Вопросы к экзамену по математике (1/30-32, 1 семестр, 2012-2013 уч. год)

Матрицы. Действия над матрицами. Транспонирование матриц. Определители 2-го, 3-го и n порядков. Их свойства и вычисление. Обратная матрица. Ранг матрицы. Эквивалентные преобразования матриц не меняющие ранга. Решение систем линейных уравнений методом Крамера и методом Гаусса. Действия над матрицами. Вычисление обратной матрицы. Понятие вектора. Операции над векторами. Линейная зависимости (независимости) систем векторов. Линейное (векторное) пространство. Базис. Линейные операции над векторам. Скалярное  и векторное произведение векторов, их свойства. Смешанное произведение трех векторов. Критерий компланарности трех векторов. Прямая на плоскости и  в пространстве. Расстояние от точки до прямой. Уравнение прямой в полярных координатах. Взаимное расположение прямой и плоскости. Нахождение точек пересечения прямой и плоскости. Расстояние между двумя прямыми. Плоскость и ее уравнения. Расположение плоскости относительно координатных осей. Уравнение плоскости, заданной тремя точками, не принадлежащих одной прямой. Взаимное расположение двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Кривые второго порядка. Общее уравнение окружности. Эллипс. Гипербола. Парабола. Классификация кривых второго порядка. Конические поверхности. Поверхности вращения второго порядка. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Числовые множества. Понятие функции, графика функции. Сложная функция. Обратная функция. Основные элементарные функции, их графики. Предел функции. Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции. Их классификация. Непрерывность функции на промежутке. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл. Дифференцируемость функции, связь непрерывности с дифференцируемостью. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Обратная функция и ее дифференцируемость. Производные различных порядков. Дифференциал. Геометрическое значение дифференциала. Дифференциалы различных порядков. Дифференциал. Теорема Ферма, теорема Ролля, Теорема Лагранжа, теорема Коши. Правило Лопиталя. Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Экстремумы функции. Выпуклость кривой, точки перегиба. Асимптоты кривой. Общий план исследования функций и построения графиков. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Свойства неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: интегрирование методом замены переменного или способом подстановки, интегрирование по частям. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование. Разложение рациональной дроби на простейшие. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов функций: иррациональных, тригонометрических, содержащих радикалы квадратного трехчлена. Определенный интеграл, его свойства и вычисление. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрическое и физическое приложение определенного интеграла. Собственные и несобственные интегралы. Классификация несобственных интегралов. Функции нескольких переменных, геометрическая интерпретация функции двух переменных. Функции нескольких переменных. Частное и полное приращение функции. Непрерывность функции. Частные производные. Полное приращение и полный дифференциал, и их приложение к приближенным вычислениям. Производные и дифференциалы сложной функции. Производные неявных функций. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент. Экстремумы и условные экстремумы. Уравнения кривой в пространстве. Уравнение касательной к кривой. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.