить, что не все понимают, что выражение (2х)3 – это степень, а выражение 25m2; - m4 – не есть степень, хотя первый из них можно представить в виде степени с показателем, отличным от единицы, а второй нет. Выражение (c + d)2 – квадрат двучлена, а выражение c2 + 2cd + d2 и 9х2 + 6ху + у2 не является квадратами двучлена, хотя их можно представить как квадраты двучленов. Выражения и - дробные, но первое из них представлено в виде дроби, а другое нет, хотя его тоже можно представить в виде дроби. Т. е. идет речь о том, чтобы не путать названия определенного выражения с выражением, который ему тождественно равен.

И так в данной работе я рассмотрела наиболее часто встречающиеся ошибки. На некоторые из них я написала памятку по выполнению работы над ошибками. Для учащихся 5, 6-х классов попыталась дать рекомендации, чтобы не было ошибок, например при решении задач, уравнении, примеров на все действия и т. д. По многим темам составила примеры для повышения вычислительной культуры. В данное время я работаю над составлением памятки для 7,8-х классов.

Все что я решаю, я стараюсь тот же проверить. Но я столкнулась  с очень интересным уравнением.

Я недавно  из интернета  прочитала о том что математик Даниел Мейден из Университета Аризоны и физик Ли Якоби нашли решение для задачи, поставленной около 250 лет назад Эйлером. Они нашли способ генерирования бесконечного количества решений для задачи, известной как «уравнение Эйлера четвертой степени»

Простейшее уравнение, над которым работали Мейден и Якоби можно записать в виде:        a4 + b4 + c4 + d4 = (a+b+c+d)4.

Я решила проверить верность данного уравнения.

Например: 14+34 +44+54 =(1+3+4+5)4

  1+81+256+625=134

  963≠ 28561

Взяла другой пример:  14 +54 +74 +94 =(1+5+7+9)4

  1+625+2401+6561=224

  9588≠ 234256

К сожалению, у меня ничего не получилось, к удивлению для данного случая математики не только нашли решение, но и показали метод нахождения таких решений.

Да,  математики решили древний пазл: a4 + b4 + c4 + d4 = (a + b + c + d)4

Но это мне пока всё равно не понятно. Я учусь в восьмом классе и очень люблю математику. Я вырасту, получу высшее образование. Я обязательно вернусь к этому вопросу. Я верю в истинность данного решения.

  3.2. Рекомендации по предотвращению ошибок выпускников

Все мы в будущем будем сдавать ГИА и ЕГЭ. Одна ошибка – выпускники теряют на экзаменах драгоценные баллы.

Мы знаем, что проверка заданий 1-ой части – автоматическая. Здесь не бывает «почти правильного» ответа. Либо он правилен, либо нет. Одна вычислительная ошибка – и задача не засчитывается. Поэтому в наших интересах научиться считать быстро, правильно и без калькулятора.

Практически 30% ошибок при решении заданий единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике допускаются из-за того, что российские выпускники неверно читают условия задач или допускают простые вычислительные ошибки. Об этом рассказал руководитель Федеральной комиссии разработчиков КИМ ЕГЭ по математике Иван Ященко (По материалам www. ria. ru).

Из-за чего все-таки выпускники теряют на ЕГЭ драгоценные баллы. Ведь ошибки в вычислениях возникают не просто так.

1. Верный путь к потере баллов — неаккуратные вычисления, в которых что-то исправлено, зачеркнуто, одна цифра написана поверх другой.

Надо писать разборчиво! Нельзя экономить бумагу. Если что-то неправильно – нельзя исправлять одну цифру на другую, лучше написать заново.

2. Почему-то многие школьники, считая в столбик, стараются сделать это

1) очень-очень быстро,

2) очень мелкими цифрами, в уголке тетради и

3) карандашом.

Разобрать что-либо невозможно.

3. Многие школьники привыкли игнорировать скобки в выражениях.

Подведем итоги.

Работа над ошибками – одна из основных форм преодоления пробелов в знаниях и умениях. Эта работа приносит пользу только тогда, когда она находится постоянно в центре внимания.

Работа над ошибками может служить хорошим средством для достижения точности определений, точности формулировок теорем. Разбирая ошибки, которые появляются в процессе учёбы, мы учимся шлифовать каждое слово в своём ответе. А это имеет немаловажное значение. Для исправления и предупреждения многих ошибок важно:  уметь обнаружить ошибку; уметь её объяснить и исправить.

  Заключение

  К сожалению, проблема «глупых» ошибок остаётся весьма актуальной.

А чтобы в жизни не было аварий, брака, серьёзных проблем в работе, нам необходимо научиться выявлять, анализировать ошибки.

Чтобы не было ошибок, нужно учиться считать правильно, стараться обходиться без калькулятора, уметь не только решать задачи, но и проверять верность их выполнения. Надо быть очень аккуратным, следить за подчерком. Надо учиться правильно понимать условия задач. Хорошо знать математический язык.

Нам, ученикам, надо уделять достаточно внимания изучению математики за школьной партой! Когда мы станем взрослыми, даже одна очень маленькая ошибка может стоить жизни многим людям.

Работа над ошибками – одна из основных форм преодоления пробелов в знаниях и умениях. Эта работа приносит пользу только тогда, когда она находится постоянно в центре внимания.

Разбор ошибок полезен ещё потому, что, ознакомившись с какой-нибудь ошибкой и проанализировав её, мы в какой-то степени застраховываем себя от повторения таких ошибок в будущем. Кроме того, работа над ошибками может служить хорошим средством для достижения точности определений, точности формулировок теорем. Разбирая ошибки, которые появляются в процессе учёбы, мы учимся шлифовать каждое слово в своём ответе. А это имеет немаловажное значение.

Для исправления и предупреждения многих ошибок важно:

а) уметь обнаружить ошибку;

б) уметь её объяснить и исправить.

В жизненной практике в чертежах, схемах, расчётах, с которыми мы будем встречаться, могут быть и ошибки. Если не научимся критически относиться к данным, то могут быть и аварии, и брак, и серьёзные упущения в работе. Чтобы этого избежать, необходимо уметь анализировать данные, обнаруживать встречающиеся ошибки и обосновывать ошибочность положения.

Итак, цель данной работы достигнута, задачи решены.

Как мы уже отмечали во введении данной работы - проблема «глупых» математических ошибок мало освещена в периодической и научной литературе. По-моему, данная проблематика имеет место в каждой школе, и за ее пределами, и изучению данного вопроса необходимо уделить должное внимание. Данная тема для меня очень интересна, и я, надеюсь, в дальнейшем внести существенный вклад в изучение, освещение и решение вопроса исключения «глупых» математических ошибок среди школьников и взрослых людей.

Список литературы

, ,  Математика 6.  – М.: Мнемозина, 2006. – 287с. , Семенов рассуждать и доказывать. - М.: Просвещение, 1989. -190с. Фридман учиться математике: Просвещение, 1985. , Что делать с ошибками//Математика в школе.-2, 1998. –С.8-14. htth://mixednews. ru/archives/15234